第二十四講隨機(jī)變量分布列原卷版

第二十四講：隨機(jī)變量分布列

【考點(diǎn)梳理】

1.古典概率

列舉法列表法畫樹(shù)狀圖法

2.條件概率

已知A發(fā)生，在此條件下8發(fā)生，相當(dāng)于他發(fā)生，要求P(B|A),相當(dāng)于把A看作新的

“(AB)

基本事件空間計(jì)算4?發(fā)生的概率，即P(B|A)=式黑=上黑=￡絆.

n(A)n(A)尸(A)

加

3.相互獨(dú)立事件

設(shè)A,3為兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件4與事件3相互獨(dú)立.

4.隨機(jī)變量分布列

(1)分布列：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為不，占，，匕，，匕，X取每一個(gè)

值x,.(1=1,2,,〃)的概率尸(X=x,)=p，，以表格的形式表示如下：

XX2XiXn

PPTPlPiPn

我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.有時(shí)為了簡(jiǎn)單

起見(jiàn)，也用等式尸(X=x,)=p；,i=l,2,，〃表示X的分布列.

(2)期望或者均值

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

xX

X\x2Xin

pPlPiPiPn

稱"x)=玉門+x2P2+…+ZP,,為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型

隨機(jī)變量取值的平均水平.

(3)方差

“(X)-石?-E(X))P，為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根向?為隨機(jī)變

量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

5.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布

(1)兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則

E{X)=lxp+Ox(l-〃)=p,D(X)=p(l-p).

(2)二項(xiàng)分布的期望、方差

若X?B(n,p),則E(X)=〃p,D(X)=npQ-p).

(3)超幾何分布

(4)正態(tài)分布

正態(tài)分布完全由參數(shù)〃，。確定，因此正態(tài)分布常記作N(〃，〃).如果隨機(jī)變量X服從

正態(tài)分布，則記為XN（〃，cr2）.

【典型題型講解】

考點(diǎn)一：古典概率

【典例例題】

例1.（2021?廣東汕頭?高三期末）某市場(chǎng)一攤位的賣菜員發(fā)現(xiàn)顧客來(lái)此攤位買菜后選擇只

用現(xiàn)金支付的概率為0.2,選擇既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付的概率為0.1,且買菜后無(wú)賒

賬行為，則選擇只用非現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

例2.（2022?廣東揭陽(yáng)?高三期末）袋中有大小和形狀都相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)從

袋中不放回地依次抽取兩個(gè)球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取到白球的概率是

（）

A.-B.-C.；D.—

45210

【方法技巧與總結(jié)】

（1）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;

八4八A包含的基本事件的個(gè)數(shù)十山擊出“砧皿說(shuō)

（2）利用公式一=基本事件的總數(shù)求出事件A的概率?

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?一模）從集合。={1,2,3}的非空子集中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同的集合4B,則

AcB={l}的概率為（）

.4_5八1_5

A.-—B.—C.-D.—

2142756

2.（2022?廣東汕頭一模）有4名大學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會(huì)志愿服務(wù)，冬奧會(huì)志

愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個(gè)項(xiàng)目比賽的志愿服務(wù)，

則每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者進(jìn)行志愿服務(wù)的概率（）

“9八2-4

A.—B._C.—D.一

164279

3.（2022?廣東廣州?一模）如圖，在數(shù)軸上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)O出發(fā)，

每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次，則事件“質(zhì)點(diǎn)位于-2的位置”的概率

為.

