上海男子中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

上海男子中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.化簡的結(jié)果為(

)A．5 B． C．﹣ D．﹣5參考答案：B【考點】方根與根式及根式的化簡運算．【專題】計算題．【分析】利用根式直接化簡即可確定結(jié)果．【解答】解：===故選B【點評】本題考查根式的化簡運算，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．2.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,,則=

（

）A． B． C． D．2參考答案：A略3.我國古代著名的“物不知數(shù)”問題：“今有物其數(shù)大于八，二二數(shù)之剩一，三三數(shù)之剩一，五五數(shù)之剩二，問物幾何？”即“已知大于八的數(shù)，被二除余一，被三除余一，被五除余二，問該數(shù)為多少？”為解決此問題，現(xiàn)有同學(xué)設(shè)計了如圖所示的程序框圖，則框圖中的“”處應(yīng)填入（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A由題意，判斷框內(nèi)應(yīng)該判斷a的值是否同時能被二除余一，被三除余一，

即判斷是否為整數(shù)．

故選：A．

4.設(shè)的實部與虛部互為相反數(shù)，其中a為實數(shù)，則a=（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3參考答案：D5.．已知球的直徑，是球球面上的三點，是正三角形，且，則三棱錐的體積為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略6.已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a，a∈M}，則集合M∩N=(

)A．{0} B．{0，﹣2} C．{﹣2，0，2} D．{0，2}參考答案：A【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】求出集合N，根據(jù)集合的基本運算即可得到結(jié)論．【解答】解：N={x|x=2a，a∈M}={﹣2，0，2}，則M∩N={0}，故選：A【點評】本題主要考查集合的基本運算，求出集合N是解決本題的關(guān)鍵．7.（10）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C8.(理科)“”是“函數(shù)，在處連續(xù)”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.已知

A． B．（）

C．

D．（）參考答案：A，，所以，選A.10.已知角的終邊上一點的坐標(biāo)為（），則角的最小值為（

）。A．

B．

C．

D．參考答案：D

，而所以，角的終邊在第四象限，所以選D，二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，求實數(shù)的值．參考答案：．試題分析：先求對稱軸，比較對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，利用開口向下的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越大來解題．試題解析：，對稱軸（1）即時，在上單調(diào)遞減，此時可得

4分（2）即時，此時可得或，與矛盾，舍去。

8分（3）即時，在上單調(diào)遞增，此時可得綜上所述：

12分．考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點．點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動（如圖所示），若，其中λ，μ∈R．則2λ﹣μ的取值范圍是__________．參考答案：[﹣1，1]考點：向量在幾何中的應(yīng)用．專題：綜合題；平面向量及應(yīng)用．分析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用參數(shù)進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論．解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范圍是[﹣1，1]．故答案為：[﹣1，1]．點評：本題考查平面向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確利用坐標(biāo)系是關(guān)鍵．13.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，，則_______.參考答案：【分析】利用正弦定理即得求解.【詳解】因為，，所以,所以.故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14.兩曲線所圍成的圖形的面積是_________.參考答案：15.如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為的大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一支飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是．

參考答案：試題分析：由題可知，設(shè)大正方形的邊長為2，則大正方形的面積為4，由于直角三角形中的一角為，則兩條直角邊分別為1和，故小正方形的邊長為，則小正方形的面積為，因此飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為；考點：幾何概型概率模型16.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

．參考答案：17.如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是

.參考答案：15三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

甲、乙兩個同學(xué)進(jìn)行定點投籃游戲．已知他們每一次投籃投中的概率均為，且各次投籃的結(jié)果互不影響．甲同學(xué)決定投5次，乙同學(xué)決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過5次．

(I)求甲同學(xué)至少有4次投中的概率；(II)求乙同學(xué)投籃次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，參考答案：略19.某校學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取12名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這12人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；(3)以這12人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選2人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）眾數(shù)：8.6；

中位數(shù)：8.7；……………2分（2）設(shè)表示所取3人中有個人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸?！庇洖槭录?，則；

…6分（3）的可能取值為0，1，2.

；；；…….10分所以的分布列為：

………..……….…12分另解：的可能取值為0，1，2.則，所以.

20.已知拋物線y2=2px（p＞0），過點C（一2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，坐標(biāo)原點為O，=12．（I）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時，求直線l的方程．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy+4p=0．（?）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2pm，y1y2=4p，則x1x2==4．∵?=12，∴x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，得p=2，拋物線的方程為y2=4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y2﹣4my+8=0．y1+y2=4m，y1y2=8．設(shè)AB的中點為M，則|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，①又|AB|=|y1﹣y2|=，②由①②得（1+m2）（16m2﹣32）=（4m2﹣4）2，解得m2=3，m=±．∴直線l的方程為x+y+2=0，或x﹣y+2=0．考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）設(shè)l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用?=12，可得x1x2+y1y2=12，代入即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y2﹣4my+8=0．設(shè)AB的中點為M，可得|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，又|AB|=|y1﹣y2|=，聯(lián)立解出m即可得出．解答：解：（Ⅰ）設(shè)l：x=my﹣2，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy+4p=0．（?）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2pm，y1y2=4p，則x1x2==4．∵?=12，∴x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，得p=2，拋物線的方程為y2=4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y2﹣4my+8=0．y1+y2=4m，y1y2=8．設(shè)AB的中點為M，則|AB|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）﹣4=4m2﹣4，①又|AB|=|y1﹣y2|=，②由①②得（1+m2）（16m2﹣32）=（4m2﹣4）2，解得m2=3，m=±．∴直線l的方程為x+y+2=0，或x﹣y+2=0．點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦點弦長公式、弦長公式、直線與圓相切的性質(zhì)、數(shù)量積運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題21.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n．（1）求a2，a3；（2）證明數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【分析】（1）利用遞推關(guān)系分別取n=1，2即可得出．（2）由nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n，看到﹣=2，即可證明．【解答】（1））解：由數(shù)列{an}滿足a1=1，且nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n．∴a2﹣2×1=4，解得a2=6．2a3﹣3×6=2×22+2×2，解得a3=15．（2）證明：∵nan+1﹣（n+1）an=2n2+2n．∴﹣=2，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，解得an=2n2﹣n．22.巳知函數(shù)f（x）=x1nx，g（x）=ax2－bx，其中a，b∈R。

（I）求函數(shù)f（x）的最小值；

（Ⅱ）當(dāng)a>0，且a為常數(shù)時，若函數(shù)h（x）=x[g（x）+1]對任意的x1>x2≥4，總有成立，試用a表示出b的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)b=a時，若f（x+1）≤g（x）對x∈[0，+∞）恒成立，求a的最小值。參考答案：解：（I）因為，令，所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，則f(x)在處取得最小值為.（Ⅱ）由題意得在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，所以在[4，＋∞)上恒成立.即在[4，＋∞)上恒成立，構(gòu)造函數(shù),則，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以F(x)的最小值為，所以；當(dāng)時，F(xiàn)(x)在(4，+∞)上單調(diào)遞增，；綜上，時，；當(dāng)時，；（