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文檔簡介
第五章近似方法§1引言§2非簡并定態(tài)微擾理論§3簡并微擾理論§4變分法（一）近似方法的重要性前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡單問題。如：（1）一維無限深勢阱問題；（2）線性諧振子問題；（3）勢壘貫穿問題；（4）氫原子問題。這些問題都給出了問題的精確解析解。然而，對于大量的實(shí)際物理問題，Schrodinger方程能有精確解的情況很少。通常體系的Hamilton量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實(shí)際問題時，量子力學(xué)求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要。§1
引
言（二）近似方法的出發(fā)點(diǎn)近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來求較復(fù)雜問題的近似（解析）解。（三）近似解問題分為兩類（1）體系Hamilton量不是時間的顯函數(shù)——定態(tài)問題1.定態(tài)微擾論； 2.變分法。（2）體系Hamilton量顯含時間——狀態(tài)之間的躍遷問題1.與時間
t
有關(guān)的微擾理論； 2.常微擾。§2非簡并定態(tài)微擾理論（一）微擾體系方程（二）態(tài)矢和能量的一級修正（三）能量的二階修正（四）微擾理論適用條件（五）討論（六）實(shí)例微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級效應(yīng)。例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動，可是由于其
它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化?？删_求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系Hamilton量不顯含時間，而且可分為兩部分：H?
=
H?
(
0
)
+
H?
￠（一）微擾體系方程H(0)所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值E
n
(0)，本征矢|ψn(0)>滿足如下本征方程：>(0)(0)?(0)nn(0)n>=
E
|yH
|y另一部分H’是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于H(0)上的微小擾動?，F(xiàn)在的問題是如何求解微擾后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整個體系的Schrodinger方程：H?
|yn
>=En
|yn
>(0)>,
En(0)當(dāng)H’
=
0
時，
|ψn>
=
|ψn
=
E
n
；當(dāng)H’≠0時，引入微擾，使體系能級發(fā)生移動，由E
n(0)→En
，狀態(tài)由
|ψn
(0)>
→|ψn
>。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：(
1
)H?
￠=
l
H?其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。因?yàn)?/p>
En
、
|ψn
>都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級數(shù)：>
+
(
2
)n(
1
)n(
0
)nnnE|
y
>=
|
y
>
+
l
|
y
>
+
l
2
|
y=
E
(
0
)
+
lE
(
1
)
+
l
2
E
(
2
)
+
n
n
n其中E
n
(0),
λE
n
(1), λ2
E
n
(1),
...分別是能量的0級近似，能量的一級修正和二級修正等；(0)>,
(1)>,
λ2
(2)>,而|ψn
λ|ψn
|ψn
...分別是狀態(tài)矢量0級近似，一級修正和二級修正等。>
+
)>
+
)(
2
)n(
1
)n(
0
)n(
2
)n(
1
)n(
0
)n>
+
l2
|
y>
+
l
|
y=
(
E
(
0
)
+
lE
(
1
)
+
l2
E(
2
)
+
)(|
yn
n
n>
+
l2
|
y>
+
l
|
y(
H?
(
0
)
+
lH?
(
1
)
)(|
y代入Schrodinger方程得：乘開得：>
+
>
+
[]
+
>]
+>]
+[]
+??>]
+
???(1)(1)(
2)(0)(1)(0)(0)l3l|y
>]
+
=
ll2l3|yn
n
n
n
n
nn
n
n
nn
nn
n(0)n(1)n(0)n2
[E
(0)
|y
(
2)
>
+E
(1)
|y
(1)
>
+E
(
2)
|y
(0)[E
(0)
|y
(1)
>
+E
(1)
|y
(0)E
(0)
|y
(0)[H
|y
>
+H>
+H
|yl
[HH
|y根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式:
>>>(1)(
0
)(1)(
0
)(
0
)(
0
)?????n
n
n
n
n
nn
n
nn(
0
)n(1)n(1)n(
2
)n(
0
)nn(
0
)n>
+
H(
0
) (
2
)
>
+
E
(1)
|y
(1)
>
+
E
(
2
)
|y
(
0
)E
|y(
0
)
(1)
>
+
E
(1)
|y
(
0
)E
|yH
|y
>
+
H
|y
>=H
|y
|y
>=l1
:l2
:>=
E
|yH
|yl0
:整理后得：>>
(1)(
0
)(
0
)(1)(1)(
0
)(
0
)????>=
0?(
0
)nnnn(
0
)n(1)nn(1)(
0
)n(1)n(
2
)n(
0
)n(
0
)n>=
-[
H[
H>=
-[
H>
+
E
(
2
)
|y-
E
]
|yE
]
|y-
E
]
|y[
H
-
E
]
|y[
H
-
E
]
|y-上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分別是|ψn
(1)>和|ψn(2)>所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級修正。現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢|ψn
(0)>和本征能量
E
n
(0)來導(dǎo)出擾動后的態(tài)矢|ψn
>和能量En
的表達(dá)式。(1)能量一級修正λ
E
n
(1)根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，H(0)的本征矢|ψn(0)>是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開，|ψn(1)>也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級修正展開為：>>=>=￥
￥(
0
)kknk
=
1(
1)n(
0
)k(
0
)kk
=
1(
1)na
(
1
)|
y|
y><
y|
y|
y(1)
=
<ψ
(0)
|ψ
(1)akn
k
n>代回前面的第二式并計(jì)及第一式得：>>￥￥(
1
)(
1
)(
0
)]nnk
=
1n(
0
)kknk
=
1(
0
)n>=
-[
H?
