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2021-2022學(xué)年廣東省潮州市鳳凰華僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.在極坐標(biāo)系中與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程為()A.ρcosθ=2 B.ρsinθ=2 C.ρ=4sin(θ+) D.ρ=4sin(θ﹣)參考答案:A【考點(diǎn)】Q4:簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.【分析】本選擇題利用直接法求解,把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo).即利用ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程后進(jìn)行判斷即可.【解答】解:ρ=4sinθ的普通方程為:x2+(y﹣2)2=4,選項(xiàng)A的ρcosθ=2的普通方程為x=2.圓x2+(y﹣2)2=4與直線x=2顯然相切.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,考查轉(zhuǎn)化思想,計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.2.已知雙曲線的兩條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.參考答案:A3.若函數(shù),則
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B4.已知且,則(
)A.有最大值2
B.等于4 C.有最小值3
D.有最大值4參考答案:D5.已知a<b則下列關(guān)系式正確的是(
)參考答案:C6.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:D略7.在中,,則A等于(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A8.設(shè)F1和F2為雙曲線(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為()參考答案:A略9.已知集合A,B,C滿足A∪B={a,b,c},則滿足條件的組合(A,B)共有()組.A.4 B.8 C.9 D.27參考答案:D【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.【分析】根據(jù)當(dāng)A=?,A={a},A=,A={c},A={a,b},A={a,c},A={b,c},A={a,b,c}等種情況分類討論,能求出滿足條件的組合(A,B)共有多少組.【解答】解:∵集合A,B,C滿足A∪B={a,b,c},∴當(dāng)A=?時(shí),B={a,b,c};當(dāng)A={a}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{b,c};當(dāng)A=時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c};當(dāng)A={c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,b};當(dāng)A={a,b}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c},{b,c},{c};當(dāng)A={a,c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,b},{b,c},;當(dāng)A={b,c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c},{a,b},{a};當(dāng)A={a,b,c}時(shí),滿足條件的B可能是{a,b,c},{a,c},{b,c},{a,b},{a},,{c},?.∴滿足條件的組合(A,B)共有27組.故選:D.10.將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為(
)A. B.C. D.參考答案:A【分析】將圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍得,再利用誘導(dǎo)公式得出結(jié)果.【詳解】先將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得故選A【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的圖像變化和誘導(dǎo)公式,正確的掌握?qǐng)D像的平移變化和伸縮變化是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),若,則a=________.參考答案:-2
12.二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng)),二維測(cè)度(面積),觀察發(fā)現(xiàn);三維空間中球的二維測(cè)度(表面積),三維測(cè)度(體積),觀察發(fā)現(xiàn).已知四維空間中“超球”的三維測(cè)度,猜想其四維測(cè)度________.參考答案:13.過拋物線x2=8y焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4,則|AB|=
.參考答案:12【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),利用線段AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4,通過y1+y2+p求解即可.【解答】解:拋物線x2=8y焦點(diǎn)F(0,2),過拋物線x2=8y焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4,可得y1+y2=8.則|AB|=y1+y2+p=8+4=12,故答案為:12;【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.14.如圖,在側(cè)棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件
時(shí),有(寫出你認(rèn)為正確的一種條件即可。)參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)線面的位置關(guān)系因?yàn)楫?dāng)時(shí),又側(cè)棱和底面垂直,所以,,所以
故答案為:15.設(shè),是純虛數(shù),其中是虛數(shù)單位,則
.參考答案:-2略16.已知兩個(gè)平面和直線n,下列三個(gè)條件:①;②;③;以其中兩個(gè)論斷為條件,余下一個(gè)論斷為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________________________________.
參考答案:略17.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.參考答案:(0,
1)三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)在等比數(shù)列(n∈N*)中a1>1,公比q>0,設(shè)bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1·b3·b5=0.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求前n項(xiàng)和Sn及通項(xiàng)an.參考答案:(1)證明:bn=logzan,
bn+1-bn=log2為常數(shù)數(shù)列為差數(shù)列且公差d=log2q
……6分(2)b1+b3+b5=6,b3=2,a,>1,b1=logza1>0
b1·b3·b5=0
b5=0
an=25-n(n∈N*)……13分19.如圖,在四邊形中,,,,,,求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.參考答案:解析:
20.(本題12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,為等腰直角三角形,,且.(1)證明:平面平面.
(2)求直線EC與平面BED所成角的正弦值.
參考答案:解法一:(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,
又ABCD為正方形,所以DB⊥AC,
所以DB⊥平面AEC,
--------3分而BD平面BED
故有平面AEC⊥平面BED.
--------5分(2)設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O,所以O(shè)E為兩平面AEC和BED的交線.過C作平面BED的垂線,其垂足必在直線EO上,即∠OEC為EC與平面BED所成的角.
--------8分設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則OA=,AE=2,所以O(shè)E=,EC=,
所以在三角形OEC中,由余弦定理得cos∠OEC=,
---11分故所求為sin∠OEC=
--------12分解法二:以A為原點(diǎn),AE、AB、AD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
--------1分(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2)
(0,2,2),=(0,-2,2),=(2,0,0),=(-2,0,2),從而有,,
--------3分即BD⊥AC,BD⊥AE,
所以BD⊥平面AEC,故平面BED⊥平面AEC.
--------5分(2)設(shè)平面BED的法向量為,由,得,故取
--------9分而=(-2,2,2),所以--------11分設(shè)直線EC與平面BED所成的角為,則有
--------12分21.設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若,使得,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案:(1)見解析;(2)(2,+∞)【分析】(1)利用的符號(hào)討論函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)不等式有解等價(jià)于對(duì)任意恒成立即,構(gòu)建新函數(shù),求出后分和分類討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1),即,則,令解得.當(dāng)在上單調(diào)遞減;當(dāng)在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),.因?yàn)?,所?又,,所以,,所以分別在區(qū)間上各存在一個(gè)零點(diǎn),函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).(2)假設(shè)對(duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立.令,則.①當(dāng),即時(shí),且不恒為0,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,所以對(duì)任意恒成立.故不符合題意;②當(dāng)時(shí),令,得;令,得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,即當(dāng)時(shí),存在,使,即.故符合題意.綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】
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