組合變形時的強度計算公式

組合變形時的強度計算公式2.分類------①斜彎曲(兩個平面彎曲的組合)②拉伸(或壓縮)與彎曲的組合③扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合④扭轉(zhuǎn)與拉伸(壓縮)及彎曲的組合注:含彎曲的組合變形，一般以彎曲變形為主，不考慮剪切變形,其危險截面主要依據(jù)Mmax，一般不考慮彎曲切應力。組合變形時的強度計算公式④根據(jù)危險點的應力狀態(tài)選用合適的強度準則，建立強度條件，進行強度計算。1.疊加原理：在線彈性、小變形下，每一組載荷引起的變形和內(nèi)力不受彼此影響，可采用代數(shù)相加。二、基本解法(疊加法)2.基本分析步驟：①外力分析：分解或簡化外力，使每一組力只產(chǎn)生一種基本變形，確定構(gòu)件的變形形式。②內(nèi)力分析分別計算各基本變形下的內(nèi)力，繪制內(nèi)力圖，確定危險截面。③應力分析i.分析各基本變形的危險截面應力分布，確定危險點。將各基本變形危險點處應力進行疊加;ii.對危險點進行應力狀態(tài)分析求出主應力（包括確定截面的幾何性質(zhì)）(s1≥s2≥s3)組合變形時的強度計算公式1.平面彎曲：對于橫截面具有對稱軸的梁，當橫向外力或外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，梁發(fā)生對稱彎曲。這時，梁變形后的軸線是一條位于外力所在平面內(nèi)的平面曲線。2.斜彎曲：兩對稱截面梁在水平和垂直兩縱向?qū)ΨQ面內(nèi)同時受橫向外力作用，分別在水平縱向?qū)ΨQ面和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)發(fā)生對稱彎曲。兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲也稱斜彎曲。桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫向力）不共面?！?-2斜彎曲(skewbending)FqFAFB縱向?qū)ΨQ面組合變形時的強度計算公式3.斜彎曲二.梁任意橫截面上的內(nèi)力分析斜彎曲內(nèi)力：My=P1x；Mz=P2(x-a)。一.外力分析梁發(fā)生斜彎曲以圖示橢圓截面懸臂梁為例，說明斜彎曲強度的計算方法。y、z軸為形心主慣性軸。組合變形時的強度計算公式三.梁任意橫截面上的應力分析

截面m—m上任意點C(y,z)的正應力為：

式中，Iy和Iz分別為橫截面對于兩對稱軸y和z的慣性矩；My和Mz分別是截面上位于水平和鉛垂對稱平面內(nèi)的彎矩，且其力矩矢量分別與y軸和z軸的正向相一致。在具體計算中，也可以先不考慮彎矩My、Mz和坐標y、z的正負號，以它們的絕對值代入，然后根據(jù)梁在P1和P2分別作用下的變形情況，來判斷上式右邊兩項的正負號。組合變形時的強度計算公式四.橫截面上中性軸方程

為確定橫截面上最大正應力點的位置，應先求截面上的中性軸位置。由于中性軸上各點處的正應力均為零，令y0、z0代表中性軸上任一點的坐標，則可得中性軸的方程為：

由上式可見，中性軸是一條通過橫截面形心的直線。它與y軸的夾角θ為：公式中角度

是橫截面上合成彎矩M的矢量與y軸的夾角.橫截面上合成彎矩M為：

組合變形時的強度計算公式討論：（1）一般情況下，截面的IzIy,故中性軸與合成彎矩M所在平面不垂直，此為斜彎曲的受力特征。導致?lián)锨€與外力（合成彎矩）所在面不共面,此為斜彎曲的變形特征。（2）對于圓形、正方形等Iy=Iz的截面，有

=

，中性軸和合成彎矩M垂直，梁發(fā)生平面彎曲，正應力可用合成彎矩M按正應力計算公式計算。(這樣的截面不可能發(fā)生斜彎曲)組合變形時的強度計算公式五、強度分析

