現(xiàn)代控制理論知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

１． 狀態(tài)空間表達(dá)式AxBunyCxDu

u:r1 y:m1 A:nn B:nr C:mnD:mrA稱為系統(tǒng)矩陣，描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的聯(lián)系；〔或掌握〕矩陣，表示輸入對(duì)每個(gè)狀態(tài)變量的作用狀況；C傳遞關(guān)系。２． 狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)態(tài)打算了輸出。②狀態(tài)方程和輸出方程都是運(yùn)動(dòng)方程。③狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)包含的獨(dú)立貯能元件的個(gè)數(shù)，nn④狀態(tài)變量的選擇不唯一。⑤從便于掌握系統(tǒng)的構(gòu)成來(lái)說(shuō)，把狀態(tài)變量選為可測(cè)量或可觀看的量更為適宜。abc間分析法是時(shí)域內(nèi)的一種矩陣運(yùn)算方法，特別適合于用計(jì)算機(jī)計(jì)算。３． 模擬構(gòu)造圖〔積分器加法器比例器〕狀態(tài)空間描述，繪制模擬構(gòu)造圖的步驟：積分器的數(shù)目應(yīng)等于狀態(tài)變量數(shù)，將他們畫在法器和比例器，最終用箭頭將這些元件連接起來(lái)。４．狀態(tài)空間表達(dá)式的建立①由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式：a〔放大、積分、慣性等〕變成相應(yīng)的模擬構(gòu)造圖；bxi

i為狀態(tài)變量。KVLKCL〔微分方程〕現(xiàn)問題。實(shí)現(xiàn)是非唯一的。方法：微分方程系統(tǒng)函數(shù)模擬構(gòu)造圖狀態(tài)空間表達(dá)式。bc。也說(shuō)明白狀態(tài)空間表達(dá)的非唯一性。不轉(zhuǎn)變系統(tǒng)的特征值。特征多項(xiàng)式的系數(shù)也是系統(tǒng)的不變量。特征矢量pi

的求解：也就是求(i

IA)x0的非零解。狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型〔Ａ為任意矩陣a矢量按列排。b有重根時(shí)，設(shè)3階系統(tǒng)，＝ ，1 2 3

pp1 3

求法與前面一樣，p

稱作2

的廣義特征矢量，應(yīng)滿足(

IA)p1

p。1系統(tǒng)的并聯(lián)實(shí)現(xiàn)：特征根互異；有重根。方法：系統(tǒng)函數(shù)局部分式開放模擬構(gòu)造圖狀態(tài)空間表達(dá)式。由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣W(s)W(s)C(sIA1BD mr［Wij

］Wjiij狀態(tài)空間表達(dá)式不唯一，但系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s)是不變的。子系統(tǒng)的并聯(lián)、串聯(lián)、反響連接時(shí)，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)及傳遞函數(shù)陣W(s)。方法：畫出系統(tǒng)構(gòu)造圖，理清關(guān)系，用分塊矩陣表示。其次章掌握系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解一．線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程〔Ax〕x(t)eAtx0二．矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)eAtx(0x(t的轉(zhuǎn)移。5eAt的計(jì)算：a；b(或J)T1ATeAtTetT1或TeJtT1c用拉氏反變換eAtL1[(sIA)1] 記憶常用的拉氏變換對(duì)1 1 1 n! 1 s(t)1;1(t) ;t

;eat

;tn

at

;sint ;costs s2

sa

sn1 (sa)2 s22 s22三．線性定常系統(tǒng)非齊次方程〔AxBu〕x(t)(t)x(0)t(t)Bu()d。可由0拉氏變換法證明〔固然給出拉氏變換法的求解思路。求解步驟：先求(t)eAt，然后將B和u(t)代入公式即可。特別鼓勵(lì)下的解。第三章線性掌握系統(tǒng)的能控性和能觀性一．能控性及能觀性定義〔線性連續(xù)定常〕定常系統(tǒng)的能控性判別〔具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)〕判別方法〔一：通過(guò)線性變換AxBu T1ATzT1BuA〔xTz為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型，T1ATT1B沒有全為0的行。 變換矩陣T的求法。A〔xTz〕JT1AT，能控性充要條件：①對(duì)應(yīng)于一樣特征值的局部，每個(gè)約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的T1B0T1B中對(duì)應(yīng)于互異特征根局部，各行元素沒有全為0的。變換矩陣T的求法。這種方法能確定具體哪個(gè)狀態(tài)不能控。但線性變換比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是求T、T1、T1B。判別方法〔二：直接從Ａ，Ｂ判別AxBu 能控的充要條件是能控性判別矩陣M(B,AB,A2B,An1B)n。M是一個(gè)nn的方陣；M是一個(gè)nnr的矩陣，可通過(guò)rankMrank(MMT)三．線性定常系統(tǒng)的能觀性判別Ax判別方法〔一：通過(guò)線性變換

