聯(lián)立方程模型

聯(lián)立方程模型第一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五1前言前面各章所介紹的內(nèi)容都是以單方程模型為研究對象的。在這些模型中，我們通常稱X為自變量或者是外生變量，Y稱為因變量，回歸分析是使用X的變化解釋Y的平均變化。

但是，單方程回歸模型并不能研究所有的經(jīng)濟(jì)問題，如產(chǎn)品的價格通常會影響需求，需求同樣也會影響該產(chǎn)品的價格。

第二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五2因此，有些變量之間是相互影響、共同決定的，這就是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)所說的變量之間的聯(lián)立性。本章著重介紹聯(lián)立方程模型的性質(zhì)、聯(lián)立性偏誤與檢驗以及聯(lián)立方程模型的識別與估計等問題。

第三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五3§11.1聯(lián)立方程模型

一、聯(lián)立方程的概念以牛奶的供求為例。令QS表示牛奶供給量，P表示牛奶銷售價格，則牛奶的供給模型可表述為(11.1.1)

其中X表示影響牛奶供給的其他因素，誤差項e1表示影響牛奶供給的其他不可觀察的隨機(jī)因素。

方程(11.1.1)為結(jié)構(gòu)方程，系數(shù)b被稱為是結(jié)構(gòu)系數(shù)，e1為結(jié)構(gòu)誤差項第四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五4(11.1.2)為了說明這一點，我們引入牛奶需求模型。答案在于模型中牛奶價格P并不是固定不變的。在市場出清條件下，牛奶價格是由供給和需求共同決定的。

方程(11.1.1)和我們先前所學(xué)的單方程模型有什么區(qū)別？其中Z表示影響牛奶需求的其他可觀察變量，e2為模型擾動項。方程(11.1.2)也為結(jié)構(gòu)方程。第五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五5由經(jīng)濟(jì)學(xué)理論我們知道，牛奶需求（或供給）和價格是相互影響的。只有當(dāng)需求和供給相等時，價格才達(dá)到其均衡值：(11.1.3)以上分析可由如下圖形給出PQ0Q1Q0SD0D1P0P1Q2第六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五6因此，價格P是由供給和需求共同決定的。上述三個方程構(gòu)成了聯(lián)立方程模型。在聯(lián)立方程模型中，變量Q和P由方程系統(tǒng)（11.1.1）—（11.1.3）共同決定，這樣的變量稱為內(nèi)生變量。變量X和Z是由聯(lián)立方程模型以外的因素決定的，這樣的變量稱為外生變量。第七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五7二、例子：簡單的凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型在一個兩部門的產(chǎn)品市場中，我們將消費(fèi)（Ct）、投資（It）和收入（Yt）模型分別設(shè)定為：(11.1.4)(11.1.5)(11.1.6)(11.1.5)(11.1.6)(11.1.4)(11.1.5)(11.1.6)思考：模型中哪些是內(nèi)生變量？(11.1.4)第八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五8區(qū)分方法：如果某一變量的變化經(jīng)過方程系統(tǒng)的傳導(dǎo)后又回到了它本身，那么這一變量即為內(nèi)生變量答案：Ct、It和Yt是內(nèi)生變量問題：Ct-1和Yt-1呢？分析：從本期看，Ct-1和Yt-1是事先已知的，這些變量稱為前定變量。為了統(tǒng)一，外生變量也稱為前定變量，即前定變量包括外生變量和滯后的內(nèi)生變量第九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五9三、聯(lián)立方程模型與經(jīng)典假設(shè)經(jīng)典線性回歸模型假設(shè)誤差項與所有解釋變量不相關(guān)，這一條件在聯(lián)立方程模型中并不成立。

理論分析：以牛奶的需求為例。假設(shè)牛奶需求在某一時刻受到負(fù)的隨機(jī)沖擊（如三鹿奶粉事件）即e2小于0，使得需求曲線向左下方移動，導(dǎo)致均衡價格P下降，因此e2與P存在正相關(guān)。數(shù)理推導(dǎo)：將方程(11.1.2)和(11.1.3)代入方程(11.1.1)，整理得到如下等式

(11.1.7)第十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五10方程(11.1.7)被稱為是簡約式方程，其特點是將內(nèi)生變量P僅僅表示為聯(lián)立方程模型中所有前定變量（包括外生變量和滯后內(nèi)生變量）X和Z，以及誤差項的函數(shù)。方程(11.1.7)中的參數(shù)p被稱為是簡約參數(shù)?？梢姡喖s式參數(shù)是結(jié)構(gòu)參數(shù)的非線性函數(shù)。