-
E-
Ea
(
1
)
[
E
(
0
)kn
k>=
-[
H?
-
Ea
(
1
)[
H?
-
E(
1
)
]
|
y
(
0
)n(
0
)
]
|
y
(
0
)k(
1
)
]
|
y
(
0
)n|
y左乘<ψm(0)|（二）態(tài)矢和能量的一級修正>￥(1)?(
0)m(
0)k(
0)m(
0)n(
0)kknk
=1-
Ea
[E(1) (
0)
>
+E
(1)
<y
(0)
|y
(
0)n
n
m
n|
H
|y]
<
y
|y
>=
-
<y考慮到本征基矢的正交歸一性：n
mnmknkn(1)(1)mn(
0
)(
0
)k(1)?a
[
E+
E
d=
-
H-
E
]d￥k
=1dmn(1)(
0
)?
(1)a
(1)
[
E
(
0
)mn
m-
En
]
=
-
Hmn
+
En考慮兩種情況>(0)nnnn(1)
?
(1)
(0)
?
(1)nE=
H
=<
y
|
H
|ym
=nm≠
nmnmnmnH?
(1)a(1)E
(0)
-
E
(0)>E
(0)
-
E
(0)=
mn
=
m
n
<y
(0)
|
H?
(1)
|y
(0)準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：nE=
E
(
0
)
+
l
E
(
1
)n
n>(
1
)(
0
)n(
0
)n=
E
(
0
)|
H?
|
y+
l
<
y(
1
)(
0
)nn=
E
(
0
)
+
<
y>(
0
)n(
0
)n(
0
)n
nn|
l
H?
|
y
>
=
E
(
0
)
+
<
y
|
H?
￠|
ynn￠+
H=
E?(
0
)n>￠??(0)n(0)nnnH|
H
￠|y=<y其中能量的一級修正等于微擾
Hamilton量在0級態(tài)矢中的平均值（2）態(tài)矢的一級修正|ψn(1)>>￥(1)(0)kk
=1n
(1)kn>=
a
|y|y為了求出體系態(tài)矢的一級修正，我們先利用n擾動態(tài)矢|ψ
>的歸一化條件證明上式展開系數(shù)中an
n(1)=0
（可以取為0
）?；趞ψn
>
的歸一化條件并考慮上面的展開式，證：n
n1
=<
y
|y>](1
)n(
0
)n>
+l
|y>
=
[<
y
(
0
)
|
+l
<
y
(1
)
|]
?[|
yn
n>n
n
n
nnn
n>
+
l2
<
y(1
)
|y
(
0
)
(1
)
|y
(
1
)>
+
l
<
y(
0
)
|y
(
1
)n>
+
l
<
y(
0
)
|y
(
0
)=<
y|
y>
]
+
l
2
<
y=
1
+
l
(
0
)n(
0
)kkn(
0
)k(
0
)nkn>
+
a
(
1
)
*
<
y
|
y[
a
(
1
)2]
+
l
=
1
+
lknknkn
nkk
=
1+
a
(
1
)
*
dk
=
1[
a
(
1
)d(
1
)nn(
1
)nn+
a
*]?
1
+
l[a由于
歸一，所以nnnn
nnnn
nn
Re[
a
(
1
)
]
=
0+
a
(
1
)
*]
=
0\
[
a
(
1
)+
a
(
1
)
*]
=
0l
[
a
(
1
)
l
?