在確定中性軸的位置后，作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面周邊相切于D1、D2兩點，該兩點即分別為橫截面上拉應力和壓應力為最大的點。是危險點。

對于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其橫截面都有兩個相互垂直的對稱軸，且截面的周邊具有棱角，故橫截面上的最大正應力必發(fā)生在截面的棱角處。于是，可根據(jù)梁的變形情況，直接確定截面上最大泣、壓應力點的位置，而無需定出其中性軸。組合變形時的強度計算公式

在確定了梁的危險截面和危險點的位置，并算出危險點處的最大正應力后，由于危險點處是單軸應力狀態(tài)，可將最大正應力與材料的許用正應力相比較來建立強度條件，進行強度計算。至于橫截面上的剪應力，一般因其數(shù)值都比較小，故在強度計算中可不必考慮。組合變形時的強度計算公式【例8-1】矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示。試確定危險截面、危險點所在位置，計算梁內(nèi)最大正應力的值。若將截面改為直徑D=50mm的圓形，試確定危險點位置，并計算最大正應力。組合變形時的強度計算公式解:(1)外力分析此梁在P1力作用下將在XOY

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲，在P2

力作用下將在XOZ

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲,故此梁的變形為兩個平面彎曲的組合—斜彎曲。(2)內(nèi)力分析繪制彎矩圖分別繪出MZ(x)和MY(x)圖，兩個平面內(nèi)的最大彎矩都發(fā)生在固定端A截面上，其值為MZ；MY由圖中可以看出，A截面為梁的危險截面。組合變形時的強度計算公式（3）應力分析彎距MZ

引起的正應力的分布圖彎距My引起的正應力的分布圖組合變形時的強度計算公式（4）危險點應力組合變形時的強度計算公式（5）分析與討論若將截面改為直徑D=50mm的圓形，則截面的慣性矩因為危險截面上MZ=My=1kN.m，則中性軸位置

=45o，梁將發(fā)生平面彎曲。危險點是e、f兩點。合成彎矩為：組合變形時的強度計算公式小結(jié)1、兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲又稱作斜彎曲。其受力特征是：中性軸與外力所在平面不垂直；變形特征是：撓曲線與外力不共面。3、正應力計算公式

，4、強度計算

max[]2、中性軸方程組合變形時的強度計算公式§8-3拉伸（壓縮）與彎曲

一.受力特點作用在桿件上的外力既有軸向拉(壓)力,還有橫向力，桿將發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲組合。組合變形時的強度計算公式二.拉(壓)與彎曲內(nèi)力分析桿件橫截面上一般產(chǎn)生彎矩MZ或My(或二者皆有)、軸力N、以及剪力。因為剪力引起的切應力較小，故一般不考慮。三.應力分析橫截面上任意一點(z,y)處的正應力計算公式組合變形時的強度計算公式以上圖為例分析拉彎組合變形構(gòu)件橫截面上的正應力：1.軸力跨中截面是桿的危險截面,彎矩：2.與軸力對應的拉伸正應力

與彎矩對應的最大彎曲正應力

桿危險截面下邊緣各點處的上的拉應力為：內(nèi)力分析應力分析組合變形時的強度計算公式＋組合變形時的強度計算公式四.強度條件：

由于危險點處的應力狀態(tài)仍為單軸應力狀態(tài)，故其強度條件為：

當材料的許用拉應力和許用壓應力不相等時，應分別建立桿件的抗拉、壓強度條件。組合變形時的強度計算公式【例8-2】懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz=237cm3,橫截面面積2，總荷載P=34kN，橫梁材料的許用應力[。校核橫梁AB的強度。組合變形時的強度計算公式解：分析AB的受力：NAB=PRA=0.5PHA=0.866P所以

可知：AB發(fā)生平面彎曲與壓縮的組合變形中間截面為危險截面。最大壓應力發(fā)生在該截面的上邊緣。組合變形時的強度計算公式壓縮正應力最大彎曲正應力強度校核所以，強度滿足要求組合變形時的強度計算公式§8-4偏心拉伸（壓縮）截面核心