從方程(11.1.7)中可以看出，簡約式誤差項u是結(jié)構(gòu)誤差e1

和e2

的函數(shù)，因此P和e1

、e2

是相關(guān)的

第十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五11§11.2OLS估計的聯(lián)立性偏誤一、理解聯(lián)立性偏誤聯(lián)立性偏誤：聯(lián)立方程模型違背了解釋變量與誤差項不相關(guān)的基本假設(shè)，導(dǎo)致OLS估計產(chǎn)生有偏結(jié)果

例子解釋：以上述牛奶的需求為例，假設(shè)我們要估計參數(shù)a1

。由經(jīng)典回歸內(nèi)容可知該參數(shù)是度量了價格P對需求Qd的“凈”影響，但是由于價格P與誤差項e2

相關(guān)，e2的變化將通過價格P而影響需求Qd。因此，a1實際度量了價格變化和擾動項沖擊對需求變化的“混合”影響。

第十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五12蒙特卡羅仿真說明：（1）設(shè)定總體參數(shù)真值，如a0=b0=0,

a1=b2=-1,a2=b1=1;（2）重復(fù)生成樣本數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)生成過程中假定X~N(10,169),Z~N(5,400),e1~N(0,4),e2~N(0,100),樣本容量取20；（3）利用生成的樣本數(shù)據(jù)估計需求和供給方程，獲得上述結(jié)構(gòu)參數(shù)的OLS估計結(jié)果;（4）計算參數(shù)估計的均值，并與總體真值比較以驗證OLS估計存在聯(lián)立性偏誤。估計結(jié)果為：(11.2.1)結(jié)論：上述估計系數(shù)與真值差別較大，這就是聯(lián)立性偏誤。第十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五13程序范例第十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五14第十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五15二、聯(lián)立性檢驗?zāi)Ｐ偷穆?lián)立性主要表現(xiàn)為某些解釋變量是內(nèi)生變量，并且與誤差項相關(guān)。因此，模型聯(lián)立性檢驗的關(guān)鍵就是檢驗解釋變量是否與誤差項相關(guān)。

豪斯曼設(shè)定檢驗：以前述凱恩斯宏觀模型為例(11.1.4)(11.1.5)(11.1.6)其中Yt為內(nèi)生變量，如何檢驗Yt與et相關(guān)？第十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五16第一步：將Yt表示為模型所有前定變量的簡約式(11.2.2)由于前定變量Ct-1和Yt-1與誤差項et不相關(guān)，因此檢驗Yt是否與et相關(guān)即可轉(zhuǎn)化為檢驗式(11.2.2)中誤差項wt

是否與結(jié)構(gòu)誤差et相關(guān)第二步：設(shè)定輔助回歸模型(11.2.3)模型聯(lián)立性檢驗轉(zhuǎn)化為檢驗參數(shù)r

是否顯著為0。若r

為0，說明wt

與et不相關(guān)，反之相關(guān)。第十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五17第三步：將方程(11.2.3)代入(11.1.4)得到(11.2.4)聯(lián)立性檢驗即是檢驗方程(11.2.4)中系數(shù)r是否顯著異于0。說明：簡約式誤差wt通常是不可觀察的，因此，我們首先需要對方程(11.2.2)進(jìn)行回歸，得到wt的估計值，然后再把代入方程(11.2.4)進(jìn)行回歸，并對參數(shù)r進(jìn)行t檢驗說明：簡約式誤差wt通常是不可觀察的，因此，我們首先需要對方程(11.2.2)進(jìn)行回歸，得到wt的估計值，然后再把代入方程(11.2.4)進(jìn)行回歸，并對參數(shù)r進(jìn)行t檢驗第十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五18三、應(yīng)用實例以中國1978—2007年的收入、消費(fèi)和投資數(shù)據(jù)，檢驗凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型(11.1.4)—(11.1.6)的聯(lián)立性第一步：將Yt對所有前定變量Ct-1和Yt-1進(jìn)行回歸(11.2.5)Eviews操作如下：第十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五191）在命令窗口鍵入lsyccons(-1)y(-1)2）得到估計結(jié)果第二十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五20第二步：計算方程(11.2.5)的殘差，然后將其作為解釋變量代入(11.2.4)，重新回歸得到第二步：計算方程(11.2.5)的殘差，然后將其作為解釋變量代入(11.2.4)，重新回歸得到(11.2.6)可以看出顯著異于0，說明Yt和Ct之間存在聯(lián)立性。可以看出顯著異于0，說明Yt和Ct之間存在聯(lián)立性。Eviews操作為第二十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五211)生成殘差w2)在命令窗口鍵入lsconscycons(-1)w3)得到估計結(jié)果第二十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五22§11.3參數(shù)識別一、識別含義以牛奶的供求模型為例，假設(shè)現(xiàn)在牛奶的供給與需求只受價格變化的影響，因此聯(lián)立方程模型可以設(shè)定為

