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文檔簡介
第五章 三角函數(shù)5.5
三角恒等變換課時1 兩角差的余弦公式成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期學(xué)習(xí)目標(biāo)了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.（邏輯推理）熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）自主預(yù)習(xí)·悟新知合作探究·提素養(yǎng)隨堂檢測·精評價1.式子
cos 2π
?
?m><???/<>m=cos
2π?cos
?
=?
是否正確？[答案]等式正確.2.等式
<>mcos
??
?
?? =
cos??
?cos??m></
正確嗎？你能舉例嗎？[答案]
不正確，如cos
60°
?
30°
=
cos
30°
=m><?
≠
?
??
?
?/<>m?
=
cos
60°
?cos
30°
.3.是否可以用<>m??/<>m
和<>m??/<>m
的三角函數(shù)表示<>mcos
?????
/<>m
？[答案]
可以，
cosm><
??
?
?? =
cos??cos??
+
sin??sin??/<>m
.??/<>m4.利用兩角差的余弦公式，你能計(jì)算cos
?
嗎？m<>??[答案]
cos
?
=
cosm><?
?
??
?=
cos
?
cos
?
+
sin
?
sin
?=?
?
?
??/<>m??
?
．1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）D.
??（1）
cos
60°
?30°
=
cos
60°
?cos
30°
.(
×
)（2）
當(dāng)??
，
??
∈
??
時，
cos
??
??? =
cos??cos??
?
sin??
?sin??
.(
×
)（3）
對于任意實(shí)數(shù)??
，
??
，
cos
??
??? =
cos??
?
cos??
都不成立.(
×
)（4）
cos
30°cos
120°
+
sin
30°sin
120°
=
0
.(
√
)2.
cos
47°cos
137°
+
sin
47°sin
137°
的值等于(
A
).@@9A.
0
B.
1[解析]
原式=
cos
47°
?137°C.
?1=
cos
?90°
=
0
．??3.已知cos??=??
，??∈11@@A.
?
?B.
?
?
C.
??
???
??
??D.
?
?????
,
2π
，則cos ??
??
的值為(
D
).?
?[解析]
因?yàn)閏os??
=
??
,
??
∈
??
,
2π
，所以sin??
=
?
?
，??
?
??所以cos ??
??
=
cos??cos
?
+sin??sin
?
=
??
× ?
+ ?
?
× ?
=
?
?
．?
?
?
??
?
??
?
???4.
cos
??
?35°
cos
??
+25°
+
sin
??
?35°
sin
??
+25°
=
><m?/><m
．?[解析]
原式=
cos[
??
?35°
? ??
+25°
]
=
cos
?60°
=
cos
60°
=
?
．探究 兩角差的余弦公式如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)<>m???
???,???
/><m
，<>m???
???,???
/<>m
．問題1：.如何求<>m??????/<>m
的長度？=
??????
=
???
?
???
m></
，[答案]
m><
?????
=
??????
=
???
?
???
m></
，
m<>
?????由勾股定理可得,
m><
??????
=
?????
+
?????
=?
????
????
?
+ ???
????
?
．/><m問題2：.之前我們利用圓的對稱性證明了誘導(dǎo)公式，你還記得當(dāng)時我們證明誘導(dǎo)公式的思路和步驟嗎？[答案]
第一步，從“形”的角度出發(fā)，找到相互對稱的兩個角的終邊關(guān)系；第二步，從“數(shù)”的角度考慮，寫出單位圓上相互對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步，“數(shù)形”結(jié)合，將前兩步的結(jié)果整合，得出結(jié)論．問題3：.如圖所示，求解各點(diǎn)坐標(biāo).[答案]
???m><
cos??,
sin??
m></
，
??m><
cos
??
?
??
,
sin
??
?
??
m></
，
??m><
?
cos??,
sin??
m<>/
．問題4：.
????m>< m></
與???m><
???m></
有什么關(guān)系？[答案]
連接????m>< m></
，
???m><
???m<>/
（圖略）.若把扇形??????m<> m<>/
繞著點(diǎn)??m<> m<>/
旋轉(zhuǎn)??m<> m></
角，則點(diǎn)??m>< m<>/
，
??m>< m></
分別與?
?
?
?點(diǎn)???m>< m></
，
??m><
?m<>/
重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，
????m>< m></
與???m<>
???m<>/
重合，從而????m<>
=
??????m<>/
，所以????m><
=??????m></
．問題5：.如何表示<>m????/<>m
，<>m??????/><m
的長度？可以得到什么結(jié)論？?
?[答案]
由兩點(diǎn)間的距離公式得，
<>m
???? =
[cos
??
??? ?
1]
+sin ??
?
??
/<>m
，
<>m
??????
=cos??
?
cos??
?
+ sin??
?
sin??
?
，/<>m因?yàn)閙><
????
=
??????
/<>m
，所以<>m2
?
2cos
??
?
?? =
2
?
2
cos??cos??+
sin??sin??
/<>m
，所以cosm><
??
??? =
cos??cos??
+
sin??sin??/<>m
，當(dāng)??m><
=
2??π
+
??
??
∈
??
m></
時，容易證明上式仍然成立，所以對于任意角??m>< m></
，
??m>< m></
都有cosm><
??
??? =
cos??cos??
+sin??sin??/<>m
成立．新知生成兩角差的余弦公式/><m
的由<>mC
???
/<>m
可知，我們只要知道<>mcos??cos??/<>m
和><msin??sin??/<>m
的值，就可以求得><mcos
???
值．公式中的<>m??/<>m
，<>m??/<>m
都是任意角，既可以是一個角，也可以是幾個角的組合．公式cos
??
???
=
><mcos??cos??
+
sin??sin??/><m簡記符號C
???使用條件??
，??
為任意角新知運(yùn)用一、給角求值例1
計(jì)算下列各式的值．??
/><m（1）
cos
???
；m><（2）
sin
460°sin
?160°m><+
cos
560°cos
?280°
；/<>m<>m?（3）
?
cos
105°
+?/<>m?
sin
105°
．[解析]
（1）
cos
???
=
cos π
+
???
??=
?cos
?
=
?cos??
?
????
??
??=
?cos?
?
??
?=
? cos
?
cos
?
+
sin
?
sin??
?
?
?=
?=
??
?
?
?
??
×
?
+
?
×
? ??
?
．（2）原式=?sin
100°sin
160°+cos
200°cos
280°=
?sin
80°sin
20°
?
cos
20°cos
80°=
?
cos
80°cos
20°
+
sin
80°sin
20°?=
?cos
60°
=
?
?
．（3）
?
cos
105°
+
?
sin
105°?
?=
cos
60°cos
105°
+
sin
60°sin
105°=
cos
60°
?
105°
=
cos
?45°
=??
．方法總結(jié) 兩角差的余弦公式常見題型及解法求兩特殊角之差的余弦值時，利用兩角差的余弦公式直接展開求解．含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角差的余弦公式求解．求非特殊角的三角函數(shù)值時，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個特殊角的差，然后利用兩角差的余弦公式求解．二、給值求值??例2
已知cos??
=
，
??
∈??
?,
2π
，則cos ??
??
????
???=
><m
/<>m
.方法指導(dǎo)
根據(jù)誘導(dǎo)公式或兩角差的余弦公式求解.?[解析]
∵
??
∈
??
,
2π
,?∴
sin??
=
? 1
?
cos???
=
?
?
,∴
cos ??
??
=
cos??cos
?
+
sin??sin
?
=
?
×
?
+?
?
?
?
??×?
? ?
=
???
?
.?
??方法總結(jié) 給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中要根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見的角的變換：①
??m><
= ??
??? +
??m></
；②
<>m??
=???
????
?+
m<>/
；③
<>m2??
= ??
+??
+ ??
?
??
/<>m
；④
<>m2??
= ??
+??
? ??
?
??
/<>m
．三、給值求角?
?
???
??例3
已知??
，
??
均為銳角，且sin??
=
，
sin??
=
，則??
???
=.?<>m?/><m方法指導(dǎo)
先求對應(yīng)的余弦值，再求角的取值范圍和對應(yīng)的函數(shù)值求解.[解析]
∵
??
，
??
均為銳角，
∴
cos??
=
?
，
cos??
=
?
??
.?
??∴
cos
??
??? =
cos??cos??
+
sin??sin??
=?
×
?
??
+
?
?
×
??
=
?
.?
??
?
??
?又∵sin??>sin??
，∴0<??<??<?
，∴0<?????<?
.?
??故?????=?
.方法總結(jié) 給值求角的解題步驟界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)．結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案．1.求值：（1）
cos
??+21°cos
???24°m><+
sin
??
+21°?
sin
??
?24°
；/<>m（2）
?sin
167°sin
223°
+
sin
257°sin
313°
．m><
/<>m[解析]
（1）原式=
cos[
??
+21°
? ??
?24°
]
=
cos
45°
=??
．+
sin
180°
+77°
sin
360°
?47°=
sin（2）原式=?sin
180°?13°sin
180°+43°13°sin
43°+sin
77°sin
47°=
sin
13°sin
43°
+
cos
13°cos
43°=
cos
13°
?43°
=
cos
?30°
=??
．?/<>m<>m2.（1）已知tan??
=
?
，
??
∈ 0,
?m></<>m
，求m><cos?
?/<>m??
???
的值；><m
/<>m
m><
m<>/
m<>?/><m
??m<>/<>m
m<>
m></（2）已知??
，
??
為銳角，且cos??
=
?
，
cos
??
+
?? =
?
??
，求cos??
的值．[解析]（1）
∵tan??=????
=?
，且sin???+cos???=1，????
??又??
∈ 0,
?
，
sin??
>
0
，
cos??
>
0
，∴
sin??
=
?
，
cos??
=
?
，?
?∴
cos
??
?
??
=
cos
??
cos??
+
sin
??
sin??
=
?
?
×
?
+?
?
?
?
??
×
?
=
?
???
．?
?
???
?（2）
∵
0
<
??
<
?
，
0
<
??
<
?
，
∴
0
<
??
+
??
<
π
，??由cos
??
+
?? =
?
??
，得sin
??
+??=
??
，?
?又∵cos??=?
，∴sin??=?
，∴
cos??
=
cos[
??
+?? ???]=
cos
??
+
??
cos??
+
sin
??
+
??
sin??=?
??
×
?
+
??
×
?
=
?
．??
?
??
?
??3.已知cos??
=
?
，
cos
??
+
?? =
?
??
，且??
，
??
∈m><
?m></
m><
??/><m
><m
/><m
<>m?0,
?
/<>m
，求<>m??/<>m
的值．[解析]
因?yàn)??
，
??
∈ 0,
?
且cos??
=
?
，
cos
??
+???
???=???
，所以??+??∈??
,
π
，?所以sin??
= 1
?
cos???
=
?
?
，
sin
??
+
??
= 1
?
cos?
??
+????=
?
?
，又因?yàn)??
= ??
+?? ?
??
，所以cos??
=
cos[
??
+?? ???]=
cos
??
+
??
cos??
+
sin
??
+
??
sin??=?
??
×
?
+
?
?
×
?
?
=
?，??
?
??
?
?因?yàn)??
∈ 0,
?
，所以??
=
?
．?
?1.
sin
11°cos
19°+cos
11°cos
71°的值為(A.?
?B.
?C.
??
?D.????
?
?29@@
B
).[解析]
sin
11°cos
19°
+
cos
11°cos
71°
=
cos
11°
?
cos
71°
+
sin
11°sin
71°
=
cos?11°
??71°?
=
cos
?60°
=
?
.故選B.??
?2.已知??
為銳角，
??
為第三象限角，且cos??
=
??
，
sin??
=
?
?
，則cos
??
?
??
的值為(31@@).A.
?
??
B.
?
????
??C.
??
D.
????
??A??[解析]
∵
??
為銳角，
cos??
=
??
，??∴
sin??
= 1?
cos???
=
?
.?∵??
為第三象限角，sin??=??
，?∴
cos??
=
? 1
?sin???
=
?
?
，??∴
cos
??
?
?? =
cos??cos??
+
sin??sin??
=
??
×?
????+
?
×?
???
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