-6-5-4-3-2-10123456x

4.（2022?廣東?鐵一中學(xué)高三期末）馬林?梅森（MarinMersenne,1588-1648）是17世紀(jì)法

國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物.梅森在歐凡里得、費(fèi)馬

等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2。-1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢

獻(xiàn)，將形如2〃-1（其中。是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).在不超過(guò)40的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩

個(gè)不同的數(shù)，至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是（）

“5-1門9-1

A.—B.-C.—D.—

1162222

5.（2022?廣東東莞?高三期末）甲乙兩人在數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行“對(duì)戰(zhàn)賽”，每局兩人同時(shí)解一

道題，先解出題的人贏得一局，假設(shè)無(wú)平局，且每局甲乙兩人贏的概率相同，先贏3局者

獲勝，則甲獲勝且比賽恰進(jìn)行了4局的概率是（）

A.—B.|C.—D,—

1081616

6（2022?廣東汕頭?高三期末）“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語(yǔ)》《孟子》的合稱，又稱“四子

書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考

價(jià)值.某校計(jì)劃開(kāi)展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng)，某班有4、B兩位同學(xué)參賽，比賽時(shí)每位同

學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則八、B兩位同學(xué)抽到同一本書的概率

為.

7.（2022?廣東珠海?高三期末）接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法.我國(guó)自2021年

1月9日起實(shí)施全民免費(fèi)接種新冠疫苗.截止到2021年5月底，國(guó)家已推出了三種新冠疫苗

（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任

選其中一種.若5人去接種新冠疫苗，恰有3人接種同一種疫苗的概率為.

開(kāi)展的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中，共有A&C三道題，答對(duì)A&C分別得2分、2分、4分，答錯(cuò)不得

分.已知甲同學(xué)答對(duì)問(wèn)題A&C的概率分別為1422乙同學(xué)答對(duì)問(wèn)題A&C的概率均為-3,

甲、乙兩位同學(xué)都需回答這三道題，且各題回答正確與否相互獨(dú)立.

（1）求甲同學(xué)至少有一道題不能答對(duì)的概率；

（2）運(yùn)用你學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)判斷，誰(shuí)的得分能力更強(qiáng)

考點(diǎn)二：條件概率

【典例例題】

例1.甲、乙兩人到一商店購(gòu)買飲料，他們準(zhǔn)備分別從加多寶、農(nóng)夫山泉、雪碧這3種飲品中隨

機(jī)選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件A="甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件3="甲和乙選

擇的飲品不同”，則P（B|A）=（）

【方法技巧與總結(jié)】

用定義法求條件概率”即0的步驟

（1）分析題意，弄清概率模型；

（2）計(jì)算/A）,RAIB）；

「⑻A）=%A出）

（3）代入公式求「（4）.

【變式訓(xùn)練】

1.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到夫子廟、總統(tǒng)府、中山陵、南京博物館4處景點(diǎn)旅游，每

人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件A為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件8為“只有甲去了中山陵”，

貝ijP（川B）=.

2.（2022?廣東深圳?一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有3個(gè)小孩的家庭，隨

機(jī)選擇一個(gè)家庭，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)女孩”和事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)男孩”是

互斥事件

B.事件“該家庭3個(gè)孩子都是男孩”和事件“該家庭3個(gè)孩子都是女孩”是對(duì)立事件

C.該家庭3個(gè)小孩中只有1個(gè)男孩的概率為:

O

、4

D.當(dāng)已知該家庭3個(gè)小孩中有男孩的條件下，3個(gè)小孩中至少有2個(gè)男孩的概率為了

3.端午節(jié)這天人們會(huì)懸菖蒲、吃粽子、賽龍舟、喝雄黃酒.現(xiàn)有9個(gè)粽子，其中2個(gè)為蜜棗

餡，3個(gè)為臘肉餡，4個(gè)為豆沙餡，小明隨機(jī)取兩個(gè)，設(shè)事件A為“取到的兩個(gè)為同一種餡”，

事件B為“取到的兩個(gè)均為豆沙餡”，則P（8|A）=（）

4.2022年3月，全國(guó)大部分省份出現(xiàn)了新冠疫情，對(duì)于出現(xiàn)確診病例的社區(qū)，受到了全社

會(huì)的關(guān)注.為了把被感染的人篩查出來(lái)，防疫部門決定對(duì)全體社區(qū)人員篩查核酸檢測(cè)，為了

減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有k個(gè)人，把這k個(gè)人的血液混合在一

起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k個(gè)人的血液全為陰性，因而這k個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了；

如果為陽(yáng)性，為了明確這k個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性，就要對(duì)這k個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢

驗(yàn).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，隨機(jī)抽一人核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性概率為P=QOO3,每個(gè)人的檢

驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是相互獨(dú)立的.

