2022-2023學(xué)年廣東省河源市老隆中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年廣東省河源市老隆中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.的展開(kāi)式中的系數(shù)是

（

）A．6

B．12

C．24

D．48參考答案：C，令的系數(shù)為．故選．2.若方程有解，則的最小值為（A）2

（B）1

（C）

（D）參考答案：B3.在△ABC中，若且,則△ABC的形狀是（A）銳角三角形

（B）直角三角形

（C）等腰直角三角形

（D）等邊三角形參考答案：答案：D4.設(shè)(是虛數(shù)單位),則 （）A． B． C． D．參考答案：D5.設(shè)（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，則的值為（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出a1、a2、a3、a4的值，再計(jì)算．【解答】解：由（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，且二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=?25﹣r?（﹣x）r，∴a1=﹣?24=﹣80，a2=?23=80，a3=﹣?22=﹣40，a4=?2=10；∴==﹣．故選C．6.17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割。如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦?！秉S金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形)。例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金△ABC中，。根據(jù)這些信息，可得sin234°＝A.

B.

C.

D.參考答案：C7.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值為 （A） （B） （C）

（D）參考答案：A略8.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，其中，，，若，C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是參考答案：A略9.“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：D10.如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（A）34

（B）55（C）78

（D）89參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式組所表示的平面區(qū)域面積為

.參考答案：略12._________參考答案：

13.函數(shù)y＝coscos的最大值是______．參考答案：14.已知，，則=___________________.參考答案：-7略15.若，則參考答案：016.從一堆蘋(píng)果中任取5只，稱(chēng)得它們的質(zhì)量如下（單位：克）125

124

121

123

127則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差

（克）（用數(shù)字作答）．參考答案：解析：因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)，則樣本方差所以17.記直線：（）與坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形的面積為，則

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)，為數(shù)列前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．

參考答案：（1）an=2n+1．Sn==n2+2n．（2）（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵首項(xiàng)a1=3，a8-a3=10，∴5d=10，解得d=2．

∴an=a1+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．Sn==n2+2n．

（2）∵===-．

∴Tn=(1-)+(-)+…+(-)=1-=．

略19.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率是，且過(guò)點(diǎn)P(，1)．直線y=x+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求△PAB的面積的最大值；（Ⅲ）設(shè)直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N．判斷|PM|，|PN|的大小關(guān)系，并加以證明．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式，求得a2=2b2，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，求得m的取值范圍，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，根二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△PAB的面積的最大值；（Ⅲ）設(shè)直線PA，PB的斜率分別是k1，k1，根據(jù)韋達(dá)定理和直線的斜率公式求得k1+k2=0，則∠PMN=∠PNM，則丨PM丨=丨PN丨．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的半焦距為c，由橢圓C的離心率是e===，即a2=2b2，[]將點(diǎn)代入橢圓方程：．

解得，[]∴橢圓C的方程為；．[]（Ⅱ）由，消去y，整理得x2+mx+m2﹣2=0．[]令△=2m2﹣4（m2﹣2）＞0，解得﹣2＜m＜2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣2．∴丨AB丨==?，[]點(diǎn)．到直線x﹣y+m=0的距離為d==．[]∴△PAB的面積S=丨AB丨?d=丨m丨?，=≤，[]當(dāng)且僅當(dāng)m=±時(shí)，S=．則△PAB的面積的最大值；[]（Ⅲ）丨PM丨=丨PN丨．證明如下：[]設(shè)直線PA，PB的斜率分別是k1，k1，則k1+k2=+=，[]由（Ⅱ）得（y1﹣1）（x2﹣）+（y2﹣1）（x1﹣），=（x1+m﹣1）（x2﹣）+（x1+m﹣1）（x1﹣），=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣2（m﹣1），=（m2﹣2）+（m﹣2）（﹣m）﹣2（m﹣1）=0，∴直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)．[]∴∠1=∠2，∴∠PMN=∠PNM．∴丨PM丨=丨PN丨．[]20.(本小題滿分8分)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝2，且a2，a3＋1，a4成等差數(shù)列。(1)求a1及an；(2)設(shè)bn＝an＋n，求數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)和S5。參考答案：(1)由已知得a2＝2a1，a3＋1＝4a1＋1，a4＝8a1，又2(a3＋1)＝a2＋a4，所以2(4a1＋1)＝2a1＋8a1，解得a1＝1(2分)，故an＝a1qn-1＝2n-1(4分)；(2)因?yàn)閎n＝2n-1＋n，所以S5＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝＝46(8分)21.如圖，橢圓的離心率為，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)，且與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，B為橢圓E的下頂點(diǎn)，求證：對(duì)于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值．參考答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析．（1）因?yàn)?，所以，所以①，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以②，由①②解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可設(shè)直線，聯(lián)立消，整理得，設(shè)，，則有，，易知．故為定值．22.（本小題滿分12分）某學(xué)校高一年級(jí)為了解學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分是分）作為樣本（樣本容量為）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出如圖4甲所示的頻率分布直方圖和圖乙所示的樣本分?jǐn)?shù)莖葉圖（圖乙中僅列出了得分在，的數(shù)據(jù)）。(I)求樣本容量和頻率分布直方圖中的，的值；(II)在選取的樣本中，從考試成績(jī)是分以上（含分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取名同學(xué)為其他同學(xué)作交流，設(shè)表示所抽取的名同學(xué)中得分在的學(xué)生個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。參考答