T1ATzyCx yTCz１．假設(shè)A的特征值互異，線性變換〔xTz〕為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型，T1AT，能觀性充要條件：TC中沒有全為0的列。 變換矩陣T的求法。A〔xTz〕JT1AT，能控性充要條件：①對(duì)應(yīng)于一樣特征值的局部，每個(gè)約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的TC中第一列元素沒有全為０的。②對(duì)應(yīng)于互異特征根局部，對(duì)應(yīng)的TCT這種方法能確定具體哪個(gè)狀態(tài)不能觀。但線性變換比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是求T、T1、TC。判別方法〔二：直接從Ａ，C C 能觀性的充要條件是能觀性判別矩陣NCA 的秩為n。 CAn1N是一個(gè)nn的方陣；N是一個(gè)nmn的矩陣，可通過(guò)rankMrank(MMT)六．能控性與能觀性的對(duì)偶原理A2

AT，B1

CT，C1

BT，則1

(A,B,C1 1

與2

(A,B,C2 2

)對(duì)偶。對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣是互為轉(zhuǎn)置的。且他們的特征方程式是一樣的。與1

對(duì)偶，則1

能控性等價(jià)于2

1

能觀性等價(jià)于2

能控性。七．能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。１． 能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型〔假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式〕①判別系統(tǒng)的能控性。②計(jì)算特征多項(xiàng)式|IA|na n1aa，即可寫出A。③求變n1 1 0 p 0換矩陣T

1 1 pA，p1

[0,0,,1][b,Ab,An1B]1。④求T

1，計(jì)算bT

1b

0，ccT ，0c1 1

c1

1 1pAn11

1ATc1

1AT 。c1２． 能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型①判別系統(tǒng)的能觀性。②計(jì)算特征多項(xiàng)式|IA|na n1aa，即可寫出A。③求變n1 1 0 c 1

0 cA 0換矩陣T T,AT,,An1T ，T 。④求T

，計(jì)算bT 1b ，o2 1 1

1 1 02 02 cAn1 1ccT02

0 0 o2

1AT 。o2３． 假設(shè)傳遞函數(shù)陣，可直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的狀態(tài)空間表達(dá)。0100001010000100001 0 A

b c[

]0 0

0 1 n1a0

a a1

n1

10 0 01 0 0

a a0 a0 1 1能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型：A0 1 0 a b c[0 0 1]

2

n20 0

n1

n1八．線性系統(tǒng)的構(gòu)造分解按能控性分解〔狀態(tài)不完全能控，即rankMn1

nxRc

完成。R Rc 1

R Rn1

R，前nn

M中n1

R非c奇異的條件下是任意的。按能觀性分解〔狀態(tài)不完全能觀，即rankNn1

nxRo

完成。R R1

R1 2 ，前nNnR1非奇異的條件下是任o R n1

1 1 oR R n 意的。按能控性和能觀性分解〔系統(tǒng)是不完全能控和不完全能觀的直觀。c

能控狀態(tài)，xc

coxco

不能控不能觀狀態(tài)。③將能控子系統(tǒng)按能觀性分解〔xco

xco能控不能觀狀態(tài)。④綜合各步變換結(jié)果，寫出最終的表達(dá)式。4九．傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)問題W(s)s留意：假設(shè)不是有理分式，首先求出直接傳遞矩陣Dlim W(s)。s能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)單入單出系統(tǒng)，W(s)是有理分式，可直接依據(jù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)寫出能控標(biāo)準(zhǔn)1型和能觀2最小實(shí)現(xiàn)〔維數(shù)最小的實(shí)現(xiàn)〕AxBuyCx