一.偏心拉伸（壓縮）定義：作用在直桿上的外力，當其作用線與桿的軸線平行但不重合時，將同時引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。組合變形時的強度計算公式以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受偏心拉力F為例.偏心距為e，作用點坐標為（zp，yp）。1.將外力向截面形心簡化，使每個力(或力偶)只產(chǎn)生一種基本變形形式。軸向拉力：F；兩附加力偶：my，mz

：F

使桿發(fā)生拉伸變形，My使桿發(fā)生XZ平面內(nèi)的平面彎曲變形（y為中性軸),Mz使桿發(fā)生XY平面內(nèi)的平面彎曲變形（z為中性軸），故桿件發(fā)生拉伸與彎曲的組合變形。組合變形時的強度計算公式2.任意橫截面n-n上的內(nèi)力分析軸力FN=F，彎矩3.任意橫截面n-n上C點的應力分析由FN產(chǎn)生的正應力由my

產(chǎn)生的正應力由mz

產(chǎn)生的正應力組合變形時的強度計算公式假設C點在第一象限內(nèi),根據(jù)桿件的變形可知,均為拉應力，由疊加原理，即得C點處的正應力為：任意橫截面n-n上的C點的正應力為式中：A為橫截面面積；Iy,Iz

分別為橫截面對y軸和z軸的慣性矩。式中：iy,iz

分別為橫截面對y軸和z軸的慣性半徑。c所以組合變形時的強度計算公式4.中性軸的確定上式是一個平面方程。表明正應力在橫截面上按線性規(guī)律變化。應力平面與橫截面的交線（直線

=0）就是中性軸。令y0,z0

代表中性軸上任一點的坐標，即得中性軸方程。討論:（1）在偏心拉伸（壓縮）情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線。組合變形時的強度計算公式（2）用

ay

和az

記中性軸在y,z兩軸上的截距，則有（3）中性軸與外力作用點分別處于截面形心的相對兩側(cè)。（4）中性軸將橫截面上的應力區(qū)域分為拉應力區(qū)域和壓應力區(qū)域。橫截面上最大拉應力和最大壓應力分別為D1,D2

兩切點。組合變形時的強度計算公式（5）對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在截面的棱角處，并可根據(jù)桿件的變形來確定。例如：橫截面是矩形截面時，與各內(nèi)力分量相對應的正應力變化規(guī)律分別如上圖所示。最大拉應力

t,max

和最大壓應力

c,min分別在截面的棱角處。無需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險點的位置即可。組合變形時的強度計算公式由于危險點處仍為單軸應力狀態(tài)，因此，求得最大正應力后，建立的強度條件為5.強度條件組合變形時的強度計算公式【例8-3】下圖所示為一夾具。在夾緊零件時,夾具受到的外力為P=2kN。已知：外力作用線與夾具豎桿軸線間的距離為

e=60mm，豎桿橫截面的尺寸為b=10mm，h=22mm,材料許用應力[]=170MPa。試校核此夾具豎桿的強度。解:(1)外力P向豎桿軸線平移，如圖?？芍Q桿發(fā)生拉彎組合變形。(2)豎桿任一橫截面n-n上的內(nèi)力軸力，彎矩(3)強度分析

豎桿的危險點在橫截面的內(nèi)側(cè)邊緣處，該處對應與軸力和彎矩的正應力同號，都是拉應力。危險點處的正應力為所以強度是安全組合變形時的強度計算公式【例8-4】矩形截面柱如圖所示。P1的作用線與桿軸線重合，P2作用在y軸上。已知，P1=P2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m截面只出現(xiàn)壓應力，求P2的偏心距e。解：1、將力P2向截面形心簡化，梁上的外力有軸向壓力：力偶矩2、軸力產(chǎn)生壓應力：彎矩產(chǎn)生的最大正應力3、橫截面上不產(chǎn)生拉應力的條件為解得：e=10cm組合變形時的強度計算公式二.截面核心由公式：；其中：為外力作用點的坐標

