微積分下第八章

一、問題的提出二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算四、小結(jié)第三節(jié)

對坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分)xyAL一、問題的提出BMn-1MiMi

-1DxM2M1Dyii實例:變力沿曲線所作的功L

:

A

fi

B,F

(

x,

y)

=

P(

x,

y)i

+

Q(

x,

y)

j

o常力所作的功分割

A

=

M0

,

M1

(

x1

,

y1

),,

Mn-1

(

xn-1

,

yn-1

),

Mn

=

B.Mi

-1

Mi

=

(Dxi

)i

+

(Dyi

)

j

.W

=

F

AB.n?

[P(xi

,hi

)

Dxi

+

Q(xi

,hi

)

Dyi

].i

=1ni

=1取極限

W

=

lim

[P(xi

,hi

)

Dxi

+

Q(xi

,hi

)

Dyi

].lfi

0近似值精確值i

i

i

i取F

(x

,h

)=P(x

,hi

)ini

=1DWi

?

F

(xi

,hi

)

Mi

-1

Mi

,即DWi

?

P(xi

,hi

)Dxi

+

Q(xi

,hi

)Dyi.o求和

W

=

DWix

y+

Q(x

,hi

)

j

,ALBMn-1M2M1i

iF

(x

,h

)i

-1

iM

D

xMiD

yi二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義

設(shè)L為xoy面內(nèi)從點

A到點B的一條有向光滑曲線弧,

函數(shù)

P(

x,

y),

Q(

x,

y)在L上有界.

用L上的點M1

(

x1

,

y1

),

M2

(

x2

,

y2

),,

Mn-1

(

xn-1

,

yn-1

)把L分成n個有向小弧段Mi

-1

Mi

(i

=

1,2,,

n;

M0

=

A,

Mn

=

B).設(shè)Dxi

=

xi

-

xi

-1

,

Dyi

=

yi

-

yi

-1

,

點(xi

,hi

)為Mi

-1

Mi

上任意取定的點.

如果當(dāng)各小弧段長度的最大值l

fi

0時,nL

P(

x,

y)dx

=

lim

P(xi

,hi

)Dxi

.lfi

0

i

=1i

=1數(shù)P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)x的曲線積分(或稱第二類曲線積分）,

記作n

P(xi

,hi

)Dxi的極限存在,

則稱此極限為函n類似地定義L

Q(x,y)dy

=lim

Q(xi

,hi

)Dyi

.其中P(x,y),lfi

0

i

=1Q(x,y)叫做被積函數(shù),L叫積分弧段.2.存在條件：當(dāng)P(x,

y),

Q(x,

y)在光滑曲線弧L=LP(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy上連續(xù)時,

第二類曲線積分存在

.3.組合形式L

P(

x,

y)dx

+

L

Q(

x,

y)dy

ds

=

dxi

+

dyj

.

其中F

=Pi

+Qj

,=LF

ds.4.推廣空間有向曲線弧Gni

i

i

iP(

x,

y,

z)dx

=

limGP(x

,h

,z

)Dx

.G

Pdx

+

Qdy

+

Rdz.lfi

0

i

=1nQ(xi

,hi

,zi

)Dyi

.Q(

x,

y,

z)dy

=

limlfi

0

i

=1GnR(xi

,hi

,zi

)Dzi

.R(

x,

y,

z)dz

=

limlfi

0

i

=1G1

2

LL

LPdx

+

Qdy.Pdx

+

Qdy

=

Pdx

+

Qdy

+5.性質(zhì)(1)

如果把

L分成

L1和L2

,

則(2)

設(shè)

L是有向曲線弧,

L-是與L方向相反的有向曲線弧,

則即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).L-P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy

=

-L

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)dy三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算到b時,點M

