2024新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)微專題合集專題21 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問題含答案

2024新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)微專題合集專題21利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問題一、單選題1．已知，為實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C．1 D．22．已知函數(shù)，且，當(dāng)時，恒成立，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)（，且），對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值是（）A． B．e C．3 D．24．對于正數(shù)，定義函數(shù)：.若對函數(shù)，有恒成立，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為5．已知函數(shù)，若任意，，且都有，則實數(shù)的取值范圍（）A．， B．， C．， D．6．已知函數(shù)，，若對，恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，若對任意正實數(shù)，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、解答題8．已知函數(shù).（1）若曲線與直線相切，求的值；（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.9．已知函數(shù)，，其中，均為實數(shù)．（1）試判斷過點能做幾條直線與的圖象相切，并說明理由；（2）設(shè)，若對任意的，（），恒成立，求的最小值．10．已知函數(shù)，其中．（1）求的極值；（2）設(shè)，當(dāng)時，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的最小值．11．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的值；（2）當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．12．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）若，求實數(shù)的值．13．函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值.14．已知函數(shù)，．（1）若的最大值是0，求的值；（2）若對其定義域內(nèi)任意，恒成立，求的取值范圍．15．已知函數(shù)，且恒成立．（1）求實數(shù)的值；（2）記，若，且當(dāng)時，不等式恒成立，求的最大值．16．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若對任意恒有不等式成立.①求實數(shù)的值；②證明：.17．已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且當(dāng)時，恒成立，試確定的取值范圍.18．已知函數(shù)（1）如果函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，求f（x）的表達式；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的在(3，)處的切線方程；（2）若函數(shù)在其圖象上任意一點處切線的斜率都小于，求實數(shù)的取值范圍.20．已知，函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若當(dāng)時，，求的所有可能取值.21．設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，求的取值范圍.22．已知函數(shù)f(x)=-mx-2，g(x)=-sinx-xcosx-1.（1）當(dāng)x≥時，若不等式f(x)>0恒成立，求正整數(shù)m的值；（2）當(dāng)x≥0時，判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論，參考數(shù)據(jù):≈4.823．已知函數(shù).（1）求曲線在點（1，）處的切線方程；（2）若對恒成立，求的最小值.24．已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值，并判斷是的極大值點還是極小值點？（2）若不等式對于任意的恒成立，求的取值范圍.25．已知函數(shù)，且在處取得極值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若當(dāng)時，恒成立，求c的取值范圍；（Ⅲ）對任意的，是否恒成立？如果成立，給出證明；如果不成立，請說明理由．26．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得最大值，求a的取值范圍.27．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若函數(shù)在其圖象上任意一點處的切線斜率為，求的最小值，并求此時的切線方程；（2）若函數(shù)的極大值點為，恒成立，求的范圍28．已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.29．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求證：.30．已知函數(shù).(1)若函數(shù)，求函數(shù)的極值；(2)若在時恒成立，求實數(shù)的最小值.專題21利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問題一、單選題1．已知，為實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】不等式恒成立，設(shè)，即恒成立，求出，分析得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，從而可得,即，設(shè)，求出的最小值即可得出答案.【詳解】設(shè)，則恒成立等價于成立，顯然時不合題意．當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，∴，∴，，此時，．故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決范圍問題，求解本題的關(guān)鍵有兩點：一是對問題進行等價轉(zhuǎn)化，即設(shè)，恒成立等價于成立初步判斷出的取值范圍；二是求出之后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，進而求得的最小值．屬于難題.2．