計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)2023/6/241第一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項(xiàng)式曲面Bezier曲面2023/6/242第二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項(xiàng)式曲面Bezier曲面2023/6/243第三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（1/20）曲線的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示2023/6/244第四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（2/20）參數(shù)表示參數(shù)的含義時(shí)間，距離，角度，比例等等規(guī)范參數(shù)區(qū)間[0，1]矢量表示形式例子：直線段的參數(shù)表示2023/6/245第五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（3/20）顯式或隱式表示存在下述問題：1）與坐標(biāo)軸相關(guān)；2）會(huì)出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；4）不便于計(jì)算機(jī)編程。3）對(duì)于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；2023/6/246第六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（4/20）參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)：1）以滿足幾何不變性的要求。2）有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀3）對(duì)曲線、曲面進(jìn)行變換，可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。4）便于處理斜率為無窮大的情形，不會(huì)因此而中斷計(jì)算。（5）變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量，便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算。2023/6/247第七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（5/20）參數(shù)表示與隱式表示的相互轉(zhuǎn)換例子2023/6/248第八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（6/20）正則點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)正則曲線所有的點(diǎn)都是正則點(diǎn)的曲線斜率直線的傾斜程度一個(gè)坐標(biāo)變量關(guān)于另一個(gè)坐標(biāo)變量變化率2023/6/249第九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（7/20）切矢量坐標(biāo)變量關(guān)于參數(shù)的變化率弧長(zhǎng)2023/6/2410第十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（8/20）弧長(zhǎng)參數(shù)單位切矢量2023/6/2411第十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（9/20）主法矢量主法矢量與切矢量垂直主法線副法矢量副法線Frenet標(biāo)架2023/6/2412第十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（10/20）曲率曲線的彎曲程度曲率半徑關(guān)于任意參數(shù)切矢量、法矢量和曲率的計(jì)算2023/6/2413第十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（11/20）2023/6/2414第十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（12/20）參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴(yán)格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足記號(hào)2023/6/2415第十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（13/20）幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處,并且切矢量方向連續(xù)記為2023/6/2416第十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（14/20）2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處（1）（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率連續(xù)例子幾何連續(xù)與參數(shù)連續(xù)的關(guān)系2023/6/2417第十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（15/20）插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個(gè)線形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。拋物線插值:已知在三個(gè)互異點(diǎn)x1,x2,x3的函數(shù)值為y1,y2,y3，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)2023/6/2418第十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（16/20）使拋物線在結(jié)點(diǎn)xi處與f(x)在xi處的值相等.2023/6/2419第十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（17/20）逼近和光順逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合。光順(Firing)指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對(duì)平面曲線而言，相對(duì)光順的條件是：a.具有二階幾何連續(xù)性(G2)；b.不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；c.曲率變化較小。2023/6/2420第二十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)曲線基礎(chǔ)（17/20）參數(shù)化參數(shù)t,在[0,1]區(qū)間的分割可以有無數(shù)種。因?yàn)镻0、P1和P2可對(duì)應(yīng)：

其中每個(gè)參數(shù)值稱為節(jié)點(diǎn)(knot)。對(duì)于一組有序的型值點(diǎn)Pi，確定一種參數(shù)分割ti，稱之對(duì)這組型值點(diǎn)參數(shù)化。2023/6/2421第二十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)化常用方法有：均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)

節(jié)點(diǎn)在參數(shù)軸上呈等距分布，+正常數(shù)。累加弦長(zhǎng)參數(shù)化這種參數(shù)法如實(shí)反映了型值點(diǎn)按弦長(zhǎng)的分布情況，能夠克服型值點(diǎn)按弦長(zhǎng)分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。參數(shù)曲線基礎(chǔ)（18/20）2023/6/2422第二十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五向心參數(shù)化法向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡(jiǎn)化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點(diǎn)分布。參數(shù)曲線基礎(chǔ)（19/20）2023/6/2423第二十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五修正弦長(zhǎng)參數(shù)化法弦長(zhǎng)修正系數(shù)Ki>=1。參數(shù)曲線基礎(chǔ)（20/20）2023/6/2424第二十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項(xiàng)式曲面Bezier曲面2023/6/2425第二十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲線（1/5）為什么采用參數(shù)多項(xiàng)式曲線表示最簡(jiǎn)單理論和應(yīng)用最成熟定義--n次多項(xiàng)式曲線2023/6/2426第二十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲線（2/5）矢量表示形式加權(quán)和形式缺點(diǎn)沒有明顯的幾何意義與曲線的關(guān)系不明確，導(dǎo)致曲線的形狀控制困難2023/6/2427第二十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲線（3/5）矩陣表示矩陣分解幾何矩陣控制頂點(diǎn)基矩陣M

確定了一組基函數(shù)2023/6/2428第二十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲線（4/5）例子—直線段的矩陣表示P0P1P0+P12023/6/2429第二十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲線（5/5）參數(shù)多項(xiàng)式曲線的生成Horner算法參數(shù)離散計(jì)算型值點(diǎn)連接型值點(diǎn)折線2023/6/2430第三十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十章曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項(xiàng)式曲面Bezier曲面2023/6/2431第三十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(1/7)定義給定4個(gè)矢量，稱滿足條件的三次多項(xiàng)式曲線P(t)為Hermite曲線P0P1R0R12023/6/2432第三十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(2/7)矩陣表示條件2023/6/2433第三十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(3/7)合并解（不唯一）2023/6/2434第三十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(4/7)基矩陣與基函數(shù)（調(diào)和函數(shù)）2023/6/2435第三十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(5/7)形狀控制改變端點(diǎn)位置矢量調(diào)節(jié)切矢量的方向2023/6/2436第三十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(6/7)調(diào)節(jié)切矢量的長(zhǎng)度控制頂點(diǎn)幾何變換對(duì)曲線變換等價(jià)于對(duì)控制頂點(diǎn)變換例子：Photoshop2023/6/2437第三十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五三次Hermite曲線(7/7)三次參數(shù)樣條曲線樣條?曲線的定義給定參數(shù)節(jié)點(diǎn)，型值點(diǎn)，求一條的分段三次參數(shù)曲線，使。P(t)稱為三次參數(shù)樣條曲線表達(dá)式求法？例子：Photoshop2023/6/2438第三十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十張曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項(xiàng)式曲面Bezier曲面2023/6/2439第三十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（1/24）Bezier基函數(shù)的定義如下n次多項(xiàng)式稱為n次Bezier基函數(shù)2023/6/2440第四十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（2/24）Bezier基函數(shù)的性質(zhì)正性權(quán)性2023/6/2441第四十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（3/24）對(duì)稱性降階公式2023/6/2442第四十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（4/24）升階公式導(dǎo)數(shù)2023/6/2443第四十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（5/24）積分最大值在t=i/n處取得最大值線性無關(guān)性是n次多項(xiàng)式空間的一組基2023/6/2444第四十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（6/24）Bezier曲線的定義n次多項(xiàng)式曲線P（t）稱為n次Bezier曲線控制頂點(diǎn)控制多邊形2023/6/2445第四十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（7/24）Bezier曲線的性質(zhì)端點(diǎn)位置2023/6/2446第四十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（8/24）端點(diǎn)切矢量導(dǎo)數(shù)曲線2023/6/2447第四十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（9/24）端點(diǎn)曲率曲率公式2023/6/2448第四十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（10/24）仿射不變性表達(dá)式幾何屬性：形狀，曲率等等2023/6/2449第四十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（11/24）凸包性凸集凹集點(diǎn)集的凸包包含這些點(diǎn)的最小凸集Bezier曲線位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi)2023/6/2450第五十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（12/24）直線再生性平面曲線的保凸性平面曲線的變差縮減性2023/6/2451第五十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（13/24）擬局部性形狀的易控性2023/6/2452第五十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（14/24）三次Bezier曲線的矩陣表示2023/6/2453第五十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（15/24）DeCasteljau算法問題給定參數(shù)，計(jì)算tP(t)2023/6/2454第五十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（16/24）算法計(jì)算過程2023/6/2455第五十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（17/24）幾何解釋2023/6/2456第五十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（18/24）分割定理問題：一條多項(xiàng)式曲線被分割成兩段，得到的兩段曲線是不是多項(xiàng)式曲線？如果是，它們的表達(dá)式如何？P=Q+R2023/6/2457第五十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（19/24）幾何解釋2023/6/2458第五十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（20/24）離散生成算法想法2023/6/2459第五十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（21/24）程序voidDisplayBezierCurve(VectorP[],intn,floatDELTA){ if(Distance(P,n)<=DELTA)

顯示控制多邊形P；

else { BezierCurveSplitting(P,Q,R,n); DisplayBezierCurve(Q,n,DELTA）；

DisplayBezierCurve(R,n,DELTA）；

}}2023/6/2460第六十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（22/24）計(jì)算距離2023/6/2461第六十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（23/24）曲線的拼接2023/6/2462第六十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲線（24/24）

條件條件條件？Bezier曲線拼接的例子：PhotoShop2023/6/2463第六十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十張曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項(xiàng)式曲面Bezier曲面2023/6/2464第六十四頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲面(1/7)曲面的表示形式非參數(shù)表示顯式表示隱式表示2023/6/2465第六十五頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲面(2/7)參數(shù)表示2023/6/2466第六十六頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲面(3/7)等參數(shù)曲線一個(gè)參數(shù)固定，一個(gè)參數(shù)自由變化U曲線V曲線切矢量切平面法矢量2023/6/2467第六十七頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲面(4/7)參數(shù)多項(xiàng)式曲面的定義系數(shù)矩陣2023/6/2468第六十八頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲面(5/7)矩陣表示2023/6/2469第六十九頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲面(6/7)2023/6/2470第七十頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五參數(shù)多項(xiàng)式曲面(7/7)參數(shù)多項(xiàng)式曲面的生成2023/6/2471第七十一頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十張曲線與曲面參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項(xiàng)式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線參數(shù)多項(xiàng)式曲面Bezier曲面2023/6/2472第七十二頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五Bezier曲面Bezier曲面的定義控制定點(diǎn)控制網(wǎng)格2023/6/2473第七十三頁(yè)，共八十六頁(yè)，編輯于2023年，