為中性軸的截距

由中性軸的性質(zhì)知道，力F的作用點越靠近坐標原點，中性軸離坐標原點越遠。當中性軸與圖形相切或遠離圖形時，整個圖形上將只有拉應力或只有壓應力。

組合變形時的強度計算公式

當外力作用點位于包括截面形心的一個區(qū)域內(nèi)時，就可以保證中性軸不穿過橫截面，這個區(qū)域就稱為截面核心。當外力作用在截面核心的邊界上時，與此相應的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。1、截面核心定義2、作截面核心步驟：（1）作截面周邊的任一切線①，將其看作中性軸，它在y,z

兩個形心主慣性軸上的截距分別為和（2）根據(jù)和可求得對應的外力作用點1，亦即截面核心邊界上一個點的坐標組合變形時的強度計算公式（3）同理，分別作切線②、③、等，求得對應的截面核心邊界上點

2、3、

等點的坐標。（4）連接1、2、3、

等點，得到的一條封閉曲線，該曲線所含面積，即為截面核心。結(jié)論：I、與z軸平行的中性軸所對應的外力作用點一定在y軸上。與y軸平行的中性軸所對應的外力作用點一定在z軸上。II、設B點的坐標為是這一系列中性軸所共有的，將其代入中性軸方程得：這是表示外力作用點坐標的直線方程。當中性軸繞B點旋轉(zhuǎn)時，相應的外力作用點移動的軌跡是一條連結(jié)點1，2的直線。組合變形時的強度計算公式3、矩形截面的截面核心確定（1）作切線①，得兩截距分別為矩形截面的對應的核心邊界上點1的坐標為（2）分別作中性軸②、③、④，對應的截面核心邊界上的點2、3、4的坐標依次為：

中性軸①繞B點到中性軸②。因此，相應的外力作用點的軌跡是一條連結(jié)點1、2的直線。同理，將1、2、3、4點中相鄰的兩點連以直線，即得矩形截面的截面核心。組合變形時的強度計算公式結(jié)論：I、對于具有棱角的截面，均可按上述方法確定截面核心II、對于周邊有凹進部分的截面（如T字形截面），不能取與凹進部分的周邊相切的直線作為中性軸，因為這種直線穿過橫截面截面核心邊界是一個以o為圓心，以為半徑的圓圓截面的截面核心組合變形時的強度計算公式【例8-5】試確定圖示T字形截面的截面核心。圖中y,z

兩軸為截面的形心主慣性軸。（1）求截面的有關(guān)幾何性質(zhì)

組合變形時的強度計算公式組合變形時的強度計算公式（2）列表求出各值中性軸編號對應的截面核心邊界上的點中性軸的截距（m）核心邊界上點的坐標值(m)①10.45-0.1020②2-0.400.2③3-0.450.1020④4-0.451.080.102-0.074⑤50.60-0.133⑥60.451.08-0.102-0.074組合變形時的強度計算公式研究對象：圓截面桿受力特點：桿件同時承受外力偶矩和橫向力作用。變形特點：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。研究內(nèi)容：桿件發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲組合變形時的強度計算?！?-5扭轉(zhuǎn)與彎曲1.外力分析

設一直徑為

d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂，受力P作用。分析圓桿AB的強度。

將力P

向

AB桿右端截面的形心B簡化得橫向力P（引起平面彎曲），力偶矩m=Pa（引起扭轉(zhuǎn)）。故AB桿發(fā)生彎扭組合變形。組合變形時的強度計算公式2.研究AB桿的內(nèi)力畫內(nèi)力圖如圖示，可知固定端為危險截面。組合變形時的強度計算公式3.應力分析

危險截面上的最大彎曲正應力

發(fā)生在鉛垂直徑的上、下兩端點C1

、C2

處。最大扭轉(zhuǎn)剪應