知識點31平行四邊形

一、選擇題1.（2019廣西河池，T7，F(xiàn)3分）如圖，在中，，分別是，的中點，點在延長線上，添加一個條件使四邊形為平行四邊形，則這個條件是A． B． C． D．【答案】．【解析】解：在中，，分別是，的中點，是的中位線，．、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項錯誤．、根據(jù)可以判定，即，由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形為平行四邊形，故本選項正確．、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項錯誤．、根據(jù)，不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項錯誤．故選：．【知識點】平行四邊形的判定；三角形中位線定理2.(2019海南,11題,3分)如圖,在ABCD中,將△ADC沿AC折疊后,點D恰好落在DC的延長線上的點E處,若∠B＝60°,AB＝3,則△ADE的周長為() B.15 C.18 D.21第11題圖【答案】C【解析】∵折疊后點D恰好落在DC的延長線上的點E處,∴AC⊥DE,EC＝CD＝AB＝3,∴ED＝6,∵∠B＝60°,∴∠D＝60°,∴AD＝2CD＝6,∴AE＝6,∴△ADE的周長＝AE+AD+ED＝18,故選C.【知識點】折疊,三角函數(shù),平行四邊形3.（2019年廣西柳州市，7，3分）如圖，ABCD中，全等三角形的對數(shù)共有（）A．2對B．3對C．4對D．5對【答案】C【解析】：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC；OD=OB，OA=OC；∵OD=OB，OA=OC，∠AOD=∠BOC；∴△AOD≌△COB（SAS）；①同理可得出△AOB≌△COD（SAS）；②∵BC=AD，CD=AB，BD=BD；

∴△ABD≌△CDB（SSS）；③同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．④因此本題共有4對全等三角形．故選：C．【知識點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定4.（2019四川瀘州，8，3分）四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，下列四組條件中，一定能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【答案】B【解析】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；故選：B．【知識點】平行四邊形的性質；平行四邊形的判定5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題1.（2019廣西北部灣，18，3分）如圖，AB與CD相交于點O，AB=CD，∠AOC=60°，∠ACD+∠ABD=210°，則線段AB、AC、BD之間的等量關系為.【答案】AB2=AC2+BD2．【思路分析】本題考查了勾股定理、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的性質、四邊形內角和等知識，過點A作AE∥CD，截取AE=CD，連接BE、DE，則四邊形ACDE是平行四邊形，得出DE=AC，∠ACD=∠AED，證明△ABE為等邊三角形得出BE=AB，求得∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=90°，由勾股定理得出BE2=DE2+BD2，即可得出結果．【解題過程】解：過點A作AE∥CD，截取AE=CD，連接BE、DE，如圖所示：

