知識講解-正態(tài)分布

PAGE第4頁共10頁正態(tài)分布【學習目標】了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。了解正態(tài)曲線與正態(tài)分布的性質?！疽c梳理】要點詮釋：要點一、概率密度曲線與概率密度函數(shù)1．概念：對于連續(xù)型隨機變量，位于軸上方，落在任一區(qū)間（a，b]內(nèi)的概率等于它與軸、直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分），這條概率曲線叫做的概率密度曲線，以其作為圖象的函數(shù)叫做的概率密度函數(shù)。2、性質：①概率密度函數(shù)所取的每個值均是非負的。②夾于概率密度的曲線與軸之間的“平面圖形”的面積為1③的值等于由直線，與概率密度曲線、軸所圍成的“平面圖形”的面積。要點二、正態(tài)分布1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達式為：，（）其中x是隨機變量的取值；μ為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標準差.2．正態(tài)分布（1）定義如果對于任何實數(shù)隨機變量滿足：，則稱隨機變量服從正態(tài)分布。記為。（2）正態(tài)分布的期望與方差若，則的期望與方差分別為：，。要點詮釋：（1）正態(tài)分布由參數(shù)和確定。參數(shù)是均值，它是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計。是標準差，它是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計。（2）經(jīng)驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質量指標（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．要點三、正態(tài)曲線及其性質：1.正態(tài)曲線如果隨機變量X的概率密度函數(shù)為，其中實數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。2．正態(tài)曲線的性質：①曲線位于軸上方，與軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線對稱；③曲線在時達到峰值；④當時，曲線上升；當時，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近.⑤曲線與軸之間的面積為1；⑥決定曲線的位置和對稱性；當一定時，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。⑦確定曲線的形狀；當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線【思路點撥】本題可對照正態(tài)密度函數(shù)的標準形式判斷．【解析】正態(tài)密度函數(shù)為：，其中指數(shù)部分的應與系數(shù)的分母處的保持一致，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負數(shù)．選項A有兩處錯誤，分別是錯為，指數(shù)錯為正數(shù)．選項C，從系數(shù)可得=2，而從指數(shù)處可得，顯然不符．選項D中指數(shù)為正，錯誤．所以正確答案為B．【總結升華】注意函數(shù)的形式特點是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】設一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象，則這個正態(tài)總體的均值與方差分別是（）A．10與8B．10與4C．8與10D．2與10【答案】在該正態(tài)分布中，=10，=2，則E(X)=10，D(X)==4，故選B。?！咀兪?】．給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式，請找出其均值μ和標準差σ（１）（２）（３）【答案】(1)0，1(2)1，2(3)-1，0.5【變式3】正態(tài)總體為1概率密度函數(shù)是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】B。因為所以選B?！咀兪?】一臺機床生產(chǎn)一種尺寸為10mm的零件，現(xiàn)在從中抽測10個，它們的尺寸分別如下（單位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1．如果機床生產(chǎn)零件的尺寸X服從正態(tài)分布，求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式．【答案】求正態(tài)分布的概率密度函數(shù)式，只要求出參數(shù)和即可，而即樣本均值，即樣本標準差．依題意得，．即，．所以X的概率密度函數(shù)為．類型二、正態(tài)曲線例2.如圖所示，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖像寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差．【思路點撥】由正態(tài)曲線的圖像可知，該曲線的對稱軸為x=20，最大值為，因此，μ=20，由可求得的值．【解析】從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關于直線x=20對稱，最大值是，所以μ=20．由，解得．于是概率密度函數(shù)的解析式是，x∈（－∞，+∞）．總體隨機變量的期望是μ=20，方差是．【總結升華】利用圖像求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應抓住圖像的實質性兩點：一是對稱軸x=μ，一是最值．這兩點確定以后，相應參數(shù)縱、便確定了，代入P（x）中便可求出相應的解析式．舉一反三：【變式1】關于正態(tài)密度曲線性質的敘述：①曲線關于直線x=對稱，整條曲線在x軸上方；②曲線對應的正態(tài)總體概率密度函數(shù)是偶函數(shù)；③曲線在x=時處于最高點，由這一點向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低；④曲線的對稱位置由確定，曲線的形狀由確定，越大曲線越“矮胖”，反之，曲線越“高瘦”．其中敘述正確的有（）．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④【答案】B根據(jù)曲線關于直線x=對稱，只有當=0時函數(shù)才是偶函數(shù)，故②錯．利用排除法選B．【變式2】如圖，兩個正態(tài)分布曲線圖：1為，2為，則，（填大于，小于）【答案】＜，＞。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知?！咀兪?】如圖是三個正態(tài)分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應曲線分別是圖中的________、________、________?！敬鸢浮竣佗冖邸！咀兪?】已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率是0．5，那么相應的正態(tài)曲線在時達到最高點?！敬鸢浮?.2。由于正態(tài)曲線關于直線對稱，由題意知。類型三、正態(tài)分布的計算例3．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84【思路點撥】可畫出正態(tài)曲線，利用正態(tài)曲線的對稱性解決?！窘馕觥俊逷(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，故選A.【總結升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質求概率，其中應注意對稱性的運用。舉一反三：【變式1】（1），和的值各是多少？（2），和的值各是多少？【答案】（1）比照（），時，=0，=1。（2）比照（），時，=－1，所以=－1，=3?！咀兪?】在某次測量中，測量結果服從正態(tài)分布，若在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則在（0，2）內(nèi)取值的概率為________?！敬鸢浮?.8服從正態(tài)分布，∴在（0，1）與（1，2）內(nèi)取值的概率相同，均為0.4。在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.4+0.4=0.8?！咀兪?】設隨機變量X～N（0，1），（1）P(－a＜X＜0)=P(0＜X＜a)(a>0)；（2）P(X＜0)=0.5；（3）已知P(|X|＜1)=0.6826，則P(X＜－1)=0.1587；（4）已知P(|X|＜2)=0.9544，則P(X＜2)=0.9772；（5）已知P(|X|＜3)=0.9974，則P(X＞－3)=0.9987。其中正確的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個【答案】D；均正確，充分利用正態(tài)曲線的對稱性及其意義。例4.設ξ～N（1，22），試求：（1）P（－1＜ξ≤3）；（2）P（3＜ξ≤5）；（3）P（ξ≥5）．【思路點撥】要求隨機變量ξ在某一范圍內(nèi)的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖像性質以及課本中所給的數(shù)據(jù)進行轉化求值．【解析】∵ξ～N（1，22），∴=1，=2，（1）P（－1＜ξ≤3）=P（1－2＜ξ≤1+2）=P（＜ξ≤）=0.683．（2）∵P（3＜ξ≤5）=P（－3＜ξ≤－1），∴P（3＜ξ≤5）．（3）∵P（ξ≥5）=P（ξ≤－3），∴．【總結升華】在求隨機變量ξ在某一范圍內(nèi)的概率時，可以首先把隨機變量ξ的取值轉化到區(qū)間、以及，然后利用在上的概率約為0.683，在上的概率約為0.954，在上的概率約為0.997．舉一反三：【變式1】，求。【答案】時，=2，=5，，，∴【變式2】若η～N（5，1），求P（5＜η＜7）．【答案】∵η～N（5，1），∴正態(tài)分布密度函數(shù)的兩個參數(shù)為=5，=1，∵該正態(tài)密度曲線關于x=5對稱．∴【變式3】設。（1）求P(－1＜≤1)；（2）求P(0＜≤2)?！敬鸢浮浚?）時，，，∴。（2），，正態(tài)曲線關于直線x=0對稱，∴。類型四、正態(tài)分布的應用例5.某年級的一次數(shù)學測驗成績近似服從正態(tài)分布N（70，102），如果規(guī)定低于60分為不及格，那么（1）成績不及格的人數(shù)占多少？（2）成績在80～90分內(nèi)的學生占多少？【思路點撥】本題考查正態(tài)密度曲線對稱性及正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律．因為正態(tài)密度曲線關于直線x=μ對稱，故本題可利用對稱性及特殊值求解．【解析】（1）設學生的得分情況為隨機變量X，則X～N（70，102），其中=70，=10．成績在60～80分之間的學生人數(shù)的概率為P（70－10＜X＜70+10）=0.683，∴不及格的人數(shù)占×（1－0.683）=0.1585．（2）P（70－20＜X＜70+20）=0.954，∴成績在80～90分內(nèi)的學生占[P（50＜X＜90）－P（60＜X＜80）]=0.1355．【總結升華】本題利用了正態(tài)密度曲線的性質求概率，其中應注意對稱性的運用及正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間的概率取值規(guī)律．舉一反三：【變式1】工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個？【答案】∵X～N，∴μ＝4，σ＝.∴不屬于區(qū)間(3,5)的概率為P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3<X<5)＝1－P(4－1<X<4＋1)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0.997＝0.003∴1000×0.003＝3(個)，即不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有3個．【變式2】商場經(jīng)營的某種包裝的大米質量服從正態(tài)分布N（10，0.12）（單位：kg）。現(xiàn)進1000袋這種大米，質量不在9.7～10.3kg的大米大約有多少袋？【答案】由正態(tài)分布N（10，0.12），知=10，=0.1，∴質量在9.7～10.3kg的概率為P(10－3×0.1＜X≤10+3×0.1)=0.997∴質量不在9.7～10.3kg的概率為P=1－0.997=0.003?！噘|量不在9.7～10.3kg的大米大約有1000×0.003=3袋?！咀兪?】在某次數(shù)學考試中，考生的成績X服從一個正態(tài)分布，即X～N(90，100)。（1）試求考試成績X位于區(qū)間（70，110）內(nèi)的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在（80，1