0an
n(1)的實(shí)部為0。an
n(1)是一個純虛數(shù)，故可令an
n(1)=i
g
（
g
為實(shí)）。k
=1(
0
)nn
a
(1
)
|y
(
0
)kn
k>
+
l|y
>=
|y>knk
?
n(
0
)nnn(
0)na
(
1
)
|
y
(
0
)k>
+
l
>
+
la
(
1
)
|
y>
=|
y(
0
)n(
0
)na
(
1
)
|y
(
0
)kn
k>
+
l
k
?
n>
+
lig
|y=|y>?k
n(
0
)na
(
1
)
|
y
(
0
)kn
k>
+
l
>
=
(1
+
lig
)
|
y(
0
)(
1
)k
?
na
kn|y
k=
e
|y
n
>
+
l
lig
(
0
)>
(
1)(
0
)ka
kn|
y>
+
l
k
?
n>
=
e
|
ylig
(
0
)n>>￥kn
k>
+k
?nnE
(
0)
-
E
(0)
k
n
|y
(
0)<y
(
0)
|
H?
￠|y
(
0)|ψn(0)上式結(jié)果表明，展開式中，an
n(1)
>
項(xiàng)的存在只不過是使整個態(tài)矢量|ψn
>增加了一個相因子，這是無關(guān)緊要的。所以我們可取g
=0，即
an
n(1)
=
0。這樣一來，￥(
0)(
0)
(1)knk
?na
|y
k
>|y
n
>=|y
n
>
+l>
=|y
(
0)>>
+￥(
0
)kkn
k
n
k
?nnE
(
0
)
-
E
(
0
)|y<
y
(
0
)
|
lH?
(1)
|y
(
0
)=|y
(
0
)￥(
0
)(
0
)n
kk
?
nE
(
0
)
-
E
(
0
)H
kn|
y
k
>=|
y
n
>
+與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|ψn
(2)>n按|ψ
(0)>展開：>>=>=￥￥k
=1(
2
)n(
0
)k(
0
)kk
=1(
2
)na
(
2
)
|y
(
0
)kn
k|y><
y|y|y與|ψn
(1)>展開式一起代入
關(guān)于
l2的第三式>￥￥(
1
)(
1
)(
0
)?]?(
0
)nnk
=1knk
=1n
(
0
)>=
-[
H[
H
-
E>
+
E
(
2
)
|
y-
E
n
]
a
|
y(
1
) (
0
)kn
ka
(
2
)
|
y
(
0
)k>￥￥(
1
)(
1
)(
0
)nnk
=
1k
=
1>=
-[
H?>
+
E
(
2
)
|
y-
E
n
]
a
|
y(
1
) (
0
)kn
k[
E
(
0
)
-
E
(
0
)
]a
(
2
)
|
y
(
0
)k
n
kn
k>>￥(
0
)kkn(
0
)nE
(
0
)
-
E
(
0
)
k
n
|
y(
0
)
|
H?
(
1
)
|
y
(
0
)<
y>
+
l
k
?
n=|y（三）能量的二階修正n
mnkn
mkknkn
mkna
d(1)n(0)k(1)(0)m(1)(0) (
2)(0)k?|
H
|y[E(1)
+
E(
2)d>
+Ea
<y=
--
E
]a
d￥k
=1￥k
=1￥k
=11.
當(dāng)m=n時Ha(1)
(1)
(1)
(1)
(
2
)kn mk
+
En
amn
+
En0
=
-￥nE
(
2)
=￥(
1
)a
H
a(1)
H
(1)
-
H
(1)a(1)
kn(
1
)kn
nk
nn
nn
nkk
=1k
=1￥k
?
n=nkn
kknH
(1
)H
(1
)E
(
0
)
-
E
(
0
)=
￥k
?
n
kn
kn
H(1)H(1)*E(0)
-E(0)￥
kn
|
H
(
1
)
|2E
(
0
)
-
E
(
0
)￥=
k
?
n=k?n在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性?(1)
(0)
>*n(1)*kn>(1
)
+?(
0
)k(
0
)n|
H|yk=<
y>(1)?(0)k(0)k(0)n|
Hn
k
nH
=<
y
|
H
|y|y=<
ynk=
H(1)>>=
-￥￥￥(1)(1)(1)(0)
(2)(0)?n(0)k(0)mknk=1(0)k(0)mknn
kk=1+E(2)[E
-
E<y
(0)
|y
(0)
>m
n+
En
akn
<y
|y
>(1)
(0)
(0)m
kk=1|
H
|ya
<y|y]a
<yn
mnn(
2
)(1)
(1)n
mn(
0) (
2)mn(
0
)m[E+
E
da
H
+
E
a=
--
E
]a￥
(1)
(1)kn
mkk
=1左乘態(tài)矢<ψm
(0)
|正交歸一性knknH
(1)E
(
0)
-
E
(0)a(1)
=
kn
2.
當(dāng)m≠n
時(1)
(1)n
mn(0)
(2)mn(0)m
na[Ea
H
+
E=
--
E
]a
(1)
(1)kn
mk￥k
=1mm
nn(2)mnH
(1)a(1)a(1)
H
(1)aE(0)
-
E(0)
kn
mk
-
nn
mn
E(0)
-
E(0)=￥k
=1mnknmnH(1)
H(1)H(1)
H(1)
kn
mk
-
nn
mn
[E(0)
-
E(0)
][E(0)
-
E(0)
]
[E(0)
-
E(0)
]2=
￥k?n能量的二級修正2
(
2)
2n
k
kn
n|
H
(1)
|2E
(
0)
-
E
(
0)￥k
?nl
E
=
lknE(0)
-
E(0)>|2￥=
k?n|<y
(0)
|
lH?
(1)
|y
(0)(0)
2(0)|?
k
n
E(0)
-E(0)n
k￠|
k
n
=￥k?n|<y
|
H
y
>n
k
kn
E(0)
-
E(0)|
H￠
|2￥=
k?n在計(jì)及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：kn
kn
(0)n(1)
2
(2)n
n(0)nnE(0)
-
E(0)|
H￠
|2+H￠+=
EE
=
E￥nn
k
?n+
lE
+
l
E總結(jié)上述，在非簡并情況下，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：>
+
>
+￥￥(
0
)k(
0
)k(
0
)nknk
?
n(
0
)nn(
0
)k(
0
)n
kn
+
k
?
nnn(
0
)nn-
EEH
￠-
EE|
H
￠
|2+
H
￠
+
E
=
E|
y|
y
>=
|
y欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項(xiàng)，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此我們得到微擾理論適用條件是：E
(
0
)
?
E
(
0
)n
k<<
1H
k￠nE
(
0
)
-
E
(
0
)n
k這就是本節(jié)開始時提到的關(guān)于H’很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時，由上式計(jì)算得到的一級修正通?？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。（四）微擾理論適用條件微擾適用條件表明：（2）|En(0)–
Ek(0)|要大，即能級間距要寬。例如：在庫侖場中，體系能量（能級）與量子數(shù)n2成反比，即En
=
-
μZ2
e2
/2
2
n2
(
n=
1,
2,
3,
...)由上式可見，當(dāng)n大時，能級間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級（n?。┑男拚?。（1）|H’kn|=|
<ψk(0)
|
H’|ψn(0)
>|要小，即微擾矩陣元要??；n
kE
(
0
)
?
E
(
0
)n
k<<
1E
(
0
)
-
E
(
0
)H
k￠n>kn
kk
?nE
(
0
)
-
E
(
0
)H
k￠n|y
(
0
)￥|y
>=|y
(
0
)
>+n
n表明擾動態(tài)矢|ψn>可以看成是未擾動態(tài)矢|ψk(0)>的線性疊加。（2）展開系數(shù)H’kn
/(E
n
(0)-E
k
(0))表明第k個未擾動態(tài)矢|ψk(0)>對第n個擾動態(tài)矢|ψn>的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|ψk(0)>混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無須計(jì)算無限多項(xiàng)。（3）由En
=E
n
(0)+Hn
n可知，擾動后體系能量是由擾動前第n態(tài)能量E
n(0)加上微擾
Hamilton量H’在未微擾態(tài)|ψn(0)>中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來能級上移或下移。（4）對滿足適用條件E(0)
?
E(0)n
k<<1E(0)
-
E(0)Hk￠n微擾的問題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級能量修正H’nn
=0就需要求二級修正，態(tài)矢求到一級修正即可。n
k（5）在推導(dǎo)微擾理論的過程中，我們引入了小量λ，令：H’=λH(1)只是為了便于將擾動后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一(1)旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫出，把H
理解為H’
即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。（1）在一階近似下：（五）討論例1.一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場ε作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量x
-
eexH
=
-
+2
221
mw22
m
dx?
2
d
2將
Hamilton
量分成H0
+
H’兩部分，在弱電場下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。+=
-xd
H?