則四邊形ACDE是平行四邊形，

∴DE=AC，∠ACD=∠AED，

∵∠AOC=60°，AB=CD，

∴∠EAB=60°，CD=AE=AB，

∴△ABE為等邊三角形，

∴BE=AB，

∵∠ACD+∠ABD=210°，

∴∠AED+∠ABD=210°，

∴∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=360°-210°-60°=90°，

∴BE2=DE2+BD2，

∴AB2=AC2+BD2；

故答案為AB2=AC2+BD2．【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；平行線的性質；四邊形內角和.2.（2019黑龍江省龍東地區(qū)，3，3）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件________，使四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】答案不唯一，AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°等.【解析】根據(jù)平行四邊形的判定方法填上一個合適的條件即可.【知識點】平行四邊形的判定方法3.（2019廣西梧州，16，3分）如圖，中，，于點，于點，與交于點，則度．【答案】61【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，則，，，．故答案為：61．【知識點】平行四邊形的性質4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答題1.（2019湖南郴州，19，6分）如圖，?ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF．求證：四邊形ACDF是平行四邊形．【思路分析】利用平行四邊形的性質，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根據(jù)CD∥AF，即可得出四邊形ACDF是平行四邊形；【解題過程】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE（ASA），∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四邊形ACDF是平行四邊形．【知識點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質2.（2019年廣西柳州市，22，8分）平行四邊形的其中一個判定定理是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．請你證明這個判定定理．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：【思路分析】連接AC，由SSS證明△ABC≌△CDA得出∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，證出AB∥CD，BC∥AD，即可得出結論．【解題過程】連接AC，如圖所示：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【知識點】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質3.（2019吉林省，18，5分）如圖，在ABCD中，點E在邊AD上，以C為圓心，AE長為半徑畫弧，交邊BC于點F，連接BE，DF求證：△ABE≌△CDF【思路分析】由作圖可知，AE=CF，有平行四邊形的性質可知對邊相等，對角相等，由SAS可以證明兩個三角形全等.【解題過程】解：由題意得AE=FC∵ABCD，∴AB=DC，∠A=∠C在△ABE和△CDF中，AE=CF,∠A=∠C,AB=DC，∴△ABE≌△CDF【知識點】平行四邊形的性質，三角形的全等4.（2019·江蘇常州，21，8）如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點C落在處，與AD相交于點E．（1）連接，則與BD的位置關系是_________；（2）EB與ED相等嗎?證明你的結論．第第21題圖【思路分析】本題考查了折疊、平行四邊形的性質、平行線的判定、等腰三角形的判定等知識點，連接，從圖形上容易看出并證明四邊形是等腰梯形，故∥BD．由折疊（軸對稱性質）及平行四邊形的性質、等角對等邊可證明EB＝ED．第第21題答圖【解題過程】解：（1）∥BD；（2）EB＝ED．理由如下：由折疊可知∠CBD＝∠EBD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠CBD＝∠EDB．∴∠EBD＝∠EDB．∴EB＝ED．【知識點】折疊；平行四邊形的性質；平行線的判定；等腰三角形的判定5.（2019·江蘇鎮(zhèn)江，20，6）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E、F分別在AD、BC上，AE＝CF，過點A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H．（1）求證：△AGE≌△CHF；（2）連接AC，線段GH與AC是否互相平分？請說明理由．第第20題圖【思路分析】本題考查了三角形的全等的判定，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是掌握全等三角形判定的方法和平行四邊形的判定和性質．（1）利用角角邊進行證明；（2）連接CG、AC、AH，通過證明四邊形AHCG為平行四邊形來證明AC、HG互相平分．【解題過程】（1）∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE．∴∠AEG＝∠CFH．∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠AGE＝∠CHF＝90°．又∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（AAS）．（2）線段GH與AC互相平分，理由如下：如答圖，連接CG、AC、AH．第第20題答圖∵△AGE≌△CHF，∴AG＝CH．∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴AG∥CH．∴四邊形AHCG是平行四邊形．∴AC、HG互相平分．【知識點】三角形的全等的判定；平行四邊形的判定和性質6.（2019遼寧本溪，21，12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B=45°，延長CD到點E，使DE=DA，連接AE.（1）求證：AE=BC；（2）若AB=3，CD=1，求四邊形ABCE的面積.【思路分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質以及面積計算.（1）根據(jù)AD⊥CD，AB∥CD以及AD=DE可得∠DAE=45°，進而得出AE∥BC，進而得出四邊形ABCE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質即可得出結論；（2）由（1）可得AB=CE，進而得出DE的長，進而得出AD的長，根據(jù)平行四邊形的面積計算公式即可得出答案.【解題過程】（1）證明：∵AD⊥CD，AB∥CD，∴∠ADE=∠DAB=90°.∵AD=DE，∴∠E=∠DAE=45°，∴∠EAB=135°.∵∠B=45°，∴∠B+∠EAB=180°，∴AE∥BC，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴AE=BC.（2）解：由（1）知AB=CE，∵CD=1，AB=3，∴DE=2.∵AD=DE，∴AD=2，∴S四邊形ABCE=3×2=6.【知識點】平行四邊形的判定與性質；面積計算.7.（2019遼寧本溪，25，12分）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A＜∠ABC，D是AC邊上一點，且DA=DB，O是AB的中點，CE是△BCD的中線.（1）如圖a，連接OC請直接寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關系；（2）點M是射線EC上的一個動點，將射線OM繞點O逆時針旋轉的射線ON，使∠MON=∠ADB，ON與射線CA交于點N.①如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關系；②若∠BAC=30°，BC=m，當∠AON=15°時，請直接寫出線段ME的長度（用含m的代數(shù)式表示）【思路分析】本題考查了直角三角形斜邊中線定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識.結論：∠ECO=∠OAC．理由直角三角形斜邊中線定理，三角形的中位線定理解決問題即可．

