2021年湖北省黃岡市高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021年湖北省黃岡市高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)A，B及動點(diǎn)P，設(shè)命題甲：“|PA|與|PB|之差的絕對值是定值”，命題乙：“點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線”，那么命題甲是命題乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到：若動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點(diǎn)間的距離，從而判斷出結(jié)論即可．【解答】解：設(shè)“|PA|與|PB|之差的絕對值是定值|k|，若動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點(diǎn)間的距離．當(dāng)|k|大于A、B為兩個定點(diǎn)間的距離時動點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線．故命題甲是命題乙的必要不充分條件，故選：B．2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，由n=k不等式成立，證明n=k+1時，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1參考答案：C【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】比較由n=k變到n=k+1時，左邊變化的項(xiàng)，即可得出結(jié)論．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式”時，當(dāng)n=k時，左邊=1+++…+，那么當(dāng)n=k+1時，左邊=1+++…+，∴由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊增加了共2k+1﹣2k=2k項(xiàng)，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查觀察、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．3.某選手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.15、0.35、0.2、0.1，則此選手在一次射擊中不超過7環(huán)的概率為（

）A．0.3B．0.35

C．0.65D．0.9參考答案：A4.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（

）A.15

B.

16

C.

49

D.64參考答案：A略5.已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的表面積為(

)A． B． C．2π D．4π參考答案：D【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何；球．【分析】畫出圖形，正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積即可．【解答】解：正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此時O在PO1的延長線上），在Rt△AO1O中，R2=1+（R﹣1）2得R=1，∴球的表面積S=4πR2=4π．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了球的表面積，球的內(nèi)接體問題，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．6.下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象與直線可能有兩個交點(diǎn)；B．函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù)；C.對于上的函數(shù)，若有，那么函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)；

D．對于指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，總存在一個，當(dāng)時，就會有．參考答案：D7.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則等于（

）A.13

B.63

C.35

D.49參考答案：D解：因?yàn)檫xC8.下列命題中正確的是（）A．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題．B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的必要不充分條件．C．命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定為：“?x∈R，x2+x﹣1≥0”．D．命題“已知A，B為一個三角形兩內(nèi)角，若A=B，則sinA=sinB”的否命題為真命題．參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由復(fù)合命題的真假判斷判斷A；求解一元二次方程結(jié)合充分必要條件的判定方法判斷B；寫出特稱命題的否定判斷C；在△ABC中，A=B?a=b?sinA=sinB判斷D．【解答】解：若p∨q為真命題，說明p、q中至少有一個為真命題，但p∧q不一定為真命題，故A錯誤；由x2﹣4x﹣5=0，得x=﹣1或x=5，則“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要條件，故B錯誤；命題“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定為：“?x∈R，x2+x﹣1≥0”，故C錯誤；若A=B，則sinA=sinB”的否命題為：若A≠B，則sinA≠sinB”，∵在△ABC中，A=B?a=b?sinA=sinB，故D正確．故選：D．9.命題“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．對任意的x∈R，2x≤0 D．對任意的x∈R，2x＞0參考答案：D【考點(diǎn)】特稱命題；命題的否定．【專題】簡易邏輯．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，直接寫出該命題的否定命題即可．【解答】解：根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，得；命題“存在x0∈R，2≤0”的否定是“對任意的x∈R，都有2x＞0”．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了全稱命題與特稱命題的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，寫出答案即可，是基礎(chǔ)題．10.設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＞b，則一定有（）A． B．a(chǎn)2＞ab C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)依次判斷即可得到答案．【解答】解：對于A：當(dāng)a＞0＞b，不成立．對于B：當(dāng)b＜a＜0時，不成立．對于C：∵a，b是非零實(shí)數(shù)，a＞b，當(dāng)a＞0＞b，恒成立，當(dāng)b＜a＜0時，ab＞0，則﹣ab＜0，0＞，∴，當(dāng)0＜b＜a時，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．則C對．對于D：當(dāng)a=1，b=﹣時不成立，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)的變形運(yùn)用能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）且與曲線相切的直線方程是

