管理運(yùn)籌學(xué) 第五章靈敏度分析

管理運(yùn)籌學(xué)第五章靈敏度分析第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五概述在所有的線性規(guī)劃問題中，變量在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)cj和約束方程中的系數(shù)aij以及右端值bi都是固定的，但在實(shí)際工作中，很可能不知道這些參數(shù)的確切值。此外，管理人員如想知道，稍微改變一下參數(shù)，能否使目標(biāo)值有較大的變化，以判斷這些改變是否有利。靈敏度分析就是在線性規(guī)劃問題已經(jīng)求出最優(yōu)解以后，某一參數(shù)變化時(shí)，不必將問題從頭到尾重算一遍，就知道最優(yōu)解以及目標(biāo)函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化，使決策者可以得到比一組最優(yōu)解更為多的信息，以處理上述問題。2第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、邊際值的定義

第i種資源的邊際值就是將1單位的第i種資源從現(xiàn)在的用途中抽取出來(lái)而使利潤(rùn)減少的數(shù)字，用qi表示。跟上一章當(dāng)中我們討論的影子價(jià)格的概念在一定程度上是統(tǒng)一的：

邊際值(影子價(jià)格)qi是指在最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，當(dāng)?shù)趇個(gè)約束行的右端項(xiàng)bi減少一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化量3第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、邊際值的求解以(max,)型為例：前面討論過(guò)=(CBb-1)iZn+i=CBb-1Pn+i

=(CBb-1)i所以qi=Zn+i其中Zn+i=CBb-1Pn+i表示松弛變量每增加一個(gè)單位時(shí)損失的利潤(rùn)。n為題目原有的變量數(shù)。在引進(jìn)邊際值的概念后，Zj可以直接使用Zj=4第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、例題求下列問題中各個(gè)資源的邊際值5第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)x5，x6，x7分別為資源1，2，3的松弛變量，此問題達(dá)到最優(yōu)解時(shí)的單純形表為：Cj→1534000CBXBbX1X2X3X4X5X6X70X51000.250-3.2540004X420020-2101-15X2100-0.7512.75000.751Cj-Zj-3.250-2.7500-0.25-1Zj4.2505.75400.251因?yàn)閝i=Zn+i，n=4,所以q1=z4+1=0；q2=z4+2=0.25；q3=z4+3=100.2516第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

利用邊際值qi可得出:

1.在一定范圍內(nèi)，資源i增加一單位，利潤(rùn)就增加qi。如資源2，3各增加一單位，利潤(rùn)分別增加0.25及1元，資源1增加一單位，利潤(rùn)不增加。Cj→1534000CBXBbX1X2X3X4X5X6X70X51000.250-3.2540004X420020-2101-15X2100-0.7512.75000.751Cj-Zj-3.250-2.7500-0.25-1Zj4.2505.75400.251q1=0；q2=0.25；q3=17第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

2.在己求得最優(yōu)表后，如建議生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，不必重新計(jì)算，就能回答生產(chǎn)這種產(chǎn)品是否有利如在本例中，若建議生產(chǎn)新產(chǎn)品，產(chǎn)量為x8，問是否生產(chǎn)？已知c8=9,a18=5,a28=4,a38=3從上表中得知q1=0q2=0.25q3=1所以：結(jié)論：生產(chǎn)x8有利。8第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第五章線性規(guī)劃問題的靈敏度分析§5.2對(duì)cj值的靈敏度分析第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五概述cj

變動(dòng)可能由于市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)，或生產(chǎn)成本的變動(dòng)cj的靈敏度分析是在保證最優(yōu)解的基變量不變的情況下，分析cj允許的變動(dòng)范圍cj

cj的變化會(huì)引起檢驗(yàn)數(shù)的變化，有兩種情況非基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)變化，不影響其它檢驗(yàn)數(shù)基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)變化，影響所有非基變量檢驗(yàn)數(shù)10第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、非基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析非基變量對(duì)應(yīng)的系數(shù)的變化僅影響其對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)數(shù)，當(dāng)Cj變化為Cj+△Cj后若要使最優(yōu)解不變，則：11第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題:求C1C3的變動(dòng)范圍12第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析由于基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)在CB中出現(xiàn)，因此它會(huì)影響所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)。設(shè)當(dāng)只有一個(gè)基變量的cj生變化，變化量為cj?？闪頲j在CB中的第r行，研究非基變量xk機(jī)會(huì)成本的變化。為保證所有非基變量檢驗(yàn)數(shù)仍滿足最優(yōu)條件，有：其中xj為第r個(gè)約束條件方程對(duì)應(yīng)的基變量13第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)x4的價(jià)值系數(shù)增加c4，對(duì)應(yīng)r=2例題：求X4的C值的變動(dòng)范圍14第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第五章線性規(guī)劃問題的靈敏度分析§5.3對(duì)

bi值的靈敏度分析第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五概述b的靈敏度分析就是研究最優(yōu)解基變量保持不變但基變量的取值可以變化的條件下b的取值范圍設(shè)XB=B1b