已知函數(shù)，且，當(dāng)時，恒成立，則a的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，從而，從而當(dāng)時，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，結(jié)合時，取得最大值1，從而的最大值為，只需即可.【詳解】由題意，，解得，則，則當(dāng)時，，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，時，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，，又因為當(dāng)時，取得最大值1，所以當(dāng)時，取得最大值，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為，進而求出的最大值，令其小于即可.考查學(xué)生的邏輯推理能力，計算求解能力，屬于中檔題.3．已知函數(shù)（，且），對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值是（）A． B．e C．3 D．2【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞增，求得函數(shù)的最值，把任意，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，進而求得的取值范圍，得到最小值.【詳解】由題意，顯然，因為函數(shù)，可得，又由，可得，故，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，對任意，不等式恒成立，即，所以，即，解得，即實數(shù)的最小值為.故選：A.【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4．對于正數(shù)，定義函數(shù)：.若對函數(shù)，有恒成立，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，由函數(shù)的定義結(jié)合恒成立可知，由此可得出的取值范圍，進而可得出合適的選項.【詳解】對于正數(shù)，定義函數(shù)：，且恒成立，則.函數(shù)的定義域為，且.當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，.因此，的最小值為.故選：B.【點睛】解決導(dǎo)數(shù)中的新定義的問題，要緊扣新定義的本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)相關(guān)的問題，本題將問題轉(zhuǎn)為不等式恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值.5．已知函數(shù)，若任意，，且都有，則實數(shù)的取值范圍（）A．， B．， C．， D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】表示函數(shù)在區(qū)間上任意兩個不同點連線的斜率都大于，等價于，時恒成立，時，，不合題意，時，只需，即在，恒成立，故，故的范圍是，，故選：A【點睛】表示函數(shù)在區(qū)間上任意兩個不同點連線的斜率都大于，由此考慮利用導(dǎo)數(shù)進行求解.6．已知函數(shù)，，若對，恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】，問題變形為在上恒成立．設(shè)，用導(dǎo)數(shù)求出它的最大值，對最大值估計其范圍后可得的最小整數(shù)值．【詳解】即為，，因為，所以，即在上恒成立．設(shè)，則，令，則在上是增函數(shù)，，，所以在上存在唯一零點，即，，所以時，，遞增，時，，遞減，所以，所以，又，所以的最小整數(shù)值為2．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式恒成立問題，解題方法用分離參數(shù)法變形為求函數(shù)最大值，在求函數(shù)最大值時，導(dǎo)函數(shù)的零點需要定性分析，估計出范圍，利用零點求出函數(shù)的最大值，再得出最大值的范圍，然后得出所求結(jié)論．7．已知，若對任意正實數(shù)，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件可變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用其為增函數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)可知，令由知為增函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)得，而當(dāng)時，在時有最大值為，故.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題由條件恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)此式知函數(shù)為增函數(shù)，考查了推理分析能力，屬于中檔題.二、解答題8．已知函數(shù).（1）若曲線與直線相切，求的值；（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）利用切點和切線的斜率列方程，由此求得的值.（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，結(jié)合對進行分類討論，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)切點坐標為，因為，所以，又，所以，故，所以.（2）存在，使成立，等價于：存在，使成立.令，，令，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，所以，由已知，即.②當(dāng)時，故存在，使得.此時.若時，；若時，.所以，令，，，所以在單調(diào)遞增，所以；所以，故.令，，故在單調(diào)遞增，所以，故故不存在，使成立.綜合上述：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】解決導(dǎo)數(shù)與切線的問題，關(guān)鍵把握住切點和斜率，切點既在切線上，也在原函數(shù)圖象上.9．已知函數(shù)，，其中，均為實數(shù)．（1）試判斷過點能做幾條直線與的圖象相切，并說明理由；（2）設(shè)，若對任意的，（），恒成立，求的最小值．【答案】（1）2條，理由見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)切線方程為，切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，得到方程所以得，根據(jù)方程顯然有兩個不等的實根，即可作出判定；（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）設(shè)過點與圖象相切的直線方程為，切點為，由函數(shù)，可得，則，所以得，因為，此方程顯然有兩個不等的實根，所以過點能做2條直線與的圖像相切．