知識(shí)點(diǎn)12一元二次方程

一、選擇題1.（2019廣西省貴港市，題號(hào)7，分值3分）若，是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，則等于A． B． C．2 D．3【答案】．【解析】解：，是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，，，，；故選：．【知識(shí)點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系2.（2019貴州遵義，8，4分）一元二次方程x2-3x+1=0的兩個(gè)根為x1,x2,則x12+3x2+x1x2-2的值是(A)10(B)9(C)8(D)7【答案】D【解析】因?yàn)閤2-3x+1=0的兩個(gè)根為x1,x2,所以x12=3x1-1,x1+x2=3,x1x2=1,所以x12+3x2+x1x2-2=3x1-1+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3=7，所以選D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系3.（2019湖北仙桃，7，3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，則α2+β2的值為（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【答案】A【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系4.（2019湖北咸寧，6，3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1【答案】【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有實(shí)數(shù)根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式5.（2019湖南郴州，5，3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情況為（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中，△＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式6.（2019湖南湘西，13，4分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判斷【答案】C【解析】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴此方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：C．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式7.(2019內(nèi)蒙古包頭市，10題，3分)已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，4，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的兩根，則m的值是（）A.34 或34 或36【答案】A.【解題過程】解：分兩種情況討論：若4為等腰三角形底邊長(zhǎng)，則a，b是兩腰，∴方程x2-12x+m+2=0有兩個(gè)相等實(shí)根，∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,∴m=34.此時(shí)方程為x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.∴三邊為6，6，4，滿足三邊關(guān)系，符合題意.若4為等腰三角形腰長(zhǎng)，則a，b中有一條邊也為4，∴方程x2-12x+m+2=0有一根為4.∴42-12×4+m+2=0，解得，m=30.此時(shí)方程為x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.∴三邊為4，4，8，不滿足三邊關(guān)系，故舍去.綜上，m的值為34.故選A.【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形性質(zhì)，一元二次方程的解，分類討論思想.8.（2019湖北荊州，6，3分）若一次函數(shù)y＝kx+b的圖象不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程x2+kx+b＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】A【解析】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象不經(jīng)過第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題1.（2019湖北十堰，14，3分）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝．【答案】﹣3或4【解析】解：根據(jù)題意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案為﹣3或4．【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法2.（2019寧夏，12，3分）已知一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，即，解得，所以的取值范圍是．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．3.（2019寧夏，16，3分）你知道嗎，對(duì)于一元二次方程，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方程：即為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽（公元3~4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，據(jù)此易得.那么下面右邊三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）中，能夠說明方程的正確構(gòu)圖是(只填序號(hào))．第第16題圖【答案】②【思路分析】通過類比的思想，結(jié)合圖形的面積，進(jìn)行合情推理通，從而得到答案．【解題過程】通過例（方程：即），可以發(fā)現(xiàn)，首先，需將方程變形為構(gòu)造的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該為，所以可得方程，所以，據(jù)此易得，所以圖中四個(gè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該為6和2，只有構(gòu)圖②符合要求．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程、整式的化簡(jiǎn)與因式分解、類比的數(shù)學(xué)思想方法、古代中國(guó)數(shù)學(xué)史．4.（2019吉林長(zhǎng)春，11，3分）一元二次方程x2-3x+1=0根的判別式的值為.【答案】5．【解析】解：∵a=1，b=-3，c=1，

∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5，

故答案為5．【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式.5.（2019吉林省，10，3分）若關(guān)于x的一元二次方程（x+3)2=c有實(shí)數(shù)根，則c的值可以為（寫出一個(gè)即可）【答案】答案不唯一，例如5，（c≥0時(shí)方程都有實(shí)數(shù)根）【解析】c≥0時(shí)方程都有實(shí)數(shù)根【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的情況6.（2019·江蘇鎮(zhèn)江，9，2）若關(guān)于x的方程x2－2x＋m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值等于．【答案】1．【解析】本題考查了一元二次方程的根判別式定理，由原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得△＝(－2)2－4×1×m＝0，解得m＝1，因此本題答案為1．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根判別式7.（2019廣西桂林，15，3分）一元二次方程的根是．【答案】，【解析】解：或，所以，．故答案為，．【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程因式分解法8.（2019湖南邵陽，16，3分）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的最小整數(shù)值是．【答案】0【解析】解：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△，；故答案為0；【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式9.（2019江蘇鎮(zhèn)江，9，2分）若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值等于．【答案】1【解析】解：根據(jù)題意得△，解得．故答案為1．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式10.（2019四川瀘州，15，3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)根，則（x1+4）（x2+4）的值是．【答案】16【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，∴（x1+4）（x2+4）＝x1x2+4x1+4x2+16＝x1x2+4（x1+x2）+16＝﹣4+4×1+16＝﹣4+4+16＝16，故答案為：16．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系11.（2019江蘇徐州，11，3分）【答案】x1=2，x2=-2.【解析】本題解答時(shí)利用直接開平方根進(jìn)行求解.解：∵x2-4=0，∴x2=4，∴x1=2，x2=-2.【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答題1.(2019黑龍江綏化,23題,6分)已知關(guān)于x的方程kx2－3x+1＝0有實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,分別為x1和x2,當(dāng)x1+x2+x1x2＝4時(shí),求k的值.【思路分析】(1)根據(jù)根的判別式列出不等式,即可求得k的范圍;(2)由根與系數(shù)的關(guān)系,得到方程,即可解得k的值.【解題過程】(1)當(dāng)k＝0時(shí),方程是一元一次方程,有實(shí)數(shù)根,符合題意;當(dāng)k≠0時(shí),方程是一元二次方程,由題意得＝9－4k≥0,∴k≤,綜上所述,k的取值范圍是k≤.(2)∵x1和x2是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴x1+x2＝,x1x2＝,∵x1+x2+x1x2＝4,∴+＝4,解得k＝1,經(jīng)檢驗(yàn),k＝1是原分式方程的解,且1≤,∴k的值為1.【知識(shí)點(diǎn)】根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,分式方程2.（2019湖北十堰，21，7分）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求a的取值范圍；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a為整數(shù)，求a的值．【思路分析】（1）根據(jù)根的判別式，可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值范圍；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，用a表示出兩根積、兩根和，由已知條件可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值范圍，再求其值即可．【解題過程】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥-32∴a的值為﹣1，0，1．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系3.（2019湖北孝感，21，10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）若a為正整數(shù)，求a的值；（2）若x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．【思路分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到結(jié)論．【解題過程】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a為正整數(shù)，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式4.（2019北京市，19題，5分）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．【思路分析】先由原一元二次方程有實(shí)數(shù)根得判別式進(jìn)而求出m的范圍；結(jié)合m的值為正整數(shù)，求出m的值，進(jìn)而得到一元二次方程求解即可.【解題過程】解：∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，∴∴又∵m為正整數(shù)，∴m=1，此時(shí)方程為解得根為，∴m=1，此方程的根為【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式、5.（2019江蘇徐州，25，8分）【思路分析】根據(jù)題目給定的相等關(guān)系，列出一元二次方程，解這個(gè)方程取舍后得出實(shí)際問題的解.【解題過程】解：設(shè)剪去的小