為W(s最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是ABC是完全能控能觀的。步驟：對(duì)給定的W(s)，初選一種實(shí)現(xiàn)〔能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)型，假設(shè)選能控標(biāo)準(zhǔn)型，推斷是否為最小實(shí)現(xiàn)。留意：傳遞函數(shù)陣W(s)的實(shí)現(xiàn)不是唯一的，最小實(shí)現(xiàn)也不是唯一的。十．傳遞函數(shù)W(s)中零極點(diǎn)對(duì)消與能控性和能觀性之間的關(guān)系是說(shuō)，即使存在零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)仍有可能是能控能觀的〔p1473-19。還是既不能控又不能觀。一． 穩(wěn)定性的定義1．平衡狀態(tài)f(xt)為齊次狀態(tài)方程。滿足對(duì)全部tf(xt)0x稱為系統(tǒng)的平衡狀e e態(tài)。2．穩(wěn)定性的幾個(gè)定義①李雅普諾夫意義下穩(wěn)定〔相當(dāng)于自控里的臨界穩(wěn)定；②漸近穩(wěn)定〔相當(dāng)于自控里的穩(wěn)定范圍漸近穩(wěn)定，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是整個(gè)狀態(tài)空間只有一個(gè)平衡狀態(tài)；④不穩(wěn)定。二． 夫第一法〔間接法〕1．線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)xe

0As2．非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性化處理。A

fxfx

，假設(shè)Axe

Ax不穩(wěn)eA三．李雅普諾夫其次法〔直接法〕 李雅普諾夫函數(shù)來(lái)直接對(duì)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性做出推斷。預(yù)備學(xué)問V(xnxx0處，恒有V(x)0x，假設(shè)V(x)0，則稱之為正定；假設(shè)V(x)0，則稱之為負(fù)定；假設(shè)V(x)0V(x)0則稱之為半負(fù)定或非正定；假設(shè)V(x)0或V(x)0，則稱之為不定。V(x)xTPxP為實(shí)對(duì)稱陣。要判別V(xP的符號(hào)即可。P的定號(hào)判據(jù)〔希爾維特斯判據(jù)：首先求出P的各階挨次主子式i

，假設(shè)全部的i

0，則P〔V(x〕正定；假設(shè)i偶數(shù)的i李雅普諾夫函數(shù)

0i奇數(shù)的i

0P〔V(x〕負(fù)定；V(x)，而(x)是負(fù)定的，則這個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，這個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x)叫做李雅普諾夫函數(shù)。李雅普諾夫其次法的關(guān)鍵問題就是查找李雅普諾夫函數(shù)V(x的問題。３．穩(wěn)定性判據(jù)f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0時(shí)有V(x)0且滿足(x)0則稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的假設(shè)當(dāng)x時(shí)V(x)，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0時(shí)，有V(x)0，且滿足(x)0x0x0，(x)不恒等于０，則稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)x時(shí)，V(x)，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0時(shí)，有V(x)0，且滿足(x)0x0，(x)恒等于０，則稱原點(diǎn)平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0時(shí)，有V(x)0，且滿足(x)0V(x是可找到的，那么通常是非唯一的，V(x)V(x)需要較多技巧。四．李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用——線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)Ax，假設(shè)Axe

0是唯一的平衡點(diǎn)。原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對(duì)任意對(duì)稱實(shí)正定矩陣QATPPAQP。該定理等價(jià)于Ａ的特征值具有負(fù)實(shí)部。但高階系統(tǒng)求解特征值簡(jiǎn)單。Q，通常為QI，代入李雅普諾夫方程，確定出P，推斷是否正定，進(jìn)而做出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的結(jié)論。五．非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析——雅可比矩陣法f(x)f(x)J(x)

fP〔PI，xQ(x)[J(x)TPPJ(x)]為正定的。并且V(x)fT(x)Pf(x)為系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。第五章線性定常系統(tǒng)的綜合一．線性反響掌握系統(tǒng)的根本構(gòu)造及其特性狀態(tài)反響 將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反響系數(shù)然后反響到輸入端與參考輸入相加，作為受控系統(tǒng)的掌握輸入。K稱為狀態(tài)反響增益陣，rn。 設(shè)原受控系統(tǒng)0(ABK)xBv