￠=
-
eex2
m
dx
H?2
221
mw220
2（2）寫出H0
的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)2
2n
=
0,1,2,=
N
eNn
=nn(0)nE
(0)
=
w
(n
+
1
)n
2p
2n
n!amwa
=H
(ax)y-a
x
/
2（3）計(jì)算En(1)(
0
)(
0
)*(
1
)?
￠￠￥-
￥￥-
￥(
0
)
dx
=
0nnE
n
=
H
nn
=(
0
)*
xyy=
-eey
n
H
y
n
dx上式積分等于0是因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。（六）實(shí)例（4）計(jì)算能量二級修正enknkn(0)(0)*k?y
(0)*
xy
(0)dxy欲計(jì)算能量二級修正，首先應(yīng)計(jì)算H’k
n
矩陣元。￥-￥￥-￥H
y
dx
=
-
e￠H￠
=利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：2n+1n+1xy
n
=
1
[
ny
n
1
+
y
]a
2
-kkn]dx2(0)n+1n+1￥-￥yy
(0)*
1
[
ny
(0)
+H￠
=
-eea
2
n-1(0)2kkn+1n+1￥-￥￥-￥y
dx]y
(0)*ny
(0)
dx+2
n-1y
(0)*=
-ee
1
[a]2-1+k,n+1n+1dndk,na=-
ee
[(2)k
kn
E(0)
-
E(0)|
H￠
|2E
=n
k?n211n
kE(0)
-
E(0)=2
k
.n+
n+12
k
,n-k
?n|
-
[
d
+
d
]
|aee
n]
1
22=
(
)nk
,n-1
nn
kk
?nE(0)
-
E
(0)+
n+1
d2
k
.n+1[
daee+(0)(0)2(0)(0)211=(
)n+1
nn+1n-1n2
n-
EE-
EEaee對諧振子有；En(0)
-
E(0)
=
ω,E
(0)n
-
En+1n-1
(0)=
-
ω，2代入a
2
w
2
-wnE(2)
=
(
ee
)2[
n
1
+
n+1
1
]a
2
=
mw=
-(
ee
)2
1
a
2w2mw
22
2=
-
e
e由此式可知，能級移動與n無關(guān)，即與擾動前振子的狀態(tài)無關(guān)。(0)kn
k(1)nHknyyE(0)
-
E(0)=
k
?n(0)kn
k2
k
,n
1yd
]aE(0)
-
E(0)
ndk
,n
1
+-
ee
[=+
n+12
-k?n=
-(0)11n+1
n
n+1n+1n-1n
n-12
E(0)
-
E(0)
n2
E(0)
-
E(0)yy
(0)
+ee
a+11n+1
n+1(0)n-1
2ny
(0)
ya
=-
ee
2
w
-w1(0)n-1(0)n+1-
ny
][
n
+1y=
ee2mw
3（6）討論：1.電諧振子問題亦可在粒子數(shù)表象中求解微擾矩陣元n?E
=<n|
H￠|
n>(1)=-ee<n|
x|
n>+?
?[a+a
]|
n>
1
a
2=-ee<n|a
2=-ee
1
[<n|
a?|
n>+<n|
a?+
|
n>]
1
[
n
<n|
n-1>+
n+1
<n|
n+1>]a2=-ee=
0x=
1
[a?+a?+]a
2a?|n>=
n|n-1>a?+
|n>=
n+1|n+1>計(jì)算二級修正：Hm￠n
=<
m
|
H?
￠|
n
>=-ee<m|
x|
n>a
2=-ee<m|
1
[a?+a?+]|
n>a
2=-ee
1
[<m|a?|n>+<m|a?+
|n>]a2=-ee
1
[
n
<m|
n-1>+
n+1
<m|
n+1>]-
+=-ee
1
[
ndm,n
1
+
n+1dm,n
1]a
2代入能量二級修正公式：(2)n
m
mn
nE(0)
-E(0)|
H￠
|2E
=m?nn
mE(0)
-E(0)m,n+1m,n-1=
m?n+
n+1d
]|2|
-ee
1
[
nda
222mwe
2e2=
-2.電諧振子的精確解實(shí)際上這個問題是可以精確求解的，只要我們將體系
Hamilton量作以下整理：-
e
x+
mw
x
eH
=
-2
22122m
dx?2
d
22mw2
mw2
2mw2e2e2eeee2m
dx2x+(
)2]-+1
mw2[x2
-2=-2
d22mw2
2mw2e2e2ee2m
dx2+1
mw2[x-=-2
d222mw2e2e2+1
mw2x￠2
-2m
dx￠2]2
-
=-2
d2其中x’
=
x
–
[eε/μω2
]，可見，體系仍是一個線性諧振子。它的每一個能級都比無電場時的線性諧振子的相應(yīng)能級
低{e2ε2
/
2μω2
}，而平衡點(diǎn)向右移動了{(lán)eε/μω2}
距離。由于勢場不再具有空間反射對稱性，所以波函數(shù)沒有確定的宇稱。這一點(diǎn)可以從下式擾動后的波函數(shù)ψn已變成
ψn(0),ψn+1(0),ψn-1(0)的疊加看出。n+1
n-1n
n
nn
1
[ n+1y
(0)
-=y
(0)
+y
(1)
=y
(0)
+ee
ny
(0)
]y2mw
3例2.