參考答案：12.從長度分別為1、2、3、4、5的五條線段中，任取三條構(gòu)成三角形的不同取法共有種。在這些取法中，以取出的3條線段為邊可組成的鈍角三角形的個數(shù)為，則=________.參考答案：13.雙曲線的對稱軸和坐標(biāo)軸重合，中心在原點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)和(2,0)，且經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．參考答案：解：由題意，，，∴，，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．14.棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

．參考答案：27π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】正方體的對角線就是球的直徑，求出后，即可求出球的表面積．【解答】解：正方體的對角線就是球的直徑，設(shè)其體對角線的長為l，則l==3，故答案為：27π．15.如圖，A，B為拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且FA⊥FB，C為直線AB上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為﹣1，連結(jié)FC．若|BF|=3|AF|，則tanC=．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】如圖所示，設(shè)|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，做FH⊥AB于H，求出|FH|，|CH|，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示，設(shè)|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=a，作AA′⊥l（l為拋物線的準(zhǔn)線），則|AA′|=|AF|=a，|BB′|=|BF|=3a，|A′B′|=|AD|=a．△CA′A∽△CB′B，可得=，CA=AB=a，做FH⊥AB于H，△ABF三邊長為a，3a，a，∴|FH|=a，|AH|=a，∴tanC===，故答案為．16.已知cos（﹣α）=，則sin2α=．參考答案：【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】先利用差角的余弦公式展開，再兩邊平方，即可求得sin2α的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=∴cosα+sinα=兩邊平方得：（1+2sinαcosα）=∴sin2α=故答案為：．17.若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a為實(shí)數(shù)，。(1)若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；(2)若在(－∞，－2)和(2，+∞)上都是遞增的，求a的取值范圍。參考答案：解：(1)由原式得∴…………2分由得,此時有.由得或x=-1,又

所以f(x)在[－2,2]上的最大值為最小值為…………6分(2)的圖象為開口向上且過點(diǎn)(0,－4)的拋物線,由條件得

即

∴－2≤a≤2.

所以a的取值范圍為[－2,2].…………12分略19.已知函數(shù).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，證明：只有一個極值點(diǎn)，且.參考答案：(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為.(2)見解析.【分析】（1）求得，解不等式即可得解。（2）記，求得，再求導(dǎo)數(shù)可得：，即可判斷在上單調(diào)遞增，結(jié)合即可判斷：在區(qū)間存在唯一一個，使得，即可證得只有一個極值點(diǎn)，由可化簡，結(jié)合即可證明，問題得解。【詳解】（1）由題可得：，即，即所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2），，，顯然即在上單調(diào)遞增在區(qū)間存在唯一一個，使得即在區(qū)間上，，為減函數(shù)在區(qū)間上，，為增函數(shù)只有一個極小值點(diǎn)在區(qū)間上存在唯一一個使得即，當(dāng)時，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，還考查了轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于難題。20.已知的頂點(diǎn)A、B在橢圓上，C在直線上，且（1）當(dāng)AB通過原點(diǎn)O時，求AB的長及的面積；（2）當(dāng)且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程。參考答案：解析：（1）

C到AB的距離=

（2）

時，最大。此時，AB的方程為即21.已知圓C經(jīng)過P（4，–2），Q（–1，3）兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為，半徑小于5．（1）求直線PQ與圓C的方程．（2）若直線l∥PQ，且l與圓C交于點(diǎn)A、B，，求直線l的方程．參考答案：解法二：設(shè)所求圓的方程為由已知得解得當(dāng)時，；當(dāng)時，（舍）∴所求圓的方程為

(2)設(shè)l為由，得

…10分設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則∵，

∴∴

…12分∴

∴m=3或–4（均滿足）∴l(xiāng)為

…15分22.某次文藝晚會上共演出7個節(jié)目，其中2個歌曲，3個舞蹈，2個曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的節(jié)自編排方法有多少種？（用數(shù)字作答）（1）一個歌曲節(jié)目開頭，另個歌曲節(jié)目放在最后壓臺；（2）2個歌曲節(jié)目相鄰且2個曲藝節(jié)目不相鄰．參考答案：（1）240；（2）960.【分析】（1）首先安排兩個歌曲節(jié)目，然后安排剩余5個節(jié)目，乘法原理得到答案.（2）將歌曲節(jié)目捆綁看成一個整體，把曲藝節(jié)目插空在其他