誤差分析與數據處理應用

誤差分析與數據處理應用標準不確定度的A類評定方法：

（一）定義：用統計方法評定出的不確定度。（二）評定方法：用貝塞爾公式計算；標準不確定度的B類評定方法：（一）定義：用非統計方法評定出的不確定度。（二）評定方法（兩大類）：

B類評定方法獲得的不確定度，是設法利用與被測量有關的先驗信息來進行估計，這些先驗信息如有關測量儀器的示值誤差等。

1）B類評定第一大類:類似于已知擴展不確定度（將其除以包含因子即可）。

2）B類評定第二大類：類似于已知最大示值誤差（將其模除以即可。標準不確定度評定小結第四章測量結果的不確定度評定第一節(jié)測量不確定度的基本概念與分類第二節(jié)標準不確定度的評定第三節(jié)合成標準不確定度第四節(jié)擴展不確定度第五節(jié)測量數據的處理步驟和測量結果的表達合成標準不確定度（combinedstandarduncertainty）

1、定義：

當測量結果由若干個其他量的值求得時，測量結果的合成標準不確定度等于這些量的方差和（或）協方差加權和的正平方根，其中權系數按測量結果隨這些量變化的情況而定。

2、符號：用符號uc表示。

3、評定方法：

當測量結果受多個因素影響而形成若干個不確定度分量時，測量結果的標準不確定度通過多個標準不確定度分量合成得到。概念合成公式:ui——第ｉ個標準不確定度分量（A類或B類）m——不確定度分量的個數

——第ｉ和第j個標準不確定度分量之間的相關系數uc——合成標準不確定度合成方法若各標準不確定度分量相互間獨立時，測量的合成標準不確定度計算公式可進一步簡化為：ui——第ｉ個標準不確定度分量（A類或B類）m——不確定度分量的個數uc——合成標準不確定度合成方法例：50米的泳道，比賽官員要求檢查中間泳道的長度。檢查時用高質量殷鋼制成的帶尺，帶尺用恒定張力拉緊。帶尺的溫度效應和彈力效應很小，可忽略。查閱帶尺技術說明，得知帶尺的分化刻度誤差不大于±3mm。6次測量值為：50.005,49.990,50.003,49.998,50.004,50.001,試求泳道長度的估計值及它的合成標準不確定度uc(x)。

分析:1）有幾個標準不確定度分量？由6個測值得到的A類標準不確定度分量u1；由帶尺的分化刻度誤差引起的B類標準不確定度分量u2；

計算舉例第7頁2）設被測量為x,測量的數學模型如何建立？為了評定標準不確定度，首先要根據測量方法和測量過程建立測量數學模型。數學模型只是計算被測量的函數關系式，我們以它作為基礎，導出測量結果不確定度的關系式。計算舉例3）如何將兩個標準不確定度分量合成？應按標準不確定度合成公式來合成，按兩個分量之間相互獨立處理：計算舉例例：數字電壓表制造廠說明書中說明：在1V內示值最大允許誤差的模為14×10－6×（讀數）＋2×10－6×（范圍），求：1）當測值為時B類標準不確定度。

2）若按A類方法評定已求出其重復性標準不確定度為,試求合成標準不確定度uc(V)。解：

1）求當測值為時B類標準不確定度最大允許誤差的模為：

14×10－6×（）＋2×10－6×（1V）=15μV

判斷為均勻分布，則：計算舉例對于間接測量的情況，Y=F(X1,X2,……Xm)時，有如下的合成標準不確定度傳播律（公式）：式中：

uc(y)——輸出量估計值y的合成標準不確定度

u(xi),u(xj)——輸入量估計值xi和xj

的標準不確定度函數F(X1,X2,…

）在(x1,x2,…,xm)處的偏導數，稱為靈敏系數，在誤差合成公式中稱其為傳播系數；ρij——Xi和Xj

在(xi,xj)處的相關系數間接測量的標準不確定度合成對于間接測量的情況的一個特例，Y=F(X1,X2,……Xm)，當第ｉ和第j個輸入量xi

和xj

相互間均獨立時ρij＝0,這時間接測量的標準不確定度傳播公式可簡化為：式中：

uc(y)——輸出量估計值y的合成標準不確定度

u(xi),u(xj)——輸入量估計值xi和xj

的標準不確定度函數F(X1,X2,…

）在(x1,x2,…,xm)處的偏導數，稱為靈敏系數，在誤差合成公式中稱其為傳播系數；間接測量的標準不確定度合成若函數為：y=x1+x2+…+xm,則各標準不確定度分量的靈敏系數（偏導數）為1，測量的合成標準不確定度計算公式可簡化為：若y=x1+x2+…+xm,且xi