(x,y)從L的起點A沿L運動到終點B,j

(t

),y

(t

)在以a及b為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且j

￠2

(t

)+y

￠2

(t

)?0,則曲線積分L

P(x,y)dx

+Q(x,y)dy存在,

y

=y

(t

),續(xù),L的參數(shù)方程為

x

=j

(t

),當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變定理 設(shè)P(

x,

y),

Q(

x,

y)在曲線弧L上有定義且連ba{P[j

(t

),y

(t

)]j

￠(t

)

+

Q[j

(t

),y

(t

)]y

￠(t

)}dt=且L

P(x,y)dx

+Q(x,y)dyx起點為a，終點為b.特殊情形(1)

L

:

y

=

y(

x)baL{P[

x,

y(

x)]

+

Q[

x,

y(

x)]y￠(

x)}dx.Pdx

+

Qdy

=則y起點為c，終點為d

.(2)

L

:

x

=

x(

y)dcL{

P[

x(

y),

y]x

(

y)

+

Q[

x(

y),

y]}dy.￠Pdx

+

Qdy

=則(3)推廣t起點a

,終點b

.z

=

w

(t

)

x

=

j

(t

)G

:

y

=

y

(t

),a+

Q[j

(t

),y

(t

),w

(t

)]y

￠(t

)+

R[j

(t

),y

(t

),w

(t

)]w

￠(t

)}dt{P[j

(t

),y

(t

),w

(t

)]j

￠(t

)=G

Pdx

+

Qdy

+

Rdzb(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：

y

=y

(t

)設(shè)有向平面曲線弧為L：

x

=j

(t

),L上點(x,y)處的切線向量的方向角為a

,b

,則L

Pdx

+Qdy

=L

(P

cosa+Q

cosb)dsj

(t

)j

￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)其中cosa

=,y

(t

)j

￠2

(t

)

+y

￠2

(t

),cos

b

=（可以推廣到空間曲線上G）G上點(x,y,z)處的切線向量的方向角為a,b,g,則G

Pdx

+Qdy

+Rdz

=G

(P

cosa+Q

cosb+R

cos

g)dsG

G=

A t

ds

=

A

dr可用向量表示其中

A

=

{P,

Q,

R}，

t

=

{cos

a,

cosb,

cos

g},dr

=

t

ds

=

{dx,

dy,

dz}有向曲線元；G上點(x,y,z)處的單位切向量例12計算xydx,其中L為拋物線yLA(1,-1)到B(1,1)的一段弧.=x上從解x.(1)化為對x的定積分，y

=–L

xydx

=

AO

xydx

+

OB

xydx=1001x

xdxx(-

x

)dx

+1032=

2.45x

dx

=B(1,1)y2

=

xA(1,-1)=L

xydx

=

AB

xydx1-1y2

y(

y2

)￠dy(2)化為對y的定積分，x

=y2

,

y從-1到1.1-1=

25y4dy

=

4

.B(1,1)y2

=

xA(1,-1)注:第二類曲線積分沒有對稱性2計算y

dx,其中L為L半徑為a、圓心為原點、按逆時針方向繞行的上半圓周;從點A(a,0)沿x

軸到點B(-a,0)的直線段.例2解

y

=

a

sinqL

:

x

=

a

cosq,(1)

q

從0

變到p，A(a,0)B(-a,0)p0原式=a2

sin2

q(-a

sinq

)dqA(a,0)B(-a,0)343=

-

a

.(2)

L

:

y

=

0,x

從a

變到-a，-aa原式=0dx

=

0.注：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.p03=

a2(1

-

cos

q

)d

(cosq

)例3

計算L拋物線y

=x2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧;拋物線x

=y2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧;有向折線OAB，這里O,A,B依次是點(0,0)(1,0),(1,1).2

xydx

+x2dy,其中L為y

=

x2A(1,0)B(1,1)解(1)

化為對x

的積分.L

:y

=x

2

,x從0變到1,10(2

x x

2

+

x

2

2

x)dx原式=103=

4x

dx=

1.A(1,0)B(1,1)x

=

y2(2)

