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文檔簡介
一、問題的提出二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算四、小結(jié)第三節(jié)
對坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分)xyAL一、問題的提出BMn-1MiMi
-1DxM2M1Dyii實例:變力沿曲線所作的功L
:
A
fi
B,F
(
x,
y)
=
P(
x,
y)i
+
Q(
x,
y)
j
o常力所作的功分割
A
=
M0
,
M1
(
x1
,
y1
),,
Mn-1
(
xn-1
,
yn-1
),
Mn
=
B.Mi
-1
Mi
=
(Dxi
)i
+
(Dyi
)
j
.W
=
F
AB.n?
[P(xi
,hi
)
Dxi
+
Q(xi
,hi
)
Dyi
].i
=1ni
=1取極限
W
=
lim
[P(xi
,hi
)
Dxi
+
Q(xi
,hi
)
Dyi
].lfi
0近似值精確值i
i
i
i取F
(x
,h
)=P(x
,hi
)ini
=1DWi
?
F
(xi
,hi
)
Mi
-1
Mi
,即DWi
?
P(xi
,hi
)Dxi
+
Q(xi
,hi
)Dyi.o求和
W
=
DWix
y+
Q(x
,hi
)
j
,ALBMn-1M2M1i
iF
(x
,h
)i
-1
iM
D
xMiD
yi二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義
設(shè)L為xoy面內(nèi)從點
A到點B的一條有向光滑曲線弧,
函數(shù)
P(
x,
y),
Q(
x,
y)在L上有界.
用L上的點M1
(
x1
,
y1
),
M2
(
x2
,
y2
),,
Mn-1
(
xn-1
,
yn-1
)把L分成n個有向小弧段Mi
-1
Mi
(i
=
1,2,,
n;
M0
=
A,
Mn
=
B).設(shè)Dxi
=
xi
-
xi
-1
,
Dyi
=
yi
-
yi
-1
,
點(xi
,hi
)為Mi
-1
Mi
上任意取定的點.
如果當(dāng)各小弧段長度的最大值l
fi
0時,nL
P(
x,
y)dx
=
lim
P(xi
,hi
)Dxi
.lfi
0
i
=1i
=1數(shù)P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)x的曲線積分(或稱第二類曲線積分),
記作n
P(xi
,hi
)Dxi的極限存在,
則稱此極限為函n類似地定義L
Q(x,y)dy
=lim
Q(xi
,hi
)Dyi
.其中P(x,y),lfi
0
i
=1Q(x,y)叫做被積函數(shù),L叫積分弧段.2.存在條件:當(dāng)P(x,
y),
Q(x,
y)在光滑曲線弧L=LP(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy上連續(xù)時,
第二類曲線積分存在
.3.組合形式L
P(
x,
y)dx
+
L
Q(
x,
y)dy
ds
=
dxi
+
dyj
.
其中F
=Pi
+Qj
,=LF
ds.4.推廣空間有向曲線弧Gni
i
i
iP(
x,
y,
z)dx
=
limGP(x
,h
,z
)Dx
.G
Pdx
+
Qdy
+
Rdz.lfi
0
i
=1nQ(xi
,hi
,zi
)Dyi
.Q(
x,
y,
z)dy
=
limlfi
0
i
=1GnR(xi
,hi
,zi
)Dzi
.R(
x,
y,
z)dz
=
limlfi
0
i
=1G1
2
LL
LPdx
+
Qdy.Pdx
+
Qdy
=
Pdx
+
Qdy
+5.性質(zhì)(1)
如果把
L分成
L1和L2
,
則(2)
設(shè)
L是有向曲線弧,
L-是與L方向相反的有向曲線弧,
則即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).L-P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
-L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy三、對坐標(biāo)的曲線積分的計算到b時,點M
(x,y)從L的起點A沿L運動到終點B,j
(t
),y
(t
)在以a及b為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且j
¢2
(t
)+y
¢2
(t
)?0,則曲線積分L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dy存在,
y
=y
(t
),續(xù),L的參數(shù)方程為
x
=j
(t
),當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由a變定理 設(shè)P(
x,
y),
Q(
x,
y)在曲線弧L上有定義且連ba{P[j
(t
),y
(t
)]j
¢(t
)
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
¢(t
)}dt=且L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dyx起點為a,終點為b.特殊情形(1)
L
:
y
=
y(
x)baL{P[
x,
y(
x)]
+
Q[
x,
y(
x)]y¢(
x)}dx.Pdx
+
Qdy
=則y起點為c,終點為d
.(2)
L
:
x
=
x(
y)dcL{
P[
x(
y),
y]x
(
y)
+
Q[
x(
y),
y]}dy.¢Pdx
+
Qdy
=則(3)推廣t起點a
,終點b
.z
=
w
(t
)
x
=
j
(t
)G
:
y
=
y
(t
),a+
Q[j
(t
),y
(t
),w
(t
)]y
¢(t
)+
R[j
(t
),y
(t
),w
(t
)]w
¢(t
)}dt{P[j
(t
),y
(t
),w
(t
)]j
¢(t
)=G
Pdx
+
Qdy
+
Rdzb(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系:
y
=y
(t
)設(shè)有向平面曲線弧為L:
x
=j
(t
),L上點(x,y)處的切線向量的方向角為a
,b
,則L
Pdx
+Qdy
=L
(P
cosa+Q
cosb)dsj
(t
)j
¢2
(t
)
+y
¢2
(t
)其中cosa
=,y
(t
)j
¢2
(t
)
+y
¢2
(t
),cos
b
=(可以推廣到空間曲線上G)G上點(x,y,z)處的切線向量的方向角為a,b,g,則G
Pdx
+Qdy
+Rdz
=G
(P
cosa+Q
cosb+R
cos
g)dsG
G=
A t
ds
=
A
dr可用向量表示其中
A
=
{P,
Q,
R},
t
=
{cos
a,
cosb,
cos
g},dr
=
t
ds
=
{dx,
dy,
dz}有向曲線元;G上點(x,y,z)處的單位切向量例12計算xydx,其中L為拋物線yLA(1,-1)到B(1,1)的一段弧.=x上從解x.(1)化為對x的定積分,y
=–L
xydx
=
AO
xydx
+
OB
xydx=1001x
xdxx(-
x
)dx
+1032=
2.45x
dx
=B(1,1)y2
=
xA(1,-1)=L
xydx
=
AB
xydx1-1y2
y(
y2
)¢dy(2)化為對y的定積分,x
=y2
,
y從-1到1.1-1=
25y4dy
=
4
.B(1,1)y2
=
xA(1,-1)注:第二類曲線積分沒有對稱性2計算y
dx,其中L為L半徑為a、圓心為原點、按逆時針方向繞行的上半圓周;從點A(a,0)沿x
軸到點B(-a,0)的直線段.例2解
y
=
a
sinqL
:
x
=
a
cosq,(1)
q
從0
變到p,A(a,0)B(-a,0)p0原式=a2
sin2
q(-a
sinq
)dqA(a,0)B(-a,0)343=
-
a
.(2)
L
:
y
=
0,x
從a
變到-a,-aa原式=0dx
=
0.注:被積函數(shù)相同,起點和終點也相同,但路徑不同積分結(jié)果不同.p03=
a2(1
-
cos
q
)d
(cosq
)例3
計算L拋物線y
=x2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧;拋物線x
=y2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧;有向折線OAB,這里O,A,B依次是點(0,0)(1,0),(1,1).2
xydx
+x2dy,其中L為y
=
x2A(1,0)B(1,1)解(1)
化為對x
的積分.L
:y
=x
2
,x從0變到1,10(2
x x
2
+
x
2
2
x)dx原式=103=
4x
dx=
1.A(1,0)B(1,1)x
=
y2(2)
化為對y
的積分.L
:x
=y
2
,y從0
變到1,102(2
y
y
2
y
+
y4
)dy原式=104=
5y
dx=
1.A(1,0)B(1,1)ABOA+
2
xydx
+
x
2
dy2
xydx
+
x
2
dy(3)
原式=在
OA
上,
y
=
0,
x從
0
變到
1
,
1222
xydx
+
x dy
=
(2
x
0
+
x
0)dxOA
0在AB
上,=
0.x
=1,y
從0
變到1,
12AB
02xydx
+
x dy
=
(2
y
0
+1)dy
=
1.A(1,0)B(1,1)\原式=0
+1
=1.注:被積函數(shù)相同,起點和終點也相同,但路徑不同而積分結(jié)果相同.再到C(3,4,0)的一條定向折線.(見書P187例3)例4:計算G
ydx
+zdy
+xdz
,其中G為從A(2,0,0)到B(3,4,5)例5:設(shè)在力場沿G移動到2π20=(-R
+
k2t
)dt試求力場對質(zhì)點所作的功.解:作用下,質(zhì)點由其中G為由原點沿直線運動到橢球面a2fi例6:在變力Ffi
fi
fifi一卦限的點M(ξ,η,?
),問當(dāng)ξ,η,?
取何值時,力F所作的功W最大?并求出W的最大值.=yz
i+zx
j+xy
k的作用下,質(zhì)點x2
y2
z2+
+b2
c2=1上第93
abc)(W
=
xhV,x
=
a
,h
=
b
,V
=
c
時W
=3
3
3(習(xí)題課講)例7:將積分化為對弧長的積oyB
x2
x
-
x21
-
xy¢=}2
x
-
x21
-
xT
=
{1,=
2
x
-
x2
,
=
1
-
xL
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)d
y
=2
x
-
x2(1
-
x)分,其中L沿上半圓周解:y
=2
x
-x2
,四、小結(jié)1、對坐標(biāo)曲線積分的概念2、對坐標(biāo)曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題當(dāng)曲線L的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后(例如L:x
=a
cos
t
,y
=a
sin
t
,t
?
[0,2p],a
是正常數(shù)),試問如何表示L的方向(如L表示為順時針方向、逆時針方向)?思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例如L:x
=a
cos
t
,y
=a
sin
t
,t
?
[0,2p
]中當(dāng)t
從0
變到2p時,L取逆時針方向;反之當(dāng)t
從2p變到0
時,L取順時針方向.L-L
P
(
x
,
y
)dx
+
Q
(
x
,
y
)dyP
(
x
,
y
)dx
+
Q
(
x
,
y
)dy=
__________
__
;3、
在公式
L
P
(
x
,
y
)dx
+
Q
(
x
,
y
)dy
=ba{P
[j
(t
),f
(t
)]j
¢(t
)+Q
[j
(t
),f
(t
)]f
¢(t
)}dt
中,下限a
對應(yīng)于L
的_
___點,上限b
對應(yīng)于L
的_
__
_點;
4、兩類曲線積分的聯(lián)系是_
_________
_
_____
__
__
__
________________________________
.練習(xí)題—、填空題:1、
對__
_____
_______的曲線積分與曲線的方向有關(guān);2、
設(shè)
LP
(
x
,
y
)dx
+
Q
(
x
,
y
)dy
?
0
,則二、計算下列對坐標(biāo)的曲線積分:1、L2
2xydx
,其中L
為圓周(
x
-
a)
+
y
=
a
2
(a
>
0)及x
軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界(按逆時針方向繞行);2、Lx
2
+
y
2(
x
+
y)dx
-
(
x
-
y)dy,其中L
為圓周Gx
2
+y
2
=a
2
(按逆時針方向饒行);3、
dx
-dy
+ydz
,其中為有向閉折線ABCD,這里的A
,B
,C
依次為點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);4、ABCDAx
+
ydx
+dy
,其中ABCDA是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-
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