相互間獨立時，測量的合成標準不確定度計算公式可進一步簡化為：間接測量的標準不確定度合成討論：合成標準不確定度傳播律（公式）有什么用途？

合成標準不確定度傳播律（公式）的用途：

1）剛開始評定各標準不確定度分量時，幫助找全應該加以評定的各個A類、B類標準不確定度分量。

2）最后，用該合成標準不確定度傳播公式，確定如何由各不確定度分量，去最終計算出合成標準不確定度。討論討論：分析前述的泳道測量不確定度合成有沒有考慮敏感系數？

為了評定標準不確定度，首先要根據測量方法建立測量數學模型。數學模型是被測量的函數關系式，用它導出合成不確定度與各不確定度分量的關系式。前述例子，實際用的是合成標準不確定度傳播公式的最簡式。討論例：為確定鋁型材（矩形截面)的抗拉強度σ（單位MPa,1MPa＝1N/mm2

)，在拉力試驗機上進行拉斷測試試驗。截面的寬度b＝12.5±0.2mm,，厚度h＝2.4±0.1mm,按要求制成5個試樣進行拉斷試驗，使用測量儀器性能如下：拉力試驗機：1級，最大允許誤差±1％，游標卡尺(測寬）：最大允許誤差，千分尺(測厚）：最大允許誤差±4μm，測量模型：σ=F/bh，試驗數據如下：12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計算舉例第16頁一、抗拉強度σ平均值的兩種計算方法12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計算舉例二、測量結果合成標準不確定度u(c)的確定：計算舉例二、測量結果合成標準不確定度u(c)的確定：計算舉例二、測量結果合成標準不確定度u(c)的確定：計算舉例二、測量結果合成標準不確定度u(c)的確定：計算舉例計算舉例計算舉例討論：

1）間接測量時不確定度分量的單位量綱為何不同？

2）兩種計算方法偏差為何較大？3）哪種計算方法更好些？計算舉例計算舉例原因：在同一組測值中，寬度b和厚度h一個大時，另一個則小，致使按公式σ＝F/bh計算出的σi相差不多，即：b和h可能負相關，F和h可能正相關，F和b可能負相關。若將相關考慮后應有所改進。哪種計算方法好？12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計算舉例12345平均值b/mm12.5512.4012.6512.4512.6012.53h/mm2.382.412.352.402.322.372F/N6674.86674.86644.46705.16553.46650.5σ/MPa223.46223.35223.51224.40224.18223.78計算舉例利用相對標準不確定度來計算合成標準不確定度：對于間接測量的情況，y=f(x1,x2,……xm)，當數學模型為：

這時數學模型的特點是被測量為各個輸入量的乘積，若第ｉ個和第j個輸入量xi

和xj

相互間均獨立,ρij＝0,則間接測量的標準不確定度傳播公式如下式，可看出傳播系數計算較繁：間接測量的標準不確定度合成第28頁利用各不確定度分量的相對標準不確定度來計算合成標準不確定度往往比較方便。間接測量的標準不確定度合成這時合成標準不確定度的計算公式為：例：對于Y＝bX1X2X3，輸入量X1，X2，X3的估計值x1,x2,x3彼此獨立，若：urel(x1)=u(x1)/x1=0.25%,測量次數n1=10

urel(x2)=u(x2)/x2=0.57%,測量次數n2=5

urel(x3)=u(x3)/x3=0.25%,測量次數n3=15試求:其相對合成不確定度ucrel。計算舉例第30頁一、計算合成標準不確定度時，一般應先建立測量數學模型，而為了正確建立數學模型，則應找全影響測量結果的各個標準不確定度分量。二、為計算儀器最大允許誤差引起的不確定度對合成標準不確定度的貢獻，在建立測量數學模型時，常采用其值為零而標準不確定度不為零的修正值Δ。三、當利用不確定度傳播律來計算合成標準不確定度時，若各標準不確定度分量相互間獨立而不相關，則公式及計算都將簡化。大多數測量場合該條件可滿足，但并不是所有的場合均可如此簡化。故應仔細分析各標準不確定度分量相互間的關系，并在設計測量試驗時預先采取措施以爭取各分量相互間獨立。合成標準不確定度小結第四章測量結果的不確定度評定第一節(jié)測量不確定度的基本概念與分類第二節(jié)標準不確定度的評定第三節(jié)合成標準不確定度第四節(jié)擴展不確定度第五節(jié)測量數據的處理步驟和測量結果的表達1、定義：

擴展不確定度（expandeduncertainty）：確定測量結果區(qū)間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。（這個大部分實際是指超過90％）。

擴展不確定度由合成標準不確定度uc乘以一個包含因子k得到。（k一般在2～3范圍內選取）。

expandeduncertainty：quantitydefininganintervalabouttheresultofameasurementthatmaybeexpectedtoencompassalargefractionofthedistributionofvaluesthatcouldreasonablybeattributedtothemeasurand.

