2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-圓的切線的證明【附解析】

2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】1/312023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明1．如圖，已知△ABE內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，作∠BEF＝∠FAE，交AB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半徑．2．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓周上一點(diǎn)，連接AC、BC，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，作∠DCB＝∠CAB．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠A＝30°，AB＝6，則CD的長為．3．如圖，點(diǎn)A，B在圓O上，∠BAO的平分線交圓O于點(diǎn)D，點(diǎn)C在OA的延長線上，且∠CBA＝∠D．（1）求證：CB是圓O的切線；（2）若DB∥OA，BD＝3，求圓O的半徑．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第1頁。2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第1頁。4．如圖，在矩形ABCD中，G為AD的中點(diǎn)，△GBC的外接圓⊙O交CD于點(diǎn)F．（1）求證：AD與⊙O相切；（2）若DF＝1，CF＝3，求BC的長．5．如圖，△ABD為等腰直角三角形，∠BAD＝90°，點(diǎn)A，B在⊙O上，DA，DB的延長線分別與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G為EF延長線上一點(diǎn)，∠GBF＝∠FAB．（1）求證：BG為⊙O的切線；（2）若AF＝BF＝，求與弦BF圍成的陰影部分面積．6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若cosB＝，AD＝5，求FD的長．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第2頁。2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第2頁。7．如圖，以四邊形ABCD的對(duì)角線BD為直徑作圓，圓心為O，過點(diǎn)A作AE⊥CD的延長線于點(diǎn)E，已知DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若AE＝2，CD＝8，求⊙O的半徑和AD的長．8．如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝6，AE＝，求⊙O的半徑．9．如圖⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，延長BC于D，連接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．（1）求證：AD與⊙O相切；（2）若AE＝，CE＝1．求⊙O的半徑和AB的長度．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第3頁。2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第3頁。10．如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE∥AD交CD于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：直線BE與⊙O相切．（2）若CA＝4，CD＝6，求BE的長．11．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以點(diǎn)A為圓心作⊙A與BC相切于D，交AB于點(diǎn)F，在BC上取點(diǎn)E，使CE＝AC，連接EA，EF．（1）求證：EF是⊙A的切線；（2）若BE＝5，EF＝4，求點(diǎn)C到EA的距離．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，ED、AC的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若CF＝，且sin∠CFD＝，求⊙O的半徑與線段BC的長．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第4頁。2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第4頁。13．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，延長BC到D，連接AD，使AD∥OC．AB交OC于E．（1）求證：AD與⊙O相切；（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半徑．14．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC交于點(diǎn)E．（1）求證：BC是⊙D的切線；（2）若sinC＝，設(shè)BC切⊙D于點(diǎn)F，求tan∠CFE的值；15．如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．（1）證明：DE為⊙O的切線；（2）若BC＝8，求陰影部分的面積．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第5頁。2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第5頁。16．如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上CE＝CA，AB，CE的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：CE與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為3，EF＝4，求CE的長．17．如圖，AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點(diǎn)D，E是劣弧AD上一點(diǎn)，且BE平分∠FBA，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長FE和BA的延長線交于點(diǎn)G．（1）證明：GF是⊙O的切線；（2）若AG＝2，GE＝6，求⊙O的半徑．18．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DAB＝90°，點(diǎn)E在BC的延長線上，且∠CED＝∠CAB．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若AC∥DE，當(dāng)AB＝8，DC＝4時(shí)，求AC的長．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第6頁。2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第6頁。19．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F，C是⊙O上兩點(diǎn)，連結(jié)AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，過點(diǎn)C作CD⊥AF，交AF的延長線于點(diǎn)D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若∠DAC＝30°，AB＝6，則弧AC的長為．20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長線上的一點(diǎn)且AP＝AC．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若AB＝2+，BC＝4，求AC及⊙O的半徑．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第7頁。2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第7頁。參考答案與試題解析1．