設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：
0c
-
2
1
c
0H
=
c
3
00設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級近似；求H的精確本征值；在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：（1）c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：
c
0
00
-
2
0
100
0c0
H
0=
030H
￠=
c00
H0是對角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0級近似為：1E
(0)
=
12E
(0)
=
33E
(0)
=
-
2由非簡并微擾公式=2(1)=
k
?n(
2)nn
nnE
(
0)
-
E
(0)n
k|
H
k￠n
|E
H
￠E得能量一級修正：￠=
c=
HE
EE3322(
1
)1(
1
)2(
1
)3=
H
￠
=
0=
H
1￠1
=
0能量二級修正為：232
11(2)1k
1|
H￠|2|
H￠|2
k1
=
21
+
31
=-
1
c2E(0)
-
E(0)
E(0)
-
E(0)
E(0)
-
E(0)|
H￠
|2E
=k?n31
22(2)Ek
2|
H￠|2|
H￠|2
k2
=
12
+
32
=
1
c2E(0)
-E(0)
E(0)
-E(0)
E(0)
-E(0)
2|
H￠
|2=2
k?n23133(2)3=|
H￠
|2|
H￠|2E(0)
-
E(0)
E(0)
-
E(0)
E(0)
-
E(0)|
H￠
|2Ek
k3
=
13
+
23
=
0k?n準(zhǔn)確到二級近似的能量本征值為：
E-
2
+
c
E
E
=
3
+==
1
-3221
c2221
c1設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：1
-
E
c
0c
3
-
E
0
=
00
0
c
-
2
-
E(c
-
2
-
E
) (
E
2
-
4E
+
3
-
c2
)
=
0解得：
E
E
3
=
-2
+
c22
=
2
-
1
+
c
E
=
2
+
1
+
c
21(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開：E
=
2
+E
=
-2
+
c321
2
81+
c2
=
3
+
1
c2
-
1
c4
+2
8E
=
2
-
1+
c2
=
1-
1
c2
+
1
c4
+比較（1）和（2）之解，可知，微擾論二級近似結(jié)果與精確解展開式4不計(jì)c
及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。(2)精確解：（一）簡并微擾理論（二）實(shí)例（三）討論§3簡并微擾理論假設(shè)En(0)是簡并的，那末屬于H(0)的本征值En(0)有k個歸一化本征函數(shù)：|
n1>,|
n
2>,......,|
n
k><na
|nb
>=dab滿足本征方程：n?(
0
)(
0
)a
=
1,2,3,
,
k[
H
-
E
]
|
na
>=
0于是我們就不知道在k個本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個作為微擾波函數(shù)的0級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取0級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。0級近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個|
n
a>中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按l冪次分類得到的方程：>￠(1)(
0
)?
?(
0
)nn(1)n(
0
)n>=
-[
H[
H
-
E-
E
]
|y]
|yn?(
0
) (
0
)-
E
]
=
0a
=
1,2,3,
,
k<
na
|
[
H共軛方程（一）簡并微擾理論根據(jù)這個條件，我們選取0級近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成
k
個|
n
a
>的線性組合，因?yàn)榉凑?/p>
0
級近似波函數(shù)要在|
na
>
(a=1,2,...,k)中挑選。ak>=
c
|
na
>a=1n
(0)n|ψ
(0)>
已是正交歸一化
|y系數(shù)ca由l一次冪方程定出￠akc
|
na
>]?>=
-[
H
-
E]
|y?[
H
-
Ea
=1(1
)n(1
)n(
0
)n(
0
)>a
a=
Ekkc
|
na
>
-
c
H?