2、符號：用符號U,Up表示。記為：U=k*uc

或：Up=k*uc

注：擴展不確定度UP的下標p表示的是擴展不確定度U的置信概率?；靖拍顬槭裁匆欢ㄒ勾藚^(qū)間包含合理賦予被測量之值分布的大部分？不包含大部分有什么問題？合成標準不確定度的量綱是什么？相關系數的量綱是什么？包含因子的量綱是什么？擴展不確定度的量綱是什么？思考包含因子k的確定：

包含因子k的大小由置信概率p和分布的類型確定。1）如果沒有特殊說明，則按正態(tài)分布考慮。

這時相對應的包含因子k與置信概率p的對應關系為：

p=95%時k=1.96，擴展不確定度符號：U95

(有時表示成α＝0.05)

p=99%時k=2.576，擴展不確定度符號：U99(有時表示成α＝0.01)

有些場合也用：k=2這時p=95.45%

或k=3這時p=99.73%包含因子的確定置信概率的確定原則：

1）一般測量：選p=95%

2）重要的測量：選p=99%？2）重要的測量，或測量次數較小時，k由t分布確定：

包含因子k（t分布時常用符號t表示）由置信概率p(或α）、以及自由度ν從t分布表查出。包含因子的確定t分布特點：

1、當測量次數n較小時，t分布更精確。

2、相同測量次數下，t分布k值比正態(tài)分布k值大。

3、相同置信概率下，自由度不同時查出的k的值不同。

實例自由度的概念自由度定義為計算總和中獨立項的個數，即總和的項數減去其中受約束的項研究自由度的意義自由度的大小直接反映了不確定度的評定質量，自由度并非測量結果的自由度，而是所評定的標準偏差的自由度，也就是不確定度的自由度

不確定度的評定質量取決于標準差的可信賴程度，標準差的信賴程度與自由度關系如下：

上式表明：自由度越大，標準差的相對不確定度越小，標準差愈可信賴。自由度相對實驗標準差公式推導期望：標準差：若x1，x2，…，xn是來自某測量總體的一個測量樣本，滿足正態(tài)、獨立和相同測量條件，則有預備知識：分布若為獨立服從同分布N（0，1）的隨機誤差變量，則：

稱服從自由度為的分布，記為。相對實驗標準差公式推導設x1，x2，…，xn是來自某測量總體的一個測量樣本，滿足正態(tài)、獨立和相同測量條件，則有（1）根據貝塞爾公式，有代入（1）式，（2）（3）取的方差，有即有以下推導，注意到，用泰勒級數展開，并取一階近似：（4）（5）（6）取方差：（7）相對實驗標準差公式推導因此有：若單次測值的標準偏差s(x)的自由度為n-1,

請問：算術平均值的標準不確定度的自由度是多少？

測量值的標準偏差的自由度和算術平均值的標準偏差的自由度是否相同？為什么？

算術平均值的標準偏差的自由度仍然是n-1。

因測量次數n相同，計算這兩者時所依據的信息量相同，故可靠程度應相同。

從另一個角度考慮，因為自由度ν表示的是不確定度自身的不確定度的大小，自由度相對實驗標準差思考自由度的計算方法（評定）情況1）：對于一個測量樣本，自由度等于該樣本數據中的n個獨立測量個數減去待求量的個數1，即。情況2）：對某量X進行n次獨立重復測量，在用貝塞爾公式計算實驗標準差是，需要計算殘差平方和中的n個殘差，因為n個殘差滿足一個約束條件，即獨立殘差個數為n-1，即用貝塞爾公式估計實驗標準差的自由度為n-1。情況3）：按估計相對標準差來定義的自由度稱為有效自由度，記為Veff，計算公式為：（常用于B類標準不確定度的評定）自由度評定合成標準不確定度的自由度：

當各不確定度分量ui的自由度均已知時，合成標準不確定度uc的自由度（常稱為有效自由度）計算公式為：自由度評定例：試求某被測量的合