【解答】（1）證明：連接OE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，∵∠BEF＝∠FAE，OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵∠BEF＝∠FAE，∠F＝∠F，∴△BEF∽△EAF，∴，即，∴AF＝40，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣10＝30，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第8頁?！唷袿的半徑為15．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第8頁。2．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA，∵∠DCB＝∠CAB，∴∠DCB＝∠OCA，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即OC⊥DC∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠COD＝2∠A＝60°，，由（1）可得：OC⊥DC，在Rt△OCD中，CD＝OC?tan∠OCD＝3tan30°＝3，故答案為：．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第9頁。3．【解答】（1）證明：如圖，延長AO交圓O于點(diǎn)E，連接OB，BE，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第9頁。∵AE是圓O的直徑，∴∠ABE＝90°，即∠OBE+∠OBA＝90°，又∵OB＝OE，∴∠E＝∠OBE，∵∠D＝∠ABC，∠D＝∠E，∴∠ABC＝∠OBE，∴∠OBA+∠ABC＝∠OBA+∠OBE＝90°，即BO⊥BC，又∵OB是半徑，∴BC是圓O的切線．（2）解：方法一：∵DB//OA，∴∠OAD＝∠D，∵AD是∠BAO的平分線，∴∠OAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠D，∴BD＝AB＝3，∵∠AOB＝2∠E＝2∠D＝2∠BAD＝∠OAB，OA＝OB，∴△AOB是正三角形，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第10頁?！郞A＝AB，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第10頁?！郞A＝3，即圓O的半徑為3．方法二：連接DO，OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，又∵∠OAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），又DB//OA，∴四邊形OABD為平行四邊形，故OA＝BD＝3．4．【解答】（1）證明：連接GO并延長交BC于E，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∵G為AD的中點(diǎn)，∴AG＝DG，∴Rt△ABD≌Rt△DCG（HL），∴BG＝CG，∴GE⊥BC，∵AD∥BC，∴OG⊥AD，∵OG是⊙O的半徑，∴AD與⊙O相切；2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第11頁。（2）解：連接GF，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第11頁。∵∠DFG+∠CFG＝∠CFG+∠CBG＝180°，∵∠DFG＝∠CBG，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∴∠DGC＝∠DFG，∵∠D＝∠D，∴△GDF∽△CDG，∴＝，∴＝，∴DG＝2（負(fù)值舍去），∴BC＝AD＝2DG＝4．5．【解答】（1）證明：連接BE，∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE是圓O的直徑，∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第12頁?！唷螰BG+∠EBF＝90°，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第12頁?！唷螼BG＝90°，故BG是圓O的切線；（2）解：如圖，連接OA，OF，∵△ABD為等腰直角三角形，∴∠EFD＝∠DAB＝90°，∠D＝45°，∴∠FED＝45°，∴∠AOF＝90°，∵AF＝BF＝，∴OA＝OF＝BF＝1，∴△BOF是等邊三角形，∴∠BOF＝60°，∴與弦BF圍成的陰影部分面積＝﹣1×＝﹣．6．【解答】解：（1）連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第13頁。∴∠ADC＝∠OCD，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第13頁。又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝5，∴CD＝AD?cos∠ADC＝5×＝3，∴AC＝＝4，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，設(shè)FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+5，又∵FC2＝FD?FA，即（4x）2＝3x（3x+5），解得x＝（取正值），2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第14頁。∴FD＝3x＝．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第14頁。7．【解答】（1）證明：如圖，連接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE＝90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切線；（2）解：如圖，取CD中點(diǎn)F，連接OF，∴OF⊥CD于點(diǎn)F．∴四邊形AEFO是矩形，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第15頁?！逤D＝8，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第15頁。∴DF＝FC＝4．在Rt△OFD中，OF＝AE＝2，∴OD＝＝6，在Rt△AED中，AE＝2，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝6﹣4＝2，∴AD＝＝2，∴AD的長是2．8．【解答】（1）證明：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAM，∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝2，∴AD＝＝4，連接CD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠AED＝90°，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第16頁。∵∠CAD＝∠DAE，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第16頁。∴△ACD∽△ADE，∴＝，∴，∴AC＝8，∴⊙O的半徑是4．9．【解答】（1）證明：如圖，連接OA，∵∠AOC＝2∠ABC＝90°，OC∥AD，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）設(shè)半徑為r，則OE＝r﹣1，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OE2+OA2＝AE2，即（r﹣1）2+r2＝（）2，解得r＝2或r＝﹣1（舍去），（2）如圖，延長CO交⊙O于F，由相交弦定理得，AE?EB＝EC?EF，即?EB＝（2﹣1）×（2+1），2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第17頁?！郋B＝，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第17頁?！郃B＝AE+BE＝．10．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵CD是⊙O的切線，D是切點(diǎn)，∴OD⊥CD，即∠ODE＝ODC＝90°，∵AD∥OE，∴∠ODA＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，又∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠DOE＝∠BOE，又∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是半徑，∴BE是⊙O的切線；2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第18頁。