（2）當(dāng)時，，，因為在恒成立，所以在上為增函數(shù)，設(shè)，所以在恒成立，所以在上為增函數(shù)，設(shè)，則等價于，即，設(shè)，則在為減函數(shù)，∴在上恒成立，∴恒成立．設(shè)，∵，，∴，∴，為減函數(shù)，∴在上的最大值為，∴，∴的最小值為．【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點，難度較大.10．已知函數(shù)，其中．（1）求的極值；（2）設(shè)，當(dāng)時，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的最小值．【答案】（1）當(dāng)時，的極大值為，無極小值；當(dāng)時，的極大值為，極小值為；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，通過分類討論來判斷導(dǎo)函數(shù)符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求極值；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題來處理．【詳解】解：（1）由題意得的定義域為，，當(dāng)，即時，令，得，則在上單調(diào)遞增；令，得，則在上單調(diào)遞減．所以在處取極大值，且極大值為，無極小值．若，即，當(dāng)時，，則在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．所以在處取極小值，且極小值為，在處的極大值，且極大值為．綜上所述，當(dāng)時，的極大值為，無極小值；當(dāng)時，的極大值為，極小值為．（2）由，得，設(shè)，，則，當(dāng)時，．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在，使，即，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又對任意的恒成立，，所以，所以的最小值是-3．【點睛】方法點睛：（1）求解不等式恒成立問題時，可以構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，再結(jié)合題意求解參數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)的零點存在但不可求時，常虛設(shè)零點，利用零點存在定理估計所設(shè)零點所在的一個小范圍，然后利用零點所滿足的關(guān)系進行代換求解．此題圍繞函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的極值、不等式恒成立問題等設(shè)題，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，有助于加深考生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解，提高考生思維的層次，考查理性思維、數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)．11．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的值；（2）當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)時，，代入可得，即可得解；（2）由，令，有，，求導(dǎo)可得：，分類討論即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，；（2），令，有，，求導(dǎo)可得：，當(dāng)時，若，，所以為減函數(shù)，由，此時，與恒成立矛盾；當(dāng)時，，即，成立；當(dāng)時，，若，，為增函數(shù)，此時，若，，為增函數(shù)，此時，若，，為減函數(shù)，此時，若，，為減函數(shù)，此時，若要，只要，解得：，綜上可得：實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查了分式函數(shù)求值以及解絕對值不等式，考查了分類討論思想和較高的計算能力，屬于難題.絕對值不等式問題有以下幾種方法：（1）分類討論去絕對值；（2）利用絕對值三角不等式；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性求最值.12．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性得在上是增函數(shù)，進而可得在上的最小值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，進而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，再分，，，四種情況討論即可得答案.【詳解】解：（1）因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，所以在上的最小值為．（2）根據(jù)題意得：，設(shè)，則．①當(dāng)時，當(dāng)時，由（1）知，而，所以不恒成立．②當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，所以，即不恒成立．③當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，所以，即不恒成立.④當(dāng)時，，，當(dāng)時，，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，在上是減函數(shù)．所以，即恒成立．綜上所述，實數(shù)的值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，研究不等式恒成立問題，考查綜合分析能力與分類討論思想，是難題.13．函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）2.【分析】（1）當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，可得，分和兩種情況，分別討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)時，恒成立，可求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，所以.①當(dāng)時，由，可得恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，而，所以恒成立；②當(dāng)時，令，可得；由，可得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.因為恒成立，所以，即，所以.設(shè)，則，因為，所以，所以，故在單調(diào)遞減.又因為，，，所以存在，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.又因為且為整數(shù)，所以的最大值為2.