￠|
naa
=1a
=1n
(1)左乘<n
b
|得：a
a>=
Ekkn
nc
<
nb
|
na
>
-
c
<
nb
|
H?
￠|
na
>?<
nb
|
[H
-
E
]
|ya
=1a
=1(1)(1)n(0)
(0)a
ba
a
bakk=
Ec
d
-
c
H
￠n
a
=1a
=1(1)ba
abank[
E
(1
)d-
H
￠
]c=
a
=1Hb￠a=<
nb
|
H?
￠|
na
>其中(
0
)(
0
)-
E
n
]
=
0<
nb
|
[
H?得：ababaa
=
1]c
=
0-
E
(
1
)d[
H
￠nk上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊a次線性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即2112=
0kk
nk
2k122
nH￠
-
E(1)H￠H￠H￠
-
E(1)H￠H￠H￠-
E(1)11
n
解此久期方程可得能量的一級修正En(1)的k個根：En
(1),n
=1,2,...,k.因?yàn)镋n
n=
En(0)
+
E(1)n
nn所以，若這k個根都不相等，那末一級微擾就n可以將
k
度簡并完全消除；
若En
(1)有幾個重根，則表明簡并只是部分消除，必須進(jìn)一步考慮二級修正才有可能使能級完全分裂開來。為了確定能量Enn
所對應(yīng)的0級近似波函數(shù)，可以把E(1)nn
之值代入線性方程組從而解得一組ca(a=1,2,...,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的0級近似波函數(shù)。n為了能表示出
ca
是對應(yīng)與第
n
個能量一級修正
En
(1)
的一組系數(shù)，我們在其上加上角標(biāo)n
而改寫成ca
n
。這樣一來，線性方程組就改寫成：k]c
=
0b
=
1,2,
,
k[
H
￠
-
E
(1)dba
nn
ba
ana
=1knn(0)nnana=1>=C |
na
>則對應(yīng)E(1)
修正的0
級近似波函數(shù)改寫為：
|y例1.氫原子一級Stark效應(yīng)（1）Stark效應(yīng)氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark效應(yīng)。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n個能級有n2度簡并。但是當(dāng)加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。（2）外電場下氫原子Hamilton量=
-
2
m
?202-
er
H
0=
H?
+
H?
￠H?
H?
￠=
e
?
=
eez
=
eer
cos
qe
r
2取外電場沿z正向。通常外電場強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場≈1011
伏/米，二者相差4個量級。所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。（二）實(shí)例（3）
H0
的本征值和本征函數(shù)ynlm(
r
)
=
R
nl
(
r
)Y
lm
(q
,
j
)m
e
4
E
nn
=
1
,2
,3
,
=
-
2
2n
2下面我們只討論n=2
的情況，這時簡并度n2
=4。0m
e
2m
e
4e
2
2E
n
=
-
8
2
=
-
8
a
a
0
=屬于該能級的4個簡并態(tài)是：=
R
Ysin
qe
-
ijsin
qe
ijcos
qa
0a
0
a
0a
0
a
0a
0
a
08
p=
-
1
(
1
)
3
/
2
(
r
)
e
-
r
/
2
a
021 1
-
121
-
148
p=
-
1
(
1
)
3
/
2
(
r
)
e
-
r
/
2
a
021
1121134 2
p
1
(
1
)
3
/
2
(
r
)e
-
r
/
2
a
021
102102
r
)
e
-
r
/
2
a
04 2
pY
=
1
(
1
)
3
/
2
(
2
-20
002001a
0a
=
1
,
2
,
3
,
4
.f
a
|
2
a
>f
”
y
=
Rf
”
y
=
R
Y
=f
”
y
=
R
Yf
”
y其中（4）求H’在各態(tài)中的矩陣元由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton
量
H’在以上各態(tài)的矩陣元。
>=
ee
<
R20
|
r
|
R21
><
Y00
|
cos
q
|
Y10
>>=
ee
<
R21
|
r
|
R20
><
Y10
|
cos
q
|
Y00
>H
1￠2
=<
f1
|
H?
￠|
f2H
2￠1
=<
f2
|
H?
