空間幾何體的表面積和體積

空間幾何體的表面積和體積內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析思想與方法系列思想方法感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)1.多面體的表(側(cè))面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是

，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.所有側(cè)面的面積之和2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺側(cè)面

展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝

S圓錐側(cè)＝

S圓臺側(cè)＝

2πrlπrlπ(r1＋r2)l知識梳理1答案3.柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱

幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝

錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝球S＝

V＝4πR2Sh答案4.常用結(jié)論(1)與體積有關(guān)的幾個結(jié)論①一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.②底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.(2)幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論a.正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝

a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝

a.c.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和.(

)(2)錐體的體積等于底面積與高之積.(

)(3)球的體積之比等于半徑比的平方.(

)(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.(

)(5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球.(

)(6)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(

)√××√××思考辨析答案1.(教材改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(

)A.1cm B.2cmC.3cm D.cm解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).B考點自測2解析答案123452.(2014·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A.12 B.18C.24 D.30解析答案12345解析由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和側(cè)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的.在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示.解析答案故幾何體ABC－PA1C1的體積為30－6＝24.故選C.答案C解析答案3.(教材改編)一個棱長為2cm的正方體的頂點都在球面上，則球的體積為________cm3.解析由題意知正方體的體對角線為其外接球的直徑，12345解析答案4.(2015·陜西)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(

)A.3π B.4πC.2π＋4 D.3π＋412345解析由三視圖可知原幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，則表面積為：＝π＋2π＋4＝3π＋4.答案D解析答案5.(2015·天津)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.12345解析由三視圖可知，該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成，底面半徑為1m，圓錐的高為1m，圓柱的高為2m，返回題型分類

深度剖析例1(1)(2015·安徽)一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(

)解析答案求空間幾何體的表面積題型一解析由幾何體的三視圖可知空間幾何體的直觀圖如圖所示.答案C(2)(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r等于(

)A.1 B.2C.4 D.8解析答案解析由正視圖與俯視圖想象出其直觀圖，然后進行運算求解.如圖，該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B.答案B(3)(2014·山東)一個六棱錐的體積為

，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為____.解析

設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′.∴h＝1，12解析答案思維升華空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.思考升華

(2014·安徽)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(

)跟蹤訓(xùn)練1解析答案解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示.答案A命題點1求以三視圖為背景的幾何體的體積例2(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(

)求空間幾何體的體積間的基本關(guān)系題型二解析答案解析如圖，由題意知，該幾何體是正方體ABCD-A1B1C1D1被過三點A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分為三棱錐A-A1B1D1，設(shè)正方體的棱長為1，解析答案則截去部分體積與剩余部分體積的比值為答案D命題點2求簡單幾何體的體積解析答案思維升華解析

過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，答案C思維升華空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.思維升華(1)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的體積等于(

)跟蹤訓(xùn)練2解析答案解析

由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱，底面為直角三角形，高為12，如圖所示，其中AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，則AB＝10.由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時，該球的半徑最大.答案B(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(

)解析答案∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC答案A例4已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(

)與球有關(guān)的切、接問題題型三解析答案解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.答案C引申探究1.本例若將直三棱柱改為“棱長為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？解由題意可知，此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑，正方體的棱長即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r.解析答案2.本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？解析答案3.本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長都是

的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.解析答案思維升華思維升華空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為(

)跟蹤訓(xùn)練3解析答案解析由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為△ABC所在圓面的直徑，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圓圓心N是BC的中點，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中點.設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x，返回答案C思想與方法系列典例如圖：△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5.則此幾何體的體積為________.思維點撥將所求幾何體補成一個直三棱柱，利用棱柱的體積公式即可求得該幾何體的體積.思想與方法系列14.巧用補形法解決立體幾何問題思維點撥解析答案溫馨提醒返回解析