【點睛】方法點睛：由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法：（1）討論最值法：先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出含參函數(shù)的最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式的參數(shù)的范圍；（2）分離參數(shù)：先分離參數(shù)變量，再構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最值，從而求出參數(shù)的取值范圍.14．已知函數(shù)，．（1）若的最大值是0，求的值；（2）若對其定義域內(nèi)任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）根據(jù)某點上的切線斜率即為函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)，列出點斜式方程即可得出答案.（2）構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)后，討論函數(shù)單調(diào)性，求出的取值范圍.【詳解】解：（1）∵的定義域，．若，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無最大值；若，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減．∴時，取得最大值，∴．（2）原式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，．所以有唯一零點，且，即．兩邊同時取對數(shù)得，易知是增函數(shù)∴，即．由知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，∴，∴故的取值范圍是．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的極值與最值，屬于難題.思路點睛:本題考查用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)性質(zhì)的方法，是常見題.不等式恒（能）成立求參數(shù)范圍的一般方法:①當(dāng)時，成立，則；②當(dāng)時，成立，則15．已知函數(shù)，且恒成立．（1）求實數(shù)的值；（2）記，若，且當(dāng)時，不等式恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）由條件可得是的極大值點，從而，可得答案.

(2)由條件，根據(jù)條件可得對任意的恒成立，令，求出的導(dǎo)函數(shù)，得出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的隱零點，分析得出答案【詳解】（1）解：的定義域是，因為，恒成立，所以是的極大值點，所以，因為，所以，所以．（2）依題意得，，，∴，因為，所以對任意的恒成立，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為，，所以方程在上存在唯一的實數(shù)根，且，則，所以，①當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，把①代入得，，，所以，故整數(shù)的最大值是3．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)恒成立求參數(shù)的最大整數(shù)值，考查函數(shù)的隱零點的整體然換的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得出在上存在唯一的實數(shù)根，且，得出單調(diào)性，從而得出，然后將代入，得出，屬于難題.16．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若對任意恒有不等式成立.①求實數(shù)的值；②證明：.【答案】（1）；（2）①1；②證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，令，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與實根個數(shù)，進而得出的單調(diào)性和最值；（2）①當(dāng)時，單調(diào)遞增，值域為，不適合題意；當(dāng)時，構(gòu)造，求導(dǎo)得出函數(shù)的最大值，可得實數(shù)的值；②由①可知，因此只需證：，只需證，即，按和分別證明即可．【詳解】（1）法一：的定義域為，由題意，令，得，令，，所以在上為增函數(shù)，且，所以有唯一實根，即有唯一實根，設(shè)為，即，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.法二：.設(shè)，則.記.故最小值即為最小值.，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.（2）①當(dāng)時，單調(diào)遞增，值域為，不適合題意，當(dāng)時，由（1）可知，設(shè)，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即.由已知，恒成立，所以，所以，所以.②由①可知，因此只需證：，又因為，只需證，即，當(dāng)時，結(jié)論成立，當(dāng)時，設(shè)，，當(dāng)時，顯然單調(diào)遞增.，故單調(diào)遞減，，即.綜上結(jié)論成立.【點睛】方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題以及導(dǎo)數(shù)證明不等式，導(dǎo)數(shù)對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題：1.恒成立；2.恒成立.17．已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且當(dāng)時，恒成立，試確定的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，可得單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)函數(shù)研究在時的最小值，恒成立可以等價轉(zhuǎn)化為，解不等式可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，由，得或.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因為，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以當(dāng)時，的最小值為.由在上恒成立得，解得或.又，所以.即的取值范圍為.【點睛】思路點睛:本題考查用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)性質(zhì)的方法，是常見題.不等式恒（能）成立求參數(shù)范圍的一般方法:①當(dāng)時，成立，則；②當(dāng)時，成立，則.18．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由是方程的兩根，可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為對任意x>0恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，求其最小值可得答案.【詳解】（1），由題意的解集為，即的兩根是，由此解得.所以（2）即不等式對任意x>0恒成立，即對任意x>0恒成立，令，則，令，得或(舍)當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問考查的是常量分離求參數(shù)的取值范圍問題，解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，如果導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷符號時，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點以及定義域嘗試再求一次求導(dǎo)數(shù)，進而通過單調(diào)性和關(guān)鍵點（邊界點，零點）等確定符號.18．已知函數(shù)（1）如果函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，求f（x）的表達式；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）y=9；（2）或.【分析】（1）求出以及，即可求出切線方程；（2）對任意恒成立，等價于對任意恒成立，令，求出的最大值，即可求出的范圍.【詳解】解：（1）時，，，，所以函數(shù)在處的切線方程為：（2）因為，由題意得：對任意恒成立，即對任意恒成立，設(shè)，所以，所以當(dāng)時，有最大值為，所以，解得或，所以，實數(shù)的取值范圍為或.【點睛】本題考查已知恒成立求參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.方法點睛：（1）參變分離（2）的恒成立問題轉(zhuǎn)化為（3）求出在已知范圍下函數(shù)的值域（4）求解參數(shù)19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的在(3，)處的切線方程；（2）若函數(shù)在其圖象上任意一點處切線的斜率都小于，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）y=9；（2）或.【分析】（1）求出以及，即可求出切線方程；（2）對任意恒成立，等價于對任意恒成立，令，求出的最大值，即可求出的范圍.【詳解】解：（1）時，，，，所以函數(shù)在處的切線方程為：（2）因為，由題意得：對任意恒成立，即對任意恒成立，設(shè)，所以，所以當(dāng)時，有最大值為，所以，解得或，所以，實數(shù)的取值范圍為或.【點睛】本題考查已知恒成立求參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.方法點睛：（1）參變分離（2）的恒成立問題轉(zhuǎn)化為（3）求出在已知范圍下函數(shù)的值域（4）求解參數(shù)20．已知，函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若當(dāng)時，，求的所有可能取值.【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）求出，然后求出，即可；（2）令，可得，然后可得在上單調(diào)遞減，然后求出的最值即可解出答案.【詳解】（1）若，則，.則，，所以曲線在點處的切線方程為.（2），.令，可得，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.，該不等式成立.，即，所以綜上所述，的可能取值只有1【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：（1）若恒成立，則；（2）若恒成立，則.21．設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求得，然后可得答案；（2）分、、三種情況討論，每種情況下利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合可得答案.【詳解】（1）的定義域為，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立..若，，不符合條件.若，，.令，得或，若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時，不符合條件.若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，此時，即當(dāng)時，.綜上所述，的取值范圍是【點睛】方法點睛：在處理函數(shù)有關(guān)的不等式時，一般是利用函數(shù)的單調(diào)性和特殊點的函數(shù)值解決.22．已知函數(shù)f(x)=-mx-2，g(x)=-sinx-xcosx-1.（1）當(dāng)x≥時，若不等式f(x)>0恒成立，求正整數(shù)m的值；（2）當(dāng)x≥0時，判斷函數(shù)g(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論，參考數(shù)據(jù):≈4.8【答案】（1）1；（2）2個，證明見解析.【分析】(1)將問題轉(zhuǎn)化為時，不等式恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得其最小值即可.(2)易知，則0是的一個零點，由時，，得到無零點，當(dāng)時，用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點存在定理求解.【詳解】(1)因為當(dāng)x≥時，若不等式f(x)>0恒成立，所以當(dāng)時，不等式恒成立，令，則，所以在上遞增，所以，因為，所以正整數(shù)的值為1.(2)當(dāng)時，函數(shù)有2個零點.證明如下：顯然，所以0是的一個零點，①當(dāng)時，，所以無零點；②當(dāng)時，，令，則，所以在上遞增又，所以存在唯一使得.所以當(dāng)時，，故遞減；當(dāng)時，，故遞增；因為，所以，又，所以存在唯一使得綜上得：當(dāng)時，函數(shù)有2個零點.【點睛】方法點睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．23．已知函數(shù).（1）求曲線在點（1，）處的切線方程；（2）若對恒成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，再分別求得，，用點斜式寫出切線方程.（2）根據(jù)對恒成立，則，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】（1）的定義域為.由已知得，且.所以.所以曲線在點（1，）處的切線方程為.（2）設(shè)，（）則.令得.