（1）若該社區(qū)約有2000人，有兩種分組方式可以選擇：方案一是：10人一組；方案二：8

人一組.請(qǐng)你為防疫部門選擇一種方案，并說(shuō)明理由；

(2)我們知道核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，必須由專家二次確認(rèn)，因?yàn)橛屑訇?yáng)性的可能；已知該社區(qū)人

員中被感染的概率為0.29%,且已知被感染的人員核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為99.9%,若檢

測(cè)中有一人核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，求其被感染的概率.(參考數(shù)據(jù)：

(0.9978=0.976,0.99710=0.970,)

考點(diǎn)三：隨機(jī)變量分布列

【典例例題】

例1.(2022?廣東深圳?高三期末)已知甲、乙、丙三個(gè)研究項(xiàng)目的成員人數(shù)分別為20,15,

10.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取9人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)研究項(xiàng)目的成員中分別抽取多少人？

(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，現(xiàn)從這9人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步

的訪談?wù){(diào)研，若隨機(jī)變量X表示抽取的3人中睡眠充足的成員人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

例2.（2022?廣東中山?高三期末）某科技公司組織技術(shù)人員進(jìn)行某新項(xiàng)目研發(fā)，技術(shù)人員

將獨(dú)立地進(jìn)行項(xiàng)日中不同類型的實(shí)驗(yàn)甲、乙、丙，已知實(shí)驗(yàn)甲、乙、丙成功的概率分別為=、

4

2

5、21

（1）對(duì)實(shí)驗(yàn)甲、乙、丙各進(jìn)行一次，求至少有一次成功的概率；

（2）該項(xiàng)目研發(fā)流程如下：實(shí)驗(yàn)甲做一次，若成功，則獎(jiǎng)勵(lì)技術(shù)人員I萬(wàn)元并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)乙，

否則技術(shù)人員不獲得獎(jiǎng)勵(lì)且該項(xiàng)目終止；實(shí)驗(yàn)乙做兩次，若兩次都成功，則追加技術(shù)人員3

萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì)并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)丙，否則技術(shù)人員不追加獎(jiǎng)勵(lì)且該項(xiàng)目終止；實(shí)驗(yàn)丙做三次，若至少兩

次成功，則項(xiàng)目研發(fā)成功，再追加技術(shù)員4萬(wàn)元獎(jiǎng)勵(lì)，否則不追加獎(jiǎng)勵(lì)且該項(xiàng)目終止.每次

實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，用X（單位：萬(wàn)元）表示技術(shù)人員所獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)值，寫出X的分布列及

數(shù)學(xué)期望.

例3.（2022?廣東珠海?高三期末）為建設(shè)粵港澳大灣區(qū)教育高地，辦人民滿意的教育，深

入推進(jìn)基礎(chǔ)教育課堂教學(xué)改革，某高中為了提升教育質(zhì)量，探索了一種課堂教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目.某

研究機(jī)構(gòu)為了解實(shí)施新項(xiàng)目后的教學(xué)效果，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了該校某年級(jí)100位學(xué)生，

對(duì)這些學(xué)生的課堂測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.