用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，答案96溫馨提醒返回(1)補形法的應(yīng)用思路：“補形法”是立體幾何中一種常見的重要方法，在解題時，把幾何體通過“補形”補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積等問題，常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形，對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”.(2)補形法的應(yīng)用條件：當(dāng)某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，且求解的問題直接求解較難入手時，常用該法.返回溫馨提醒思想方法

感悟提高求空間幾何體的側(cè)面積、體積的思想與方法(1)轉(zhuǎn)化與化歸思想：計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.(2)求體積的兩種方法：①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決.②等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值.方法與技巧求空間幾何體的表面積應(yīng)注意的問題(1)求組合體的表面積時，要注意各幾何體重疊部分的處理.(2)底面是梯形的四棱柱側(cè)放時，容易和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義，以防出錯.失誤與防范返回練出高分12345678910111213141.(2015·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是(

)15解析答案1234567891011121314解析由三視圖可知該幾何體是由棱長為2cm的正方體與底面為邊長為2cm正方形、高為2cm的四棱錐組成，V＝V正方體＋V四棱錐＝8cm3＋cm3＝cm3.故選C.15答案C2.用平面α截球O所得截面圓的半徑為3，球心O到平面α的距離為4，則此球的表面積為(

)123456789101112131415解析依題意，設(shè)球半徑為R，滿足R2＝32＋42＝25，∴S球＝4πR2＝100π.D解析答案1234567891011121314153.(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(

)A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛解析答案123456789101112131415答案B4.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是菱形，則該幾何體的側(cè)面積為(

)123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析由三視圖還原為空間幾何體，如圖所示，又PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BD，PB⊥AB，從而有PA2＋DA2＝PD2，∴PA⊥DA，答案C1234567891011121314155.(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(

)A.36π B.64π C.144π D.256π解析答案123456789101112131415當(dāng)且僅當(dāng)點C到平面OAB的距離，即三棱錐COAB底面OAB上的高最大，其最大值為球O的半徑R，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.選C.答案C解析如圖，要使三棱錐O-ABC即C-OAB的體積最大，1234567891011121314156.(2014·山東)三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則

＝________.解析設(shè)點A到平面PBC的距離為h.∵D，E分別為PB，PC的中點，解析答案1234567891011121314157.(2015·江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________.解析答案1234567891011121314158.一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________.解析設(shè)等邊三角形的邊長為2a，球O的半徑為R，解析答案9.如圖所示的三個幾何體，一個是長方體，一個是直三棱柱，一個是過圓柱上、下底面圓心切下圓柱的四分之一部分，若這三個幾何體的正視圖和俯視圖是相同的正方形，求它們的表面積之比.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解由題意可知這三個幾何體的高都相等，設(shè)長方體的底面正方形的邊長為a，高也等于a，故其表面積為S1＝6a2.直三棱柱的底面是腰長為a的等腰直角三角形，高為a，12345678910111213141510.(教材改編)已知一個上、下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱臺的兩底面邊長分別為20cm和30cm，且其側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺的高.解析答案123456789101112131415由題意知A1B1＝20，AB＝30，由S側(cè)＝S上＋S下，得解

如圖所示，三棱臺ABC—A1B1C1中，O、O1分別為兩底面中心，D、D1分別為BC和B1C1的中點，則DD1為棱臺的斜高.解析答案123456789101112131415123456789101112131415解析答案123456789101112131415由于SC是球的直徑，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC為公共邊，所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.解析

如圖，過A作AD垂直SC于D，連接BD.解析答案123456789101112131415由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4，解析答案123456789101112131415所以△ABD為正三角形，答案C12.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是(

)123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析

由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.123456789101112131415又CD⊥BD，CD⊥AE，則CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，解析答案123456789101112131415在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.則AB邊上的高h＝6，答案B12345678910111213141513.(2015·四川)在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊的長為1的等腰直角三角形，設(shè)點M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐PA1MN的體積是________.解析答案123456789101112131415∵ ＝

，又∵AA1∥平面PMN，∴ ＝

，解析

由題意知還原后的幾何體是一個直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，12345678910111213141514.(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；解析答案123