壽險精算(第一章)

第一部分生存模型和多元衰減模型第一章單生命生存模型第二章多生命生存模型第三章多元衰減模型大意梗概：人壽保險是以人的壽命、身體或健康為保險標的（指具體的保險目標）的保險，因此，研究人的壽命的延續(xù)規(guī)律是制定保險保費的重要基礎(chǔ)。人的壽命往往是不確定的，可以看作隨機變量，因此，用概率統(tǒng)計方法研究壽命是普遍方法。本部分分上述三章來介紹：單生命生存規(guī)律和多個單生命組成的群體的生存規(guī)律；這些規(guī)律決定保險產(chǎn)品的定價、準備金的提取、養(yǎng)老金方案設(shè)計、退保、各項費率厘定等壽險環(huán)節(jié)。本教材的特點：先基礎(chǔ)后實踐、先分類介紹基本的一般模型，使初學(xué)者容易把握壽險總體規(guī)律，避免一開始就陷入具體復(fù)雜的保險細節(jié)和精算公式的推導(dǎo)等計算問題，迷失方向。后在一般模型基礎(chǔ)上介紹幾類常見精算問題及其精算公式。第一章單生命生存模型1.2.生存分布(或生存函數(shù)):用X表示一個剛降生的生命體(個體)的壽命,它是隨機變量,有其特定的連續(xù)分布函數(shù)和密度函數(shù),分別記為F和f.K(0)---該個體生存的整年數(shù),即[X];S(0)---X的小數(shù)部分,則X=K(0)+S(0)稱函數(shù)s(t)=P(X>t),t>=0為壽命X的生存函數(shù)或生存分布.它表示個體活過t歲的概率。生存函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系：

（生命體的）死亡力：一個活到某歲的個體恰在此年齡死亡的概率(瞬時死亡概率).結(jié)論與例子：結(jié)論1.2.1生存函數(shù)s(t)和密度函數(shù)f(t)可用死亡力來表示:證明：由于

故存在常數(shù)C,滿足

由死亡力的定義可得

將上式代入此等式，即得結(jié)論中的第二個等式。例1.2.1設(shè)密度函數(shù)

計算生存函數(shù)和死亡力。解：

死亡力與生存分布之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。例1.2.2設(shè)生存分布為其中為參數(shù)。求死亡力定義：前者是新生兒壽命的期望，后者是新生兒的生存整年數(shù)的期望。結(jié)論1.2.2上述兩個期望與生存函數(shù)有如下關(guān)系：例1.2.3在例1.2.1的假設(shè)下計算新生兒壽命的期望和壽命變量的二階原點矩。解：常見死亡力函數(shù):（1）deMoivre（1729）死亡力；（2）Gompertz(1825)死亡力；（3）Makeham(1860)死亡力；（4）Weibull(1939)死亡力。詳見教材（楊靜平編著）表1.1.說明,可以借助計算機技術(shù)處理表達式更為復(fù)雜的死亡力;上述死亡力在實務(wù)中已較少使用,但由于其表達簡便,易于得到具有實際指導(dǎo)意義的理論結(jié)果.1.3.X歲個體的生存分布:(x)表示x歲的個體,這里x為整數(shù).個體(x)的未來生存時間(即x歲后存活的時間-余壽)是一隨機變量,記為T(x).T(x)=X-x,其中X表示該個體的壽命,即最大生存時間.T(x)=K(x)+S(x),或T=K+S,T的分布函數(shù)、密度、生存函數(shù)。基本計算公式:1)2)T(x)的死亡力X與T(x)的分布、密度、生存、死亡函數(shù)的關(guān)系結(jié)論1.3.1證明：根據(jù)死亡力的定義，還可證明：由于例1.3.1設(shè)新生兒壽命X的密度函數(shù)為求X歲的個體又生存了t年時,年齡為x+t歲,該個體與其他年齡為x+t的個體的生存分布之間的關(guān)系:定理1.3.2.假設(shè)個體的年齡及是否死亡為已知,個體的其他信息均未告知.x歲的個體生存了t年后,其再繼續(xù)生存時間的分布和x+t歲的個體的未來生存時間的分布相同,即國際精算協(xié)會采用的表示概率的符號-------精算表示法::(x)活過年齡x+t歲的概率,即(x)至少再活t年的概率：:(x)未來t年內(nèi)死亡的概率：

:(x)在年齡段(x+u,x+u+t]死亡的概率,即(x)活過x+u歲,并在接下來的t年內(nèi)死亡的概率：t=1時,簡化表示:結(jié)論1.3.3(1)(2)對t>0,u>0,(3)對0<h<t,(4)證明：（1）（2）(3)例1.3.3已知生存函數(shù)計算解:

(x)的未來生存時間的期望;

(x)的未來生存整年數(shù)的期望.結(jié)論1.3.4.(1)(2)(3)1.4隨機生存群和確定生存群封閉的生存群體:無遷出和遷入,無生育1.4.1隨機生存群:個個體,壽命為服從共同的生存分布

,:該群體活到x歲的期望人數(shù),實際活到x歲的人數(shù).為群體在年齡段[x,x+t)死亡人數(shù)的期望.結(jié)論1.4.1存在下列關(guān)系:(2)的第一式說明在x歲死亡的“人數(shù)”等于在此年齡活著的人數(shù)乘以在此時的死亡力.(2)的第三式表明在年齡段[x,x+n)死亡個體的總數(shù)目.例1.4.1例1.4.21.4.2確定生存群依次假設(shè)第一年,第二年,…,第x年的死亡比例,得出活過x歲的人數(shù)計算公式.特點:用死亡比例替代死亡概率,計算簡便,易于掌握.確定生存群與確定投資收益的現(xiàn)金流相似.(表1.2)例1.4.3(30年內(nèi)1000人群體的人數(shù)變化與基金額的變化)1.4.3例子—隨機生存群的合理性例1.4.4一隨機生存群,由兩個子群體組成.分別為:(1)1600個新生兒;(2)10歲的540個個體.群體中的個體服從下列的生存分布:令Y1,Y2分別表示兩個子群體活過70歲的個體總數(shù).試求,使得解：本題實際上是求分布的分位點c的問題。為此，應(yīng)首先考慮兩個子群中活過70歲的總?cè)藬?shù)變量服從什么分布？由于個體的數(shù)量較多，可以利用中心極限定理來近似其分布。令表示1600個新生兒的未來生存時間，表示540個10歲個體的未來生存時間，則為了求出中心極限定理中的獨立隨機變量和的標準化變量，必須先計算上述和變量的期望和方差?？汕蟮茫悍讲顬橛芍行臉O限定理可得Y_1+Y_2近似服從正態(tài)分布，即查標準正態(tài)分布表可知所以，由期望生存人數(shù)還可以直接計算未來生存整年數(shù)的期望e_x,1.5生命表1.5.1一些函數(shù)(生命表的構(gòu)造及人口理論中常使用的變量):中心死亡率:定義令結(jié)論1.5.1中心死亡率和a(x)滿足結(jié)論1.5.2a(x)表示在年齡段[x,x+t）死亡的個體在此年齡段內(nèi)生存時間的期望；tLx表示生存群中的所有個體在年齡段[x,x+t）總生存時間的期望；Tx表示活到x歲的lx個個體的未來生存時間的期望。例1.5.1證明:1.5.2生命表簡介根據(jù)觀察到的死亡記錄構(gòu)造在每一年齡死亡和生存概率的列表，它給出某一整數(shù)年齡的一群個體在未來死亡和生存人數(shù)的變化情況。（這里死亡率只與年齡有關(guān)）生命表的分類：我國編制的生命表（1990-1993）例1.5.21.6分數(shù)年齡上的分布假設(shè)T(x)=K(x)+S(x),K(x)分布由生命表,S(x)的分布無法由生命表….1.6.1UniformDistributionofDeath(UDD)假設(shè),或線性插值假設(shè):s(x+t)=(1-t)s(x)+ts(x+1).結(jié)論1.6.1[x,x+1),UDD成立,0<t<1,則(1).(2).結(jié)論1.6.2已知在每一年齡年UDD成立,則K(x)與S(x)相互獨立,且S(x)服從[0,1]上的均勻分布.例1.6.1,例1.6.2,例1.6.31.6.2常數(shù)死亡力假設(shè)及Balducci假設(shè):結(jié)論1.6.3常數(shù)死亡力假設(shè)成立,則(1)期望生存人數(shù)滿足(2)死亡力為常數(shù),即(3)結(jié)論1.6.4[x,x+1),Balducci假設(shè)成立,則(1)(2)注:由于在UDD假設(shè)下不僅可以得到S(x)服從[0,1]均勻分布,同時又有K(x)與S(x)獨立,所以現(xiàn)實中常用這一假設(shè)討論分數(shù)年齡的問題.1.7選擇生命表與終極生命表選擇表的由來:1).核保是必要的;2)核保后群體的死亡率低于未核保的群體死亡率;3)同齡人因投保年齡不同而導(dǎo)致死亡概率有差異:4)差異的消失點r—選擇期r.*終極表的由來: