用二分法求方程的近似解

第四章指數函數與對數函數4.5函數應用(二)4.5.1函數的零點與方程的解

函數零點的概念對于函數y＝f(x)，我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點。注：1、零點不是一個點，而是一個實數。

2、零點的意義：①零點是方程的根；②零點是圖象與x軸交點的橫坐標。

基礎知識知識點1

函數零點存在定理如果函數y＝f(x)對于在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條_________的曲線，且有________，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間（a，b)____________零點，即存在c∈（a，b),這個c也就是方程f(x)=0的解。注：1、連續(xù)不斷與f(a)f(b)<0這兩個條件缺一不可。

2、確定零點個數的方法：①求方程的根；②判斷y＝f(x)的圖象與x軸交點的個數；③單調性；④轉化成兩個函數圖象交點問題。

連續(xù)不斷基礎知識知識點2至少有一個

f(a)·f(b)<04.5.2用二分法求方程的近似解

二分法的概念對于在區(qū)間[a，b]上____________且_____________的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到函數零點近似值的方法叫做二分法．思考1：是否所有的函數都可以用二分法求函數的零點？提示：不是，只有滿足函數圖象在零點附近連續(xù)，且在該零點左右函數值異號時，才能應用“二分法”求函數零點．連續(xù)不斷基礎知識知識點1f(a)·f(b)<0

用二分法求函數f(x)的零點近似值的步驟(1)確定區(qū)間[a，b]，驗證_____________________，給定精確度ε；(2)求區(qū)間(a，b)的中點c；(3)計算f(c)：若f(c)＝_____，則c就是函數的零點；若f(a)·f(c)______0，則令b＝c[此時零點x0∈(a，c)]；若f(c)·f(b)______0，則令a＝c[此時零點x0∈(c，b)]．f(a)·f(b)＜0知識點20＜＜(4)判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|______ε，則得到零點的近似值為a(或b)；否則重復(2)～(4)．思考：零點的近似解只能是區(qū)間的端點a或b嗎？提示：不是，區(qū)間的端點可以，區(qū)間的中點也可以，實際上區(qū)間上的任意一個值都可以．＜

答一答

用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個正實數近似解(精確度為0.1)．[分析]

把方程的近似解轉化為函數的零點的近似值．[解析]

令f(x)＝2x3＋3x－3，經計算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函數f(x)在(0,1)內存在零點．即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內有解．取(0,1)的中點0.5，經計算f(0.5)<0，又f(1)>0，例1所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內有解．如此繼續(xù)下去，得到方程的正實數根所在的區(qū)間，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一個精確度為0.1的正實數近似解可取為0.6875.[歸納提升]

1.用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則(1)需依據圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計值的方法完成)．(2)取區(qū)間端點的平均數c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數零點的近似值．2．二分法求函數零點步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看，同號丟，異號算，零點落在異號間．重復做，何時止，精確度來把關口．1．以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點近似值的是(

)C基礎自測2．下列函數中不能用二分法求零點近似值的是(

)A．f(x)＝3x－1

B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx[解析]

對于選項C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函數f(x)＝|x|存在零點，但當x>0時，f(x)>0，當x<0時，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函數值非負，即函數f(x)＝|x|有零點，但零點兩側函數值不異號，所以不能用二分法求零點的近似值．C3．(2019·河南永城實驗中學高一期末測試)用二分法求函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區(qū)間是(

)A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2][解析]

f(－2)＝(－2)3＋5＝－8＋5＝－3<0，f(1)＝1＋5＝6>0，∴f(－2)·f(1)<0，故選A．A4．函數f(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的變號零點的個數為(

)A．0

B．1C．2 D．3[解析]

函數f(x)的圖象通過零點時，穿過x軸，則必存在變號零點，根據圖象可知，函數f(x)有3個變號零點，故選D．D5．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)內，則m的取值范圍為____________.(0,3)題型一對二分法概念的理解 (1)下面關于二分法的敘述，正確的是(

)A．用二分法可求所有函數零點的近似值B．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位C．二分法無規(guī)律可循D．只有在求函數的零點時才用二分法B題型探究例1(2)觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是(

)[分析]

(1)怎樣用二分法求函數的零點？(2)函數具有零點與該函數的圖象有何關系？A[解析]

(1)只有函數的圖象在零點附近是連續(xù)不斷且在該零點左右的函數值異號，才可以用二分法求函數的零點的近似值，故A錯；二分法有規(guī)律可循，可以通過計算機或計算器來進行，故C錯；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯．(2)由圖象可得，A中零點左側與右側的函數值符號不同，故可用二分法求零點．[歸納提升]

運用二分法求函數的零點需具備的兩個條件：(1)函數圖象在零點附近連續(xù)不斷；(2)在該零點左右函數值異號．【對點練習】?(1)對于二分法求得的近似解，精確度ε說法正確的是(

)A．ε越大，零點的精確度越高 B．ε越大，零點的精確度越低C．重復計算次數就是ε D．重復計算次數與ε無關(2)下列函數圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數零點的是(

)BBA(2)用二分法求函數f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：據此數據，可得f(x)＝3x－x－4的一個零點的近似值(精確度0.01)為_____________.1.5625f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060【對點練習】?某娛樂節(jié)目有一個給選手在限定時間內猜一物品的售價的環(huán)節(jié)，某次猜一品牌手機的價格，手機價格在500～1000元，選手開始報價1000元，主持人回答高了；緊接著報900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分，實際上體現了“逼近”的思想，試設計出可行的猜價方案．[分析]

運用二分法思想求解．[解析]

取價格區(qū)間[500,1000]的中點750元，低了；就再取[750,1000]的中點875，高了；就取[750,875]的中點，遇到小數，則取整數，照此猜下去，可以猜價：750,875,812,843,859,851，經過6次即能猜中價格．

用二分法求方程2x3+3x-3=0的一個正實數近似解(精確度為0.1).【解題指南】根據二分法的思想先確定零點所在的區(qū)間，逐步取區(qū)間的中點值，直到滿足精確度要求，即區(qū)間的長度小于精確度.

題型二用二分法求方程的近似解如此繼續(xù)下去，得到方程的正實數根所在的區(qū)間，如表：(a，b)中點cf(a)f(b)f(0，1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5，1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5，0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625，0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0由于|0.6875-0.75|=0.0625<0.1，所以方程2x3+3x-3=0的一個精確度為0.1的正實數近似解可取為0.6875.

【解析】令f(x)=2x3+3x-3，經計算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，f(0)·f(1)<0，

所以函數f(x)在(0，1)內存在零點，即方程2x3+3x=3在(0，1)內有解.取(0，1)的中點0.5，經計算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3+3x-3=0在

(0.5，1)內有解.

現有12個小球，從外觀上看完全相同，除了1個小球質量不合標準外，其余的小球質量均相同且合標準，用同一架天平(無砝碼)，限稱三次，把這個“壞球”找出來，并說明此球是偏輕還是偏重．如何稱？[解析]

先在天平左右各放4個球．有兩種情況：(1)若平，則“壞球”在剩下的4個球中．取剩下的4個球中的3個球放在天平的一端，取3個好球放在天平的另一端．題型三二分法思想的實際應用例3①若仍平，則“壞球”為4個球中未取到的那個球，將此球與1個好球放上天平比一比，即知“壞球”是輕還是重；②若不平，則“壞球”在天平一端的3個球之中，且知是輕還是重．任取其中2個球，天平兩端各放1個，無論平還是不平，均可確定“壞球”．(2)若不平，則“壞球”在天平上的8個球中，不妨設天平右端較重．從右端4個球中取出3個球，置于一容器內，然后從左端4個球中取3個球移到右端，再從外面好球中取3個補到左端，看天平，有三種可能．①若平，則“壞球