化為對y

的積分.L

:x

=y

2

,y從0

變到1,102(2

y

y

2

y

+

y4

)dy原式=104=

5y

dx=

1.A(1,0)B(1,1)ABOA+

2

xydx

+

x

2

dy2

xydx

+

x

2

dy(3)

原式=在

OA

上,

y

=

0,

x從

0

變到

1

,

1222

xydx

+

x dy

=

(2

x

0

+

x

0)dxOA

0在AB

上,=

0.x

=1,y

從0

變到1,

12AB

02xydx

+

x dy

=

(2

y

0

+1)dy

=

1.A(1,0)B(1,1)\原式=0

+1

=1.注：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.再到C(3,4,0)的一條定向折線.(見書P187例3)例4:計算G

ydx

+zdy

+xdz

,其中G為從A(2,0,0)到B(3,4,5)例5:設(shè)在力場沿G移動到2π20=(-R

+

k2t

)dt試求力場對質(zhì)點所作的功.解:作用下,質(zhì)點由其中G為由原點沿直線運動到橢球面a2fi例6:在變力Ffi

fi

fifi一卦限的點M(ξ,η,?

),問當(dāng)ξ,η,?

取何值時,力F所作的功W最大?并求出W的最大值.=yz

i+zx

j+xy

k的作用下,質(zhì)點x2

y2

z2+

+b2

c2=1上第93

abc)(W

=

xhV,x

=

a

,h

=

b

,V

=

c

時W

=3

3

3(習(xí)題課講)例7:將積分化為對弧長的積oyB

x2

x

-

x21

-

xy￠=}2

x

-

x21

-

xT

=

{1,=

2

x

-

x2

,

=

1

-

xL

P(

x,

y)dx

+

Q(

x,

y)d

y

=2

x

-

x2(1

-

x)分,其中L沿上半圓周解：y

=2

x

-x2

,四、小結(jié)1、對坐標(biāo)曲線積分的概念2、對坐標(biāo)曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題當(dāng)曲線L的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后（例如L：x

=a

cos

t

，y

=a

sin

t

，t

?

[0,2p]，a

是正常數(shù)），試問如何表示L的方向（如L表示為順時針方向、逆時針方向）？思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例如L：x

=a

cos

t

，y

=a

sin

t

，t

?

[0,2p

]中當(dāng)t

從0

變到2p時，L取逆時針方向;反之當(dāng)t

從2p變到0

時，L取順時針方向.L-L

P

(

x

,

y

)dx

+

Q

(

x

,

y

)dyP

(

x

,

y

)dx

+

Q

(

x

,

y

)dy=

__________

__

；3、

在公式

L

P

(

x

,

y

)dx

+

Q

(

x

,

y

)dy

=ba{P

[j

(t

),f

(t

)]j

￠(t

)+Q

[j

(t

),f

(t

)]f

￠(t

)}dt

中,下限a

對應(yīng)于L

的_

___點,上限b

對應(yīng)于L

的_

__

_點；

4、兩類曲線積分的聯(lián)系是_

_________

_

_____

__

__

__

________________________________

.練習(xí)題—、填空題:1、

對__

_____

_______的曲線積分與曲線的方向有關(guān)；2、

設(shè)

LP

(

x

,

y

)dx

+

Q

(

x

,

y

)dy

?

0

,則二、計算下列對坐標(biāo)的曲線積分:1、L2

2xydx

,其中L

為圓周(

x

-

a)

+

y

=

a

2

(a

>

0)及x

軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界(按逆時針方向繞行)；2、Lx

2

+

y

2(

x

+

y)dx

-

(

x

-

y)dy,其中L

為圓周Gx

2

+y

2

=a

2

(按逆時針方向饒行)；3、

dx

-dy

+ydz

,其中為有向閉折線ABCD,這里的A

,B

,C

依次為點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；4、ABCDAx

+

ydx

+dy

,其中ABCDA是以A(1,0)，B(0,1),C(-1,0),D(0,-