供給方程：(11.3.1)需求方程：(11.3.2)均衡方程：(11.3.3)遺憾的是，對于一組樣本數(shù)據(jù)，上述供求模型是不可識別的，雖然我們標(biāo)識出了供求模型(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)需求方程：均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)供給方程：需求方程：均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)第二十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五23對于任意一個給定的常數(shù)l(0<l<1)，如果我們用l去乘供給方程(11.3.1)兩邊，而用(1-l)去乘需求方程(11.3.2)兩邊，然后相加(11.3.4)混合方程(11.3.4)與(11.3.1)和(11.3.2)并沒有區(qū)別，因為滿足(11.3.1)和(11.3.2)方程的樣本數(shù)據(jù)同樣也滿足于混合方程

如果去掉供給方程(11.3.1)和需求方程(11.3.2)的標(biāo)識，二者并沒有本質(zhì)區(qū)別方程(11.3.1)和(11.3.2)都是不可識別的第二十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五24在供給方程中引入一個額外變量X，變?yōu)?11.3.5)X的變化會使得供給曲線發(fā)生移動，而需求曲線是固定不變的，圖示DPQ0S1S2S3第二十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五25供給和需求形成的均衡即兩條曲線的交點，就可以確定出需求曲線的形狀

供給曲線的移動為我們提供了足夠的信息來識別需求曲線！需求方程是可以識別的，或者說是恰好識別的

X的變化并沒有為識別供給曲線本身提供任何信息，因此供給方程仍然是不可識別的。

第二十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五26再看供給方程的識別問題我們?nèi)匀挥胠去乘新的供給方程(11.3.5)兩邊，而用(1-l)去乘需求方程(11.3.2)兩邊，然后相加(11.3.6)從表面上看混合方程(11.3.6)與供給方程(11.3.5)也并沒有區(qū)別

也就是說，對于給定的一組樣本數(shù)據(jù)，我們并不能確定估計的是混合方程(11.3.6)還是供給方程(11.3.5)。因此，方程(11.3.5)是不可識別的。

第二十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五27上例說明在供給方程中引入一個外生變量X

導(dǎo)致需求方程變成是可識別的

如果在供給方程中再引入另外一個外生變量W，在這種情況下，我們既可以利用X的信息來識別需求曲線也可以利用W的信息來識別需求曲線，因此我們稱此時的需求方程是過度識別的

如果將外生變量W放入需求方程中呢？此時X的變化仍然為我們識別需求方程提供了信息，而W的變化為識別供給方程提供了信息，因此兩個方程都是可識別的。如圖示：第二十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五28X和W變化使供求曲線發(fā)生移動，導(dǎo)致供給方程和需求方程變成是可識別的D1PQ0S2S1OMND2X變化W變化第二十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五29二、識別條件階條件：在一個由M個內(nèi)生變量和K個前定變量（包括外生變量和滯后的內(nèi)生變量）構(gòu)成的聯(lián)立方程模型中，假設(shè)模型總共含有M

個方程，其中某一待識別的方程含有m個內(nèi)生變量和k個前定變量，那么該方程可被識別的階條件是：該方程所不包含的前定變量的個數(shù)至少不低于它所包含的內(nèi)生變量的個數(shù)減去1，即。當(dāng)K–k=m–1時，該方程是恰好識別的；當(dāng)K–k>m–1時，該方程是過度識別的。

第三十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五30例子：牛奶的供求模型供給方程：需求方程：均衡方程：(11.3.1)(11.3.2)(11.3.3)分析：供給方程含有2個內(nèi)生變量Qs和P(m=2)，但不含有前定變量(k=0)，并且整個聯(lián)立方程模型(11.3.1)—(11.3.3)中也不含有任何前定變量(K=0),滿足條件K–k<m–1，因此供給方程是不可識別第三十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五31在供給方程中引入外生變量X，變?yōu)?11.3.5)分析供給方程：供給方程仍然含有2個內(nèi)生變量Qs和P，1個外生變量X，此時供給方程不包含的外生變量個數(shù)為0，該值仍然小于它所包含的內(nèi)生變量個數(shù)減去1，因此按照階條件，供給方程仍然是不可識別的。分析需求方程：需求方程不包含外生變量X，因此它所不包含的外生變量個數(shù)即為1，該值剛好等于需求方程所包含的內(nèi)生變量個數(shù)減去1，因此按照階條件，需求方程是可以識別的，并且是恰好可以識別的。

第三十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五32注意：階條件只是方程識別的必要條件。

秩條件（充分必要條件）：在一個含有M個內(nèi)生變量且由M個方程構(gòu)成的聯(lián)立方程模型中，如果在由某一方程所不含而其他方程所含的變量（包括內(nèi)生變量和前定變量）的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣中，至少存在一個（M-1）階非零行列式，那么該方程就是可以識別的；如果不存在這樣的行列式，那么該方程就是不可以識別的。說明：由于秩條件較為煩瑣，在一般情況下應(yīng)用階條件判別方程是否可識別也是正確的。