（1）若這些學(xué)生課堂測(cè)試成績(jī)的分?jǐn)?shù)X近似地服從正態(tài)分布N（〃,100）,其中〃近似為樣本平

均數(shù)最（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示），求P（64<XM94）；

（2）為做進(jìn)一步了解，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從課堂測(cè)試成績(jī)位于分組[50,60）,

[60,70）,[80,90）的學(xué)生中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到分?jǐn)?shù)位于[80,90）

的人數(shù)4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附參考數(shù)據(jù)：若X~N(〃,〃)，則P(〃一b<X4〃+b)=0.6827；

P(〃—2CT<XM〃+2<T)=0.9545；P(//-3cr<X<//+3cr)=0.9973.

【方法技巧與總結(jié)】

求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：

(1)審題(2)計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率

(3)列表：列出分布列，并檢驗(yàn)概率之和是否為I.

(4)求解：根據(jù)均值、方差公式求解其值.

【變式訓(xùn)練】

1.某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過(guò)一定的有效調(diào)查方式對(duì)“北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式”當(dāng)

晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)手機(jī)收看的約占通過(guò)電視收看的約

占g，其他為未收看者：

(1)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，其中至少有1人通過(guò)手機(jī)收看的概率；

(2)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，用X表示通過(guò)電視收看的人數(shù)，求X的分布列和期望.

2.(2022?廣東惠州?一模)惠州市某高中學(xué)校組織航天科普知識(shí)競(jìng)賽，分小組進(jìn)行知識(shí)問(wèn)題

競(jìng)答.甲乙兩個(gè)小組分別從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，答對(duì)題目多者為勝.已知

這6個(gè)問(wèn)題中，甲組能正確回答其中4個(gè)問(wèn)題，而乙組能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為5.

甲、乙兩個(gè)小組的選題以及對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.

(1)求甲小組至少答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率；

(2)若從甲乙兩個(gè)小組中選拔一組代表學(xué)校參加全市決賽，請(qǐng)分析說(shuō)明選擇哪個(gè)小組更好？

3.(2022?廣東湛江?一模)中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟(jì)蒼生.中國(guó)工程院院士張伯禮在

接受記者采訪時(shí)說(shuō)：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展

為重癥病人的幾率.對(duì)改善發(fā)熱、咳嗽、乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對(duì)肺部炎癥的吸收和

病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效果;2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護(hù)人員對(duì)確診患者進(jìn)行積極

救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A,B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙

139

種中藥.服藥一個(gè)療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為B組3人康復(fù)的概率分別為歷，

33

4'41

(1)設(shè)事件C表示人組中恰好有1人康復(fù)，事件。表示B組中恰好有1人康復(fù)，求尸(8)；

(2)若服藥一個(gè)療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高藥性越好，請(qǐng)問(wèn)甲、

乙兩種中藥哪種藥性更好？

4.(2022?廣東汕尾?高三期末)書籍是精神世界的人口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀已成為

中學(xué)生的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地中學(xué)生的閱

讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了"名中學(xué)生，對(duì)這些人每周的平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))進(jìn)

行統(tǒng)計(jì)，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,

14),[14,16),[16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知這。名中學(xué)生中

每周平均間讀時(shí)間不低于16小時(shí)的人數(shù)是2人.

(2)為進(jìn)一步了解這n名中生數(shù)字媒體讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均時(shí)

間在[8,10),[10,12),[12,14)三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，現(xiàn)

從這6人中隨機(jī)抽取3人，記周平均閱讀時(shí)間在[10,12)內(nèi)的中學(xué)生人數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

5.今年3月份以來(lái)，隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā)，國(guó)內(nèi)消費(fèi)受到影響，為了促進(jìn)消費(fèi)回

暖，全國(guó)超過(guò)19個(gè)省份都派發(fā)了消費(fèi)券，合計(jì)金額高達(dá)50億元通過(guò)發(fā)放消費(fèi)券的形式，

可以有效補(bǔ)貼中低收入階層，帶動(dòng)消費(fèi)，從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能，最終拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，除此

之外，消費(fèi)券還能在假期留住本市居民，減少節(jié)日期間在各個(gè)城市之間的往來(lái)，客觀上能夠

達(dá)到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應(yīng)政策號(hào)召，組織本單位員工參加抽獎(jiǎng)得消