（2）①只要證明△COM≌△AON（ASA），即可解決問題．

②分兩種情形：如圖3-1中，當點N在CA的延長線上時，如圖3-2中，當點N在線段AC上時，作OH⊥AC于H．分別求解即可解決問題．【解題過程】解：（1）結論：∠ECO=∠OAC．

理由：如圖1中，連接OE．

∵∠BCD=90°，BE=ED，BO=OA，

∵CE=ED=EB=BD，CO=OA=OB，

∴∠OCA=∠A，

∵BE=ED，BO=OA，

∴OE∥AD，OE=AD，

∴CE=EO．

∴∠EOC=∠OCA=∠ECO，

∴∠ECO=∠OAC．

故答案為：∠OCE=∠OAC．

（2）如圖2中，

∵OC=OA，DA=DB，

∴∠A=∠OCA=∠ABD，

∴∠COA=∠ADB，

∵∠MON=∠ADB，

∴∠AOC=∠MON，

∴∠COM=∠AON，

∵∠ECO=∠OAC，

∴∠MCO=∠NAO，

∵OC=OA，

∴△COM≌△AON（ASA），

∴OM=ON．

②如圖3-1中，當點N在CA的延長線上時，

∵∠CAB=30°=∠OAN+∠ANO，∠AON=15°，

∴∠AON=∠ANO=15°，

∴OA=AN=m，

∵△OCM≌△OAN，

∴CM=AN=m，

在Rt△BCD中，∵BC=m，∠CDB=60°，

∴BD=m，

∵BE=ED，

∴CE=BD=m，

∴EM=CM+CE=m+m．

如圖3-2中，當點N在線段AC上時，作OH⊥AC于H．

∵∠AON=15°，∠CAB=30°，

∴∠ONH=15°+30°=45°，

∴OH=HN=m，

∵AH=m，

∴CM=AN=m-m，

∵EC=m，

∴EM=EC-CM=m-(m-m)=m-m，

綜上所述，滿足條件的EM的值為m+m或m-m.【知識點】直角三角形斜邊中線定理；三角形中位線定理；全等三角形的判定和性質；解直角三角形.8.（2019江蘇常州，21，8分）如圖，把平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點C落在點C′處，BC′與AD相交于點E．（1）連接AC′，則AC′與BD的位置關系是；（2）EB與ED相等嗎？證明你的結論．【思路分析】（1）根據(jù)AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根據(jù)三角形內角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，進而得出AC'∥BD；（2）依據(jù)平行線的性質以及折疊的性質，即可得到∠EDB＝∠EBD，進而得出BE＝DE．【解題過程】解：（1）連接AC′，則AC′與BD的位置關系是AC′∥BD，故答案為：AC′∥BD；（2）EB與ED相等．由折疊可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【知識點】平行四邊形的性質；翻折變換（折疊問題）9.（2019江蘇鎮(zhèn)江，20，6分）如圖，四邊形中，，點、分別在、上，，過點、分別作的垂線，垂足為、．（1）求證：；（2）連接，線段與是否互相平分？請說明理由．【思路分析】（1）由垂線的性質得出，，由平行線的性質和對頂角相等得出，由即可得出；（2）連接、，由全等三角形的性質得出，證出四邊形是平行四邊形，即可得出結論．【解題過程】解：（1）證明：，，，，，，，，，在和中，，；（2）解：線段與互相平分，理由如下：連接、，如圖所示：由（1）得：，，，四邊形是平行四邊形，線段與互相平分．【知識點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；平行線的性質10.（2019內蒙古赤峰，20，10分）已知：AC是?ABCD的對角線．（1）用直尺和圓規(guī)作出線段AC的垂直平分線，與AD相交于點E，連接CE．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周長．【思路分析】（1）利用基本作圖作AC的垂直平分線得到E點；（2）利用平行四邊形的性質得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，再根據(jù)線段垂直平分線上的性質得到EA＝EC，然后利用等線段代換計算△DCE的周長．【解題過程】解：（1）如圖，CE為所作；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∵點E在線段AC的垂直平分線上，∴EA＝EC，∴△DCE