當(dāng)變化時，符號變化如下表：10極小則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增.又，因為對恒成立，所以，所以的最小值為為.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；24．已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值，并判斷是的極大值點還是極小值點？（2）若不等式對于任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），是的極大值點；（2）.【分析】（1）由可得，然后，可判斷出答案；（2）條件轉(zhuǎn)化為對于一切恒成立，記，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】（1）由，得，由題意，得，即，解得.當(dāng)時，，由，得，結(jié)合，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴是的極大值點.（2）本題等價于對于一切恒成立.記，則，.由，得，所以，即，∴.從而在上是減函數(shù)，∴，故【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：（1）若恒成立，則；（2）若恒成立，則.25．已知函數(shù)，且在處取得極值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若當(dāng)時，恒成立，求c的取值范圍；（Ⅲ）對任意的，是否恒成立？如果成立，給出證明；如果不成立，請說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）c的取值范圍是．（Ⅲ）成立，證明見解析.【分析】（Ⅰ）由題意得f（x）在x＝1處取得極值所以f′（1）＝3﹣1+b＝0所以b＝﹣2．（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即g（x）的最大值，則有c2＞2+c，解得：c＞2或c＜﹣1．（Ⅲ）對任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等價于|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min．【詳解】（Ⅰ）∵f（x）＝x3x2+bx+c，∴f′（x）＝3x2﹣x+b．∵f（x）在x＝1處取得極值，∴f′（1）＝3﹣1+b＝0．∴b＝﹣2．經(jīng)檢驗，符合題意．（Ⅱ）f（x）＝x3x2﹣2x+c．∵f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），當(dāng)x∈（﹣1，）時，f′（x）＞0當(dāng)x∈（，1）時，f′（x）＜0當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）＞0∴當(dāng)x時，f（x）有極大值c．又f（2）＝2+cc，f（﹣1）cc∴x∈[﹣1，2]時，f（x）最大值為f（2）＝2+c．∴c2＞2+c．∴c＜﹣1或c＞2．（Ⅲ）對任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立．由（Ⅱ）可知，當(dāng)x＝1時，f（x）有極小值c．又f（﹣1）cc∴x∈[﹣1，2]時，f（x）最小值為c．∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，故結(jié)論成立．【點睛】本題考查函數(shù)的極值及最值的應(yīng)用，易錯點是知極值點導(dǎo)數(shù)為0要檢驗，結(jié)論點睛：|f（x1）﹣f（x2）|≤a恒成立等價為f（x）max﹣f（x）min≤a26．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得最大值，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）先對求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)分和兩種情況討論即可.（2）因為函數(shù)在處取得最大值，所以，利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，求函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1），當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意得.因為函數(shù)在處取得最大值，所以，即，當(dāng)時，顯然成立.當(dāng)時，得，即.令，則，恒成立，所以是增函數(shù)，，所以，即，所以a的取值范圍為.【點睛】思路點睛：對含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論是解決這類題的一般方法；已知函數(shù)的最大值求參數(shù)的取值范圍，往往轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，如果能分離參數(shù)的話，分離參數(shù)是解決這類題的常用方法，然后再求函數(shù)的最值即可.27．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，若函數(shù)在其圖象上任意一點處的切線斜率為，求的最小值，并求此時的切線方程；（2）若函數(shù)的極大值點為，恒成立，求的范圍【答案】（1）的最小值為2，；（2）.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)得出，然后利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和切線方程的公式進行求解即可（2）求導(dǎo)得出，然后對進行分類討論，得出當(dāng)或時才符合題意，然后利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，得到，進而得到，，得到，然后，設(shè)，，進而求出的范圍【詳解】解：（1）∵，∴，∴，當(dāng)僅當(dāng)時，即時，的最小值為2，∴斜率的最小值為2，切點，∴切線方程為，即．（2）∵，①當(dāng)時，單調(diào)遞增無極值點，不符合題意；②當(dāng)或時，令，設(shè)的兩根為和，因為為函數(shù)的極大值點，所以，又，，∴，，∴，，則，∵，，令，，∴，∴，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴在上單調(diào)遞減．∴，∴．【點睛】關(guān)鍵點睛：（1）的解題關(guān)鍵在于利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和切線方程的公式；（2）的解題關(guān)鍵在于通過分類討論，得到利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，得到，進而得到，，最后構(gòu)造函數(shù)求解，本題的難度屬于困難28．已知函數(shù)，.（1）若曲線在處