ABC)，Ｄ=0。狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 簡(jiǎn)稱yCx K

(ABK,B,C)與原受控系統(tǒng)0

ABC)比較，狀態(tài)反響增益陣Ｋ的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可以通過(guò)Ｋ的選擇轉(zhuǎn)變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使獲得所要求的性能。輸出反響 由輸出端y引入輸出反響增益陣〔rm，然后反響到輸入端與參考輸入相加，(ABHC)xBv (ABHC,B,C)H

yCx〔通常mn。從輸出y引入反響增益陣G〔nm到狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)

(AGC)xBuyCx

簡(jiǎn)稱H

(AGC,B,C)通過(guò)Ｇ的選擇也可以轉(zhuǎn)變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而轉(zhuǎn)變性能。是常數(shù)矩陣，反響為線性反響。４．閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性狀態(tài)反響不轉(zhuǎn)變受控系統(tǒng)0輸出反響不轉(zhuǎn)變受控系統(tǒng)0

A,BC)的能控性，但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。A,BC)的能觀性，但不保證系統(tǒng)的能控性不變。二極點(diǎn)配置問題 過(guò)選擇反響增益矩陣將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好配置在根平面所期望的位置，以獲得所期望的動(dòng)態(tài)性能。 只爭(zhēng)論單輸入單輸出系統(tǒng)１．承受狀態(tài)反響 對(duì)系統(tǒng)0

Abc任意配置極點(diǎn)的充要條件是0

完全能控。給定0

Abc)，給定期望的極點(diǎn)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反響掌握器的方法：n3。①首先推斷是否完全能控，是，則存在狀態(tài)觀測(cè)器。②通過(guò)線性xTc1

x化為能控標(biāo)準(zhǔn)１型，得到Abc)。③參加狀態(tài)反響增益矩陣K[k0

,k,,k1

],n1K

AbKbc)f()|IAbK)|f*()(*。⑤i將f()與f*()比較，即可得到K[k0

,k,,k1

n1

]。⑥把對(duì)應(yīng)與 的K，通過(guò)KKT1c1[kk,k ]。⑦進(jìn)一步畫出模擬構(gòu)造圖。0 1 n1⑵當(dāng)階次較低時(shí)，n3，可直接由反映物理系統(tǒng)的A,b矩陣求狀態(tài)反響增益矩陣K[kk,k ，不通過(guò)非奇異變換，使設(shè)計(jì)工作簡(jiǎn)潔。①首先推斷是否完全能控，是，則存0 1 n1在狀態(tài)觀測(cè)器。②參加狀態(tài)反響增益矩陣K[k,k,,k ],得到閉環(huán)系統(tǒng) (AbK,b,c)狀態(tài)0 1 n1 Kf()|IAbK|。③由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*()(*f(f*()K[ki

,k,,k1

n1

。⑤進(jìn)一步畫出模擬構(gòu)造圖。他工作。2．承受輸出反響不能任意極點(diǎn)配置，正是輸出線性反響的根本弱點(diǎn)。的反響對(duì)系統(tǒng)0

Abc任意配置極點(diǎn)的充要條件是0

完全能觀。設(shè)計(jì)0

的反響陣Ｇ的問題就是其對(duì)偶系統(tǒng)~0

設(shè)計(jì)狀態(tài)反響陣Ｋ的問題?！玻薄硁3。①首先推斷是否完全能觀，是，則存在輸出反響Ｇ。②通過(guò)線性變換xTo2

x化為能觀標(biāo)準(zhǔn)２型，得到 (A,b,c)。③參加輸出反響增益矩陣G[g0g1,gn1]T,得到閉環(huán)系統(tǒng)GAGcbc)f()|IAGc|f*()(*。i⑤將f(f*()比較，即可得到G[g0