費(fèi)優(yōu)惠券活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的2個(gè)黃球、3個(gè)紅球的箱子中隨

機(jī)摸出2個(gè)球，若恰有1個(gè)紅球可獲得20元優(yōu)惠券，2個(gè)都是紅球可獲得50元優(yōu)惠券，

其它情況無(wú)優(yōu)惠券，則在一次抽獎(jiǎng)中：

(1)求摸出2個(gè)紅球的概率；

(2)設(shè)獲得優(yōu)惠券金額為X,求X的方差.

6.(2022?廣東廣東?一模)某市教育局對(duì)該市普通高中學(xué)生進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測(cè)試，試卷滿分

120分.現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽查了10名學(xué)生的成績(jī)，分別為78,81,84,86,86,87,

92,93,96,97.

(1)已知10名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?8,計(jì)算其中位數(shù)和方差；

(2)已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)分布服從正態(tài)分布NJ。?)，某校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生30人.

匚依據(jù)(1)的結(jié)果，試估計(jì)該班學(xué)業(yè)水平測(cè)試成績(jī)?cè)?94,100)的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五入

取整數(shù))：

口為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，該班決定推薦成績(jī)?cè)?94,100)的學(xué)生參加預(yù)選賽，若每

個(gè)學(xué)生通過(guò)預(yù)選賽的概率為:，用隨機(jī)變量X表示通過(guò)預(yù)選賽的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.(正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：P(〃-b<X<〃+b)=0.6828,

P(〃一2cr<X<〃+2CT)=0.9544)

7.為應(yīng)對(duì)氣候變化，我國(guó)計(jì)劃在2030年前實(shí)現(xiàn)碳排放量到達(dá)峰值，2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”.

某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過(guò)2萬(wàn)噸的企業(yè)中隨機(jī)抽取

50家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬(wàn)噸的企業(yè)確定為“超

標(biāo)”企業(yè):

硫排

[5.5,[8.5,[115,[175,

放量[2.55.5)[14.5.175)[20.523.5)

8.5)115)14.5)20.5)

X

頻數(shù)56912864

(1)假設(shè)該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平

均值元，/近似為樣本方差52,經(jīng)計(jì)算得了a12.8,SB5.2.試估計(jì)這320家企業(yè)中“超標(biāo)”

企業(yè)的家數(shù)；

(2)通過(guò)研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標(biāo)”企業(yè)，市政府決定對(duì)這

8家“超標(biāo)”企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計(jì)劃在這8家“超標(biāo)”企業(yè)中任取5家先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)Y

為抽到的年碳排放量至少為20.5萬(wàn)噸的企業(yè)家數(shù)，求V的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(參考數(shù)據(jù):若X~X則P(〃-bWXW〃+(T)=0.6827,

P(〃-2bWX?M+2cr)=0.9545,P(〃-3(rWX+)=0.9973.)

8.某共享單車集團(tuán)為了進(jìn)行項(xiàng)目?jī)?yōu)化，對(duì)某市月卡用戶隨機(jī)抽取了200人，統(tǒng)計(jì)了他們?cè)谕?/p>

一月的使用次數(shù)(假設(shè)每月使用次數(shù)均在8至36之間).將樣本數(shù)據(jù)分成[8,12),[12,16),

[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36]七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,

并用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布.

(1)求圖中的a的值；

(2)設(shè)該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中〃近似為樣本的平均數(shù)

(各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值近似計(jì)算)，取b=3.16,若該城市恰有1萬(wàn)個(gè)用戶，試估計(jì)這些用

戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間［12.36,25］內(nèi)的人數(shù)：

(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機(jī)抽取10人，其中月使用次數(shù)在［24,28)的有y人,記“事件Y=k”

的概率為P(y=Z),其中4=0,1,2,10,當(dāng)2卜=心最大時(shí)，求k的值.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量：服從正態(tài)分布則P(〃-b4,4〃+b”0.6827,

P(//-2cr<^<〃+2cr”0.9545,P(/z-3<T<<<//+3<T)?0.9973.

【鞏固練習(xí)】

一、單選題

1.從3男2女共5名醫(yī)生中，抽取2名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測(cè)工作，則至少有1名女醫(yī)生

參加的概率為().

“2

A.-B.-C.—D.y

55102

2.20名學(xué)生，任意分成甲、乙兩組，每組10人，其中2名學(xué)生干部恰好被分在不同組內(nèi)

的概率是()

A5p5“2ny—18

plOD,「10plO「10

5。y。joJo

3.為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)校美育育人功能，構(gòu)建“五育并舉”的全面培養(yǎng)的教育體系，某校開(kāi)設(shè)了

傳統(tǒng)體育、美育、書法三門選修課程，該校某班級(jí)有6名同學(xué)分別選修其中的一門課程，

每門課程至少有一位同學(xué)選修，則恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的概率為（）

5「Ic7-7

AA.—B.-C.—D.—

3663618

4.在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布（100,關(guān)卜若x在（85,115）內(nèi)的概率是0.5,

則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率是（

27939

A.—B.—C.-D.—

6464416

5.新冠肺炎疫情期間，某公司采用網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)程面試招聘新員工，其面試方案為：應(yīng)聘者從6道

備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定：至少正確完成其中2道

題的應(yīng)聘者才可通過(guò)面試.已知應(yīng)聘者小王在6道備選題中有4道題能正確完成，2道題不

能完成，則小王正確完成面試題數(shù)的均值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

6.盒中裝有大小相同的5個(gè)小球（編號(hào)為1至5）,其中黑球3個(gè)，白球2個(gè).每次取一球

（取后放回），則（）

A.每次取到1號(hào)球的概率為，

B.每次取到黑球的概率為，

C.“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨(dú)立事件

D.“每次取到3號(hào)球”與“每次取到4號(hào)球”是對(duì)立事件

7.一口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論正確的是（）

A.從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是|

B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩個(gè)白球的概率為太

C.從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅

球的概率為：

D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為稱

三、填空題

8.某校為落實(shí)“雙減政策.在課后服務(wù)時(shí)間開(kāi)展了豐富多彩的體育興趣小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲、

乙、丙三名同學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球三項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只

能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為.

9.盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以X表示取到白球的個(gè)數(shù)，〃表示取到黑

球的個(gè)數(shù).給出下列各項(xiàng)：

2

E（X）咚E（7）=|；□E（X）=E（7）；E（rf）=E（X）；D（X）=D（7）=^.

其中正確的是.（填上所有正確項(xiàng)的序號(hào)）

四、解答題

10.某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過(guò)一定的有效調(diào)查方式對(duì)“北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式”

當(dāng)晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)手機(jī)收看的約占通過(guò)電視收看的

約占g，其他為未收看者：

（1）從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，其中至少有1人通過(guò)手機(jī)收看的概率；

（2）從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，用X表示通過(guò)電視收看的人數(shù)，求X的分布列和期望.

11.有3名志愿者在2022年10月1號(hào)至10月5號(hào)期間參加核酸檢測(cè)工作.

（1）若每名志愿者在這5天中任選一天參加核酸檢測(cè)工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3

名志愿者恰好連續(xù)3天參加核酸檢測(cè)工作的概率；

（2）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加核酸檢測(cè)工作，且各志愿者的選擇互不影響，記4

表示這3名志愿者在10月1號(hào)參加核酸檢測(cè)工作的人數(shù)，求隨機(jī)變量4的分布列及數(shù)學(xué)期

望￡（/.

12.某產(chǎn)品年末搞促銷活動(dòng)，由顧客投擲4枚相同的、