（2）解：設(shè)半徑為r，則OC＝r+4，在Rt△COD中由勾股定理得，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第18頁。OD2+CD2＝OC2，即r2+62＝（r+4）2，解得r＝，∵∠ODC＝∠EBC＝90°，∠C＝∠C，∴△ODC∽△EBC，∴＝，即＝，解得BE＝．11．【解答】（1）證明：連接AD，∵⊙A與BC相切于D，∴∠ADB＝90°，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第19頁。∴∠DAE+∠AED＝90°，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第19頁。∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE＝90°，∴CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠DAE＝∠BAE，∵AF＝AD，AE＝AE，∴△AFE≌△ADE（SAS），∴∠ADE＝∠AFE＝90°，∵AF是⊙A的半徑，∴EF是⊙A的切線；（2）解：過點(diǎn)C作CG⊥AE，垂足為G，在Rt△BFE中，BE＝5，EF＝4，∴BF＝＝＝3，∵△AFE≌△ADE，∴EF＝DE＝4，∴BD＝BE+DE＝9，在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第20頁?！郃D2+81＝（AF+3）2，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第20頁?！郃D＝AF＝12，∴AE＝＝＝4，∵CA＝CE，CG⊥AE，∴EG＝AE＝2，∵∠ADE＝∠CGE＝90°，∠AED＝∠CEG，∴△AED∽△CEG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴點(diǎn)C到EA的距離為6．12．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠ODC＝∠B，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第21頁?！郞D∥AB，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第21頁?！唷螼DF＝∠AEF，∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是半徑，∴EF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ODF中，sinF＝，∴，∴OD＝，∴AC＝，AF＝10，在Rt△AEF中，由sinF＝＝得，AE＝6，在Rt△AEF中，由勾股定理得EF＝8，∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝﹣6＝，∵OD∥AB，∴，∴ED＝3，∴BD＝，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第22頁?！郆C＝2BD＝3．2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第22頁。13．【解答】（1）證明：連接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴OA⊥OC；又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∵OA是半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2，在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4，∴⊙O的半徑為4．14．【解答】（1）證明：如圖1，作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵∠BAC＝90°，∴DA⊥BA，∵BD平分∠ABC，∴DH＝DA，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第23頁?！逥A為⊙D的半徑，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第23頁?！郆C是⊙D的切線．（2）解：如圖2，連接DF，設(shè)AB＝5m，DA＝DF＝r，∵sinC＝＝，∴BC＝13m，∴AC＝＝12m，∴CD＝12m﹣r，∵⊙D與BC相切于點(diǎn)F，∴BC⊥DF，∴BC?DF＝CD?AB＝S△BCD，∴×13mr＝×5m（12m﹣r），∴DA＝r＝m，∵∠BFD＝∠BAD＝90°，BD＝BD，DF＝DA，∴Rt△BDF≌Rt△BDA（HL），∴∠BDF＝∠BDA，∵DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∴∠ADF＝2∠BDF＝∠DFE+∠DEF＝2∠DFE，∴∠BDF＝∠DFE，∴EF∥BD，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第24頁。∴∠CFE＝∠CBD＝∠ABD，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第24頁。∴tan∠CFE＝tan∠ABD＝＝＝，∴tan∠CFE的值是．15．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，CD，∵BC是⊙O的直徑，點(diǎn)D在圓上，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵CA＝CB，∴BD＝AD，又∵OB＝OC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第25頁?！郉E⊥OD，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第25頁。又∵OD是半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠A＝∠B＝30°，∠ACB＝120°，∵OD∥AC，∴∠COD＝180°﹣120°＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，∴OC＝OD＝CD＝BC＝4，在Rt△CDE中，CD＝4，∠CDE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝CD＝2，DE＝CD＝2，∴S陰影部分＝S梯形OCED﹣S扇形OCD＝（2+4）×﹣＝6﹣π．16．【解答】（1）證明：如圖，連接OE、AE，則OE＝OA，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第26頁。∴∠OEA＝∠OAE，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第26頁。∵CE＝CA，∠CAO＝90°，∴∠CEA＝∠CAE，∴∠CEO＝∠CEA+∠OEA＝∠CAE+∠OAE＝∠CAO＝90°，∵CE經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端，且CE⊥OE，∴CE與⊙O相切．（2）解：∵∠FEO＝90°，OE＝OA＝3，EF＝4，∴OF＝＝＝5，∴AF＝OF+OA＝8，∵CA2+AF2＝CF2，且CA＝CE，CF＝4+CE，∴CE2+82＝（4+CE）2，∴CE＝6，∴CE的長為6．17．【解答】（1）證明：如圖，連接OE，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第27頁?！連E平分∠FBA，2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明【附解析】全文共31頁，當(dāng)前為第27頁?！唷?＝∠2，∵OB＝OE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵BF⊥GF，∴OE⊥GF，∵OE是⊙O的半徑，∴GF是⊙O的切線；（2）解：設(shè)OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，∵AG＝2，GE＝6，∴OG＝OA+AG＝r+2，∵OG2＝GE2+OE2，∴（2+r）2＝62+r2，解得：r＝8，故⊙O的半徑為8．18．【解答】（1）證明：如圖，連接BD，∵∠BAD＝90°，∴點(diǎn)O必在BD上，即：BD是直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，2023年中考數(shù)學(xué)高頻