,g,,g1

n1

]T。⑥把對(duì)應(yīng)與 的G，通過(guò)GT GO2[gg,,g 。⑦進(jìn)一步畫出模擬構(gòu)造圖。0 1 n1⑵當(dāng)階次較低時(shí)，n3，可直接由反映物理系統(tǒng)的A,c矩陣求狀態(tài)反響增益矩陣G[gg,,g ，不通過(guò)非奇異變換，使設(shè)計(jì)工作簡(jiǎn)潔。①首先推斷是否完全能觀，是，則存0 1 n1在輸出反響Ｇ。②參加從輸出到的反響增益矩陣G[g,g,,g ],得到閉環(huán)系統(tǒng)0 1 n1 AGcbcf()|IAGc|G期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*((*f(f*(比較，即可得到iG[gg,,g 。⑤進(jìn)一步畫出模擬構(gòu)造圖。0 1 n1三．系統(tǒng)冷靜問題0穩(wěn)定。

ABC)要求將閉環(huán)極點(diǎn)嚴(yán)格地配置在期望極點(diǎn)上。狀態(tài)反響能冷靜的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定的。的反響實(shí)現(xiàn)冷靜的充要條件是不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。五．狀態(tài)觀測(cè)器器理論，解決的狀態(tài)重構(gòu)問題，使?fàn)顟B(tài)反響成為一種可實(shí)現(xiàn)的掌握律。?以的輸入u和輸出y作為輸入量，產(chǎn)生一組輸出量?x，即0lim|x?0，則稱?為必需是完全能觀或不能觀子系統(tǒng)是t 0 0漸近穩(wěn)定的；??x；?在構(gòu)造上盡可能簡(jiǎn)潔〔數(shù)，以便于物理實(shí)現(xiàn)。２．等價(jià)性指標(biāo)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

??ycx?

原系統(tǒng)

AxBu0 ycx?(x?) x?eAt(x0

)0只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即Ａ的特征值具有負(fù)實(shí)部，就可做到與x是穩(wěn)態(tài)等價(jià)的。３．重構(gòu)狀態(tài)方程緣由：①系統(tǒng)的狀態(tài)是不能直接量測(cè)的，因此很難推斷是否有靠近于x；②不肯定能保證Ａ的特征值均具有負(fù)實(shí)部。yx的測(cè)量，當(dāng)lim|x?0，有l(wèi)im|y?lim|cx?lim|c(x?)0。 同時(shí)，引入反響陣Ｇ，t t t t使系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部。狀態(tài)重構(gòu)方框圖為p213 5.16(a)要求嫻熟記憶，這種狀態(tài)觀測(cè)器稱為漸近觀測(cè)器。??BuG(y?)(AGC)?GyBu狀態(tài)觀測(cè)器方程為

記為?(AGC,,G)GAGCxxGAGC的特征值的配置。４．觀測(cè)器的存在性對(duì)于完全能觀測(cè)的線性定常系統(tǒng)，其觀測(cè)器總是存在的。觀測(cè)器存在的充要條件是 不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。0５．觀測(cè)器的極點(diǎn)配置0

(,B,C)?(AGC,,G)近速度的充要條件是0

ABC)完全能觀測(cè)。極點(diǎn)配置方法〔1〕能觀標(biāo)準(zhǔn)型法，適合于n3。①首先推斷是否完全能觀，是，存在觀測(cè)器可以任意極點(diǎn)配置。②通過(guò)線性變換xTx化為能觀標(biāo)準(zhǔn)２型，得到 (A,b,c)。③參加輸出誤差反響陣G[g0

,g,,g1

n1

]T?(AGc)?BuGy)，求出對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f()|IAGc|。④由給定的期望極點(diǎn)，求出期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式f*((*f(f*(比較，即可得到Ggi

,g,,g1

n1

]T。⑥把對(duì)應(yīng)與的G，通 過(guò) GTG [g0,g1,,gn1] 。 ⑦ 得 觀 測(cè) 器 方 程 ，?(AGc)?BuGy或?A?BuG〔y?)，進(jìn)一步畫出模擬構(gòu)造圖。n3，可由特征值不變?cè)砬鬆顟B(tài)反響增益矩陣G[g0g1,,gn1，不通過(guò)非G[g0,g1,,gn1],得到觀測(cè)器系統(tǒng)?(AGc,