是最優(yōu)解，則有XB=B1b0b的變化不會(huì)影響檢驗(yàn)數(shù)b的變化量b

可能導(dǎo)致原最優(yōu)解變?yōu)榉强尚薪猓ú粷M足非負(fù)約束）16第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五在將“≤”形式的約束條件變?yōu)椤?”形式時(shí)，對(duì)第i行的約束條件方程左端要加一個(gè)松弛變量Xn+i，因此，最優(yōu)解表中B-1可表示為右端項(xiàng)bi的靈敏度分析17第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五18第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五19第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五XN為新的解向量X0為原來(lái)的解向量Pn+k為最優(yōu)單純形表中Xn+k對(duì)應(yīng)的列向量20第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題求b2的靈敏度范圍，并求出新的最優(yōu)解21第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五因?yàn)閤6是對(duì)應(yīng)b2的初始基變量，所以有b2原始等于120022第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五23第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第五章線性規(guī)劃問題的靈敏度分析§5.4對(duì)aij值的靈敏度分析第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)aij的靈敏度分析是在不改變最優(yōu)解基變量及其取值的情況下求aij的允許變動(dòng)范圍系數(shù)aij變化的影響比較復(fù)雜對(duì)應(yīng)基變量的aij，且資源bi已全部用完對(duì)應(yīng)基變量的aij，但資源bi未用完對(duì)應(yīng)非基變量的aij，且資源bi全用完或未用完概述25第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、對(duì)應(yīng)基變量的aij，且資源bi已全部用完

aij=02、對(duì)應(yīng)基變量的aij，但資源bi未用完

<

aij26第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、對(duì)應(yīng)非基變量的aij27第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例題求aij的靈敏度范圍28第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)上節(jié)的知識(shí)可知q1=0,q2=0.25,q3=1,邊際值為0時(shí)表示對(duì)應(yīng)資源未用完，邊際值不為0時(shí)表示對(duì)應(yīng)資源全部用完對(duì)應(yīng)基變量且資源全部用完的情況aij=0所以：△a22=0；△a24=0；△a32=0；△a34=0對(duì)應(yīng)基變量且資源未用完的情況利用公式

<

aijx2,x4為基變量，

b1未用完、b2b3全部用完故有：29第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五x1x3為非基變量，利用公式

故有：

30第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第五章線性規(guī)劃問題的靈敏度分析§5.5靈敏度分析應(yīng)用舉例第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品A,B,C，有五種生產(chǎn)組合方案。下兩表給出有關(guān)數(shù)據(jù)。規(guī)定每天供應(yīng)A產(chǎn)品至少110個(gè)，求收益最大的生產(chǎn)方案。32第三十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：設(shè)xj為已選定各種組合方案的組數(shù)(j=1,2,…,5)，x6為A產(chǎn)品的剩余變量，x7，x8分別為工人工時(shí)和機(jī)器工時(shí)的松弛變量。33第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五我們考慮如下幾種互相獨(dú)立的情況，看一看如何應(yīng)用上面幾節(jié)討論的結(jié)論如果第2種生產(chǎn)方法的每批成本提高到21元,問是否會(huì)改變最優(yōu)解?解:據(jù)題意?c2=-2,超出范圍,所以最優(yōu)解改變.

將新的cj值代替表中的cj值,解得最優(yōu)解為:34第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五解:B的單位售價(jià)增加,五種生產(chǎn)方法的cj值都要變1.求出新的cj值:c1=26,c2=31,c3=42,c4=6,c5=492.將新的cj值代替表中的cj值,重新計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)得上表未達(dá)最優(yōu),用單純形法繼續(xù)求解.如果產(chǎn)品B的單位售價(jià)增加到6元,是否影響最優(yōu)解?35第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五解:q2=0.5,即工時(shí)增加1小時(shí),利潤(rùn)將增加0.5元<加班成本1.5,故加班不能使利潤(rùn)增加.如果加班要另付加班費(fèi)每小時(shí)0.3元,問加班能否使利潤(rùn)增加?如果有利,在保持基變量不變的前提下可加班多少時(shí)間?解:q2=0.5,即工時(shí)增加1小時(shí),利潤(rùn)將增加0.5元>加班成本0.3,故加班能使利潤(rùn)增加.

如果加班要另付加班費(fèi)每小時(shí)1.5元,問加班能否使利潤(rùn)增加?36第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)b2進(jìn)行靈敏度分析為:37第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果新購(gòu)一臺(tái)機(jī)器,購(gòu)價(jià)300,000元,每天可增加8個(gè)機(jī)器時(shí)間,機(jī)器可使用5年,每年工作250工作日,問是否有利?

解:從表可知機(jī)器小時(shí)的邊際值為44元,從題目中算得每機(jī)器小時(shí)的成本為

38第三十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五問增加3臺(tái)新機(jī)器是否有利?對(duì)b3進(jìn)行靈敏度分析為: