大學(xué)微積分-函數(shù)的極值與最值應(yīng)用

大學(xué)微積分-函數(shù)的極值與最值應(yīng)用高校微積分-函數(shù)的極值與最值應(yīng)用一、函數(shù)的極值三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例二、函數(shù)的最值一、函數(shù)的極值及其求法23541=()00極值的定義設(shè)函數(shù)=()在0的某一鄰域內(nèi)有定義,定義假如對任意的≠0,恒有則稱(0)為()的一個極大(小)值.()(0)(()(0))00函數(shù)的極大值與微小值統(tǒng)稱為極值,函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).例=,[0,2]在取極大值232在取微小值留意:0和2不是的極值點(diǎn)極值存在的必要條件00定理設(shè)函數(shù)=()在極值點(diǎn)0可導(dǎo),則(0)=0.注1:假如()=0,那么稱0為()的駐點(diǎn).極值存在的必要條件定理設(shè)函數(shù)=()在極值點(diǎn)0可導(dǎo),則(0)=0.注1:假如()=0,那么稱0為()的駐點(diǎn).注2:駐點(diǎn)不肯定是極值點(diǎn).=||=3=2注3:不行導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).極值可疑點(diǎn)不行導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)?兩個充分條件極值存在的第一充分條件定理設(shè)函數(shù)0是()的極值可疑點(diǎn),()在0的某一鄰域內(nèi)(0－,0+)連續(xù)且可導(dǎo)(在0可以不行導(dǎo)):(1)當(dāng)(0－,0)時,()0,當(dāng)(0,0+)時,()0,則0是()的極大值點(diǎn).(2)當(dāng)(0－,0)時,()0,當(dāng)(0,0+)時,()0,則0是()的微小值點(diǎn).(3)在上述兩個區(qū)間,()同號,則0不是極值點(diǎn).+0+00++0一階導(dǎo)數(shù)變號法例1解()=32－6－9=3(+1)(－3)求函數(shù)()=3－32－9+5的極值.()1=－1,2=3()－13(－∞,－1)(－1,3)(3,+∞)令()=0得:+0+0極大微小極大值(－1)=10微小值(3)=－22例1求函數(shù)()=3－32－9+5的極值.M圖形如下:例2解求函數(shù)的極值.當(dāng)=2時,()不存在,但()在R上連續(xù).當(dāng)2時,()0當(dāng)2時,()0所以(2)=1為()的極大值.M極值存在的其次充分條件定理設(shè)函數(shù)=()在駐點(diǎn)0二階可導(dǎo),(1)假如(0)0,則()在0取微小值+0+0(2)假如(0)0,則()在0取極大值.稱為“二階導(dǎo)數(shù)非零法”1.記憶——特例法:=2,=－2說明2.只適用于駐點(diǎn),不能用于推斷不行導(dǎo)點(diǎn)3.(0)=0時不行使用.=3例3求函數(shù)()=3+32－24－20的極值.解()=32+6－24()=6+6=3(+4)(－2)令()=0得:∴極大值(－4)=60=－48∵(－4)=1=－4,2=2－180∵(2)=180∴微小值(2)M例3求函數(shù)()=3+32－24－20的極值.圖形如下:1.確定函數(shù)的定義域；4.用極值的第一或其次充分條件判定.留意:其次充分條件只能判定駐點(diǎn)的情形.求極值的步驟:2.求導(dǎo)數(shù)()3.求定義域內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(即駐點(diǎn)和一階不行導(dǎo)點(diǎn))；二、函數(shù)的最值及其求法極值是局部的,而最值是全局的.若函數(shù)()在[,]上連續(xù),則函數(shù)()在[,]上存在最大值和最小值.求閉區(qū)間[,]上最值的步驟:3.最大值M={(1),…,(),(),()}最小值={(1),…,(),(),()}.1.求出定義域內(nèi)全部的極值可疑點(diǎn)(駐點(diǎn)和一階不行導(dǎo)點(diǎn))1,2,…,,并算出相應(yīng)函數(shù)值()2.計算(),()；例4求函數(shù)()=在[－1,0.5]上的最值.解=0是()的不行導(dǎo)點(diǎn).令()=0得:∵∴最大值是0,1=25(0)=0(－1)=－2最小值是－2例5求函數(shù)=在上的最值.解當(dāng)時,0又∵在上是連續(xù)的∴在上單調(diào)遞增∴最小值是∵∴沒有最大值更進(jìn)一步,若實(shí)際問題中有最大(小)值,且有唯一駐點(diǎn),則不必推斷極大還是微小,馬上可以斷定該駐點(diǎn)即為最大(小)值點(diǎn).說明:1.假如()在[,]上單調(diào),則它的最值必定在端點(diǎn)和處取得2.假如()在[,]上連續(xù),在(,)內(nèi)可導(dǎo),且有唯一駐點(diǎn)0為極值點(diǎn),則(0)必定是最大值或最小值例6當(dāng)0≤≤1,1時,證明證令()=+(1－)∴結(jié)論成立.∵(0)=(1)=1()=－1－(1－)－1令()=0,得駐點(diǎn)=12例7解將邊長為的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？-2設(shè)小正方形的邊長為，則方盒的容積為例7解將邊長為的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大？為多少？設(shè)小正方形的邊長為，則方盒的容積為-2求導(dǎo)得:V=(－2)2,V=(－2)(－6)唯一駐點(diǎn)=6三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例1.平均成本(AC)最低問題例8設(shè)成本函數(shù)為則平均成本為得唯一駐點(diǎn)=400此時平均成本和邊際成本均為4.一般,當(dāng)平均成本最低時,平均成本與邊際成本相等.所以當(dāng)=400時,平均成本最低.2.最大利潤問題例9利潤函數(shù)為解故當(dāng)產(chǎn)量=7時,利潤最大.此時價格=44.設(shè)某產(chǎn)品的需求量是價格(元)的函數(shù):每天生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本函數(shù)為C()=120+2+2問工廠每天產(chǎn)量為多少時,利潤最大?此時價格多少?令L()=70－10=0,而L()=－100得唯一駐點(diǎn)=7某廠生產(chǎn)某種商品,其年銷售量為100萬件,每批生產(chǎn)需增加預(yù)備費(fèi)1000元,而