￠|
f1
我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：lmYl
-1,m(
2
l
-1
)(
2
l
+1
)l
2
-
m
2l
+1,m(
2
l
+1
)(
2
l
+
3
)(
l
+1
)
2
-
m
2Y
+cos
q
Y
=于是:lml￠m￠l￠m￠
l
-1,m(
2l
-1)(2l
+1)l￠m￠
l
+1,m(
2l
+1)(2l
+3)<
Y
|
Y
><
Y
|
Y
>
+l
2
-m2(
l
+1)2
-m2<
Y
|
cosq
|
Y
>==d
dd
d
+l
￠l
-1
m
￠ml
￠l
+1
m
￠m(
l
+1
)
-
ml
2
-
m
2(
2
l
-1
)(
2
l
+1
)2
2(
2
l
+1
)(
2
l
+
3
)欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：
m
￠=
m
l
￠=
l
-
1
l
￠=
l
+
1D
m
=
m
￠-
m
=
0D
l
=
l
￠-
l
=
–1僅當(dāng)Δ
=±1,Δm=0
時，
H’
的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有
H’12,H’21不等于0。因?yàn)?3<Y10
|cosq
|Y00
>=所以3H12
=
H21
=
ee
<
R20
|
r
|
R21
>3032a0
a0
2a0
a0￥(
1
)3
/
2
(2
-
r
)e
-r
/
2a0
r
1
(
1
)3
/
2
(
r
)e
-r
/
2a0
r
2dr=
ee0a
024
a
0￥(
2
-
r
)
e
-
r
/
a
0
r
4
dr=ee
(
1
)
400a
024
a
0
r
e
-
r
/
a
0
r
4
dr
]￥￥2
e
-
r
/
a
0
r
4
dr
-=ee
(
1
)
4
[0-
3
e
e
a=
ee
(
1
)4[
a
5
4
!
(2-5)
]=24
a0
0（5）能量一級修正將H’的矩陣元代入久期方程：00
000000222002=
0-
E
(
1
)-
E
(
1
)-
E
(
1
)-
E
(
1
)-
3
eea00-
3
eea解得4個根：00(
1
)21(
1
)22(
1
)23
(
1
)24
E
E
E
E由此可見，在外場作用下，原來
4 度簡并的能級 E
(0)在一=
3
eea
2=
-
3
e
ea
級修正下，被分裂成
3
條能級，簡并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)=
0
生時，原來的一條譜線就變成了
3
條譜線。其頻率一條與=0
原來相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。（6）求0級近似波函數(shù)分別將E2(1)
的4個值代入方程組：k(1))c
=
0b
=
1,2,k(H￠
-
E
dba
nn
ba
ana
=1得四元一次線性方程組=
0+
0
=
00
+
0
0
+
0+
0
+
0
=
02
42
3+
0(1)20
10
2(1)2
1-
E
(1)c-
E
(1)cc2
+
0
+
0
=
0-
E
c-
3eea
c
-
E-
3eea
cE2(1)=E21
(1)=
3eεa0
代入上面方程，得：4
3=
-
c
2
c
=
c
=
0
c
1所以相應(yīng)于能級E2(0)+3eεa0
的0
級近似波函數(shù)是：2101
2
2002
2(
0
)1
1
[f
1
[yy-
f
]
= -
y
]=E2(1)
=
E220(1)= -3eεa
代入上面方程，得：4
3=
c
2
c
=
c
=
0
c
1所以相應(yīng)于能級
E(0)
-3eεa
的
0
級近似波函數(shù)是：2
02102001
22
2(
0
)1
1
[f
1
[yy+
y
]+
f
]
==E2(1)
=
E23(1)
=
E24(1)=0
，代入上面方程，得：0的常數(shù)4
3
c
和c
為不同時等于=
c
2
=
0
c1因此相應(yīng)與E2(0)的0
級近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：y
(
0
)
(y
(
0
)
)
=
c
f
+
c
f
=
c
y
+
c
y3
4
3
3
4
4
3
211
4 21
-1我們不妨仍取原來的0級波函數(shù)，即令：
4
4orc
=
0
c
=
1c3
=
1
c3
=
021-1211(0)3
(0)4y
=yy
=y則（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于0級近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0),
那末，氫原子就好象具有了大小為3ea0
的永久電偶極矩一般。對于處在
ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向平行和反平行；而對于處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向垂直。例2.有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：H=H0
+H’，其中00
2
a
02
0
0
0 0
a
H￠=
0
0
0
a
<<
10H0
=0
2
00-
E(1)0-
E(1)0aa0
=
0-
E(1)E(1)[(E(1))2
-
α2
]
=
0解得：E(1)=0,±α.記為：1E
(1)
=-α2E
(1)
=
03E
(1)
=
+α故能級一級近似：=
2
-
a=
2=
2
+
a(1
)0
2
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