2022-2023學年四川省樂山市高二下學期期中數(shù)學（理）試題【含答案】

2022-2023學年四川省樂山市高二下學期期中數(shù)學（理）試題一、單選題1．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.2．命題“”，則p為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式求解.【詳解】命題“”為全稱命題，其否定為特稱命題，即p：.故選：C3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根據(jù)復數(shù)除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導，不等式的解集與函數(shù)的定義域取交集即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，由，得．故選：A5．函數(shù)y＝xex的最小值是()A．－1 B．－eC．－ D．不存在【答案】C【分析】先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進而確定最值.【詳解】y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，則x＝－1，因為x<－1時，y′<0，x>－1時，y′>0，所以x＝－1時，ymin＝－.選C.【點睛】利用導數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用得可疑最值點，如導函數(shù)不變號，則根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最值點在對應(yīng)區(qū)間端點取得；第二步：比較極值同端點值的大小．在應(yīng)用題中若極值點唯一，則極值點為開區(qū)間的最值點.6．已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程是（

）A．2xy+1=0 B．x2y+2=0 C．2xy1=0 D．x+2y2=0【答案】A【分析】利用導數(shù)求，并求的值，寫出在處的切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，，則，而，∴函數(shù)在處的切線方程是，即2xy+1=0.故選：A7．樹立勞動觀念對人的健康成長至關(guān)重要，某實踐小組共有4名男生，2名女生，現(xiàn)從中選出4人參加校園植樹活動，其中至少有一名女生的選法共有（

）A．8種 B．9種 C．12種 D．14種【答案】D【分析】采用采用間接法，任意選有種，都是男生有1種，進而可得結(jié)果.【詳解】任意選有種，都是男生有1種，則至少有一名女生有14種.故選：D.【點睛】本題考查分類計數(shù)原理，考查間接法求選法數(shù)，屬于基礎(chǔ)題目.8．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于3，求出的值，即可求得展開式中的系數(shù)．【詳解】解：由于的展開式的通項公式為，則令，求得，可得展開式中的系數(shù)為，故選：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，以及二項展開式的通項公式以及系數(shù)的性質(zhì)．9．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)的奇偶性，然后利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，再把不等式化為的形式，然后去“”化為一般不等式，從而得解.【詳解】的定義域為，，所以是奇函數(shù)，又恒成立（僅當時等號成立），所以在上單調(diào)遞增，由得，所以，解得，故選：B.10．已知函數(shù)的一個極值點為1，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出的導函數(shù)，由題意可得，可得，再根據(jù)基本不等式可求的最大值.【詳解】函數(shù)，，函數(shù)的一個極值點為1，可得，即，得，所以，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故選：D11．若在上可導且，其導函數(shù)滿足，則的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先構(gòu)造函數(shù)，由確定單調(diào)遞減，從而得到的解集，即為的解集.【詳解】設(shè)，則，因為，所以在上恒成立，所以單調(diào)遞減，又得，由等價于，所以，即的解集是.故選：C.12．已知函數(shù).若存在實數(shù)，使得成立，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意，令，求出，若存在實數(shù)，使得成立，等價于成立，進而轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到，從而求出正實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，若存在實數(shù)，使得不等式成立，等價于成立，又，，，所以.當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，為正實數(shù)，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得正實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、填空題13．命題“若，則”的逆否命題是________.【答案】若或，則【分析】根據(jù)逆否命題的概念填空即可.【詳解】由題,則命題“若,則”的逆否命題為“若或,則”,故答案為:若或,則【點睛】本題考查命題的逆否命題,屬于基礎(chǔ)題.14．4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有__________種.【答案】【分析】根據(jù)題意，有且只有2名同學在同一個小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計數(shù)原理得解.【詳解】4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學先取2名同學看作一組，選法有：現(xiàn)在可看成是3組同學分配到3個小區(qū)，分法有：根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種故答案為：.【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.15．已知函數(shù)．若函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域內(nèi)有極值點求解，分離參數(shù)后得，從而求出函數(shù)的值域即可．【詳解】由函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，得函數(shù)在定義域內(nèi)有極值點．∵，∴，∴．令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，，∴．∴實數(shù)的取值范圍是．【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于將問題進行轉(zhuǎn)化，即把函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)的問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在定義域內(nèi)有變號零點的問題求解，同時解題中要結(jié)合函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用．16．已知，為實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為______．【答案】-1【分析】先由恒成立得出，進而，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】設(shè)，則不等式恒成立等價于成立，顯然當時不符合題意．當時，，∴當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴．由得，∴．令，則，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，∴，∴，則，此時，．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于依題意得出，進而得出.三、解答題17．一個小組有10名同學，其中4名男生，6名女生，現(xiàn)從中選出3名代表，(1)其中至少有一名男生的選法有幾種？(2)至多有1名男生的選法有幾種？【答案】(1)100（種）(2)80（種）【分析】（1）可知直接法處理，分類后利用分類加法計數(shù)原理求解，也可間接法求解；（2）分無男生和一名男生兩類情況求解，再由分類加法計數(shù)原理即可.【詳解】（1）方法一：(直接法)．第一類：3名代表中有1名男生，則選法種數(shù)為(種)；第二類：3名代表中有2名男生，則選法種數(shù)為(種)；第三類：3名代表中有3名男生，則選法種數(shù)為(種)；故共有60＋36＋4＝100(種)．方法二：(間接法)．從10名同學中選出3名同學的選法種數(shù)為種．其中不適合條件的有種，故共有(種)．（2）第一類：3名代表中有一名男生，則選法為(種)；第二類：3名代表中無男生，則選法為(種)；故共有60＋20＝80(種).18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)【分析】（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求最大值.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為，且，由得；由得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）得在上單調(diào)遞減，∴.19．如圖，在正方體中，E為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；（Ⅱ）可以將平面擴展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直角坐標系，利用空間向量計算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標法以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點為F，延長，易證三線交于一點P．因為，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點到平面的距離為h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以．【整體點評】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標運算進行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學習空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進行計算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.20．已知函數(shù)，，是的導函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）當時求出，設(shè)，利用的單調(diào)性可得答案；（2）設(shè)，利用的單調(diào)性求得最小值，由已知只需可得答案．【詳解】（1）當時，的定義域為，故，設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，所以．（2）因，設(shè)，則，由（1）可知的最小值是，要使在上單調(diào)遞增，只需，所以，故的取值范圍為．【點睛】本題考查了求函數(shù)的最小值及求參數(shù)的取值范圍的問題，解題的關(guān)鍵點是利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了學生分析問題、解決問題的能力.21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處取得極值，求，的值;（2）當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）本小題根據(jù)題意建立方程組，直接解題，再檢驗即可；（2）本題先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)最小值建立方程組求參數(shù)，最后根據(jù)單調(diào)性求最大值即可.【詳解】（1）∴，解得：∴，當，當，∴在遞增，遞減，滿足在處取到極值，∴滿足條件.（2）當時，時，時，，在單增，在單減又；，，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，求解時要注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用，同時注意第（1）問中求得的值后，還要進行驗證，是中檔題．22．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解最值或者利用換元法求解最值，可得答案.【詳解】（1）由可得，當時，，當時，，當時，，從而的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，由得，，，①若，即時，恒成立，故在R上單調(diào)遞增：②若，即時，由可得，或．令可得，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；③若，即時，由可得，或，令可得，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，在R上單調(diào)遞增；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為