第三十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五33§11.42SLS估計一、兩階段最小二乘估計思想（2SLS）以牛奶供求模型為例，P、Q為內(nèi)生變量，X、Z為外生變量供給方程：(11.4.1)需求方程：(11.4.2)分析：OLS估計是有偏的，原因在于解釋變量P與誤差項（e1、e2）相關(guān)。第三十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五34設(shè)想：尋找一個關(guān)于P

的替代變量P*，滿足條件（1）變量P*與P非常相似或相關(guān)；（2）變量P*與誤差項e1

不相關(guān)用變量P*代替P，代入供給方程，由于P*與誤差項e1

不相關(guān)，新的供給方程將重新滿足經(jīng)典線性回歸模型的假設(shè)條件，OLS可以獲得參數(shù)的一致估計。變量P*被稱為是工具變量第三十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五35尋找工具變量P*將方程(11.4.2)代入方程(11.4.1)得到(11.4.3)價格P的變化可以由外生變量X和Z來聯(lián)合解釋，因此每個變量X或Z都可以作為工具變量

合理的方法是：把X和Z都作為P的潛在工具變量，用P對X和Z進(jìn)行回歸，然后再把估計的值作為P的工具變量代入供給方程，并由此得到參數(shù)的一致估計結(jié)果合理的方法是：把X和Z都作為P的潛在工具變量，用P對X和Z進(jìn)行回歸，然后再把估計的值作為P的工具變量代入供給方程，并由此得到參數(shù)的一致估計結(jié)果第三十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五362SLS步驟第一階段：先將內(nèi)生變量P對模型中所有前定變量X和Z進(jìn)行回歸，得到P的估計值。(11.4.4)第二階段：把作為P的工具變量，將其代入結(jié)構(gòu)方程(11.4.1)，得到參數(shù)b

的估計結(jié)果。

第二階段：把作為P的工具變量，將其代入結(jié)構(gòu)方程(11.4.1)，得到參數(shù)b

的估計結(jié)果。

(11.4.5)第三十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五37注意：在尋找工具變量時，若第一階段對方程(11.4.3)的擬合優(yōu)度較低，表明和P

的相關(guān)性較低，說明并不是P

的一個較好的工具變量

經(jīng)驗做法：如果結(jié)構(gòu)方程(如方程11.4.1)只有一個內(nèi)生變量(P)作為解釋變量，那么在尋找該內(nèi)生變量的工具變量()時，我們可以構(gòu)造該內(nèi)生變量的簡約方程(方程11.4.3)，并且估計簡約方程,如果估計結(jié)果顯示結(jié)構(gòu)方程所不包含的外生變量向量(Z)的聯(lián)合顯著性檢驗的F統(tǒng)計值大于10，那么由簡約方程所得到的就是合格工具變量。

第三十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五38方差校正在估計第二階段方程時，此時誤差項為合成誤差因此，OLS對總體方差的估計應(yīng)是

(11.4.6)它并不等于總體真實方差的估計

(11.4.7)第三十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五39二、說明性例子為了說明2SLS的估計思想，我們?nèi)匀灰院唵蔚膭P恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型為例，利用表11.2.1所給數(shù)據(jù)進(jìn)行估計第一階段：將內(nèi)生變量Yt對模型中所有前定變量Yt-1和Ct-1進(jìn)行回歸，并計算Yt的估計值(11.4.8)Eviews操作同上，可得第四十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五401）在命令窗口鍵入lsyccons(-1)y(-1)2）得到估計結(jié)果第四十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五41第二階段：把作為Yt的工具變量代入方程(11.1.4)，估計各參數(shù)

b

。

(11.4.9)Eviews操作為第四十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五421）鍵入命令fity_hat2)生成Y的預(yù)測值第四十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五43鍵入命令lsconscy_hatcons(-1)得到第二階段回歸結(jié)果注意方差第四十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五44校正的方差是直接利用2SLS命令tslsconscycons(-1)@cons(-1)y(-1)注意方差第四十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五45§11.5一個簡單的貨幣供求模型作為本章綜合性例子，考慮貨幣供求模型

貨幣需求(11.5.1)貨幣供給(11.5.2)均衡方程(11.5.3)問題一；如何判別內(nèi)生變量與外生變量？

第四十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期五46假設(shè)方程(11.5.1)中的變量Yt出現(xiàn)變化，那么這種變化首先會影響到貨幣需求，經(jīng)由方程(11.5.3)影響到貨幣供給，并進(jìn)而通過方程(11.5.2)傳遞到變量Yt自身，因此產(chǎn)出Yt是內(nèi)生變量總結(jié)方法：如果某一變量出現(xiàn)變化