福建省龍巖市六甲中學2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

福建省龍巖市六甲中學2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在中，點分別是上，且，線段與相交于點P，且，則用和表示為A．

B．

C．

D．

參考答案：A2.對實數(shù)和，定義運算“”：

設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B本題是一個新定義運算型問題，考查了同學們處理新知識的能力，難度中等。由條件可知，的圖象與x軸恰有兩個公共點即y=f(x)的圖象與y=c的圖象有兩個交點，結(jié)合圖象易知當c或時成立。3.

已知命題，若非p是的必要不充分條件，則的取值范圍是A.

B.

C.

D.

參考答案：答案：B4.已知實數(shù)x，y滿足，若目標函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，最小值為﹣2m﹣2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3] D．[﹣1，3]參考答案：A【考點】7D：簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，由z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，即當目標函數(shù)經(jīng)過點（2，10）時，取得最大，當經(jīng)過點（2，﹣2）時，取得最小值，利用數(shù)形結(jié)合確定m的取值范圍．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由目標函數(shù)z=﹣mx+y得y=mx+z，則直線的截距最大，z最大，直線的截距最小，z最小．∵目標函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，最小值為﹣2m﹣2，∴當目標函數(shù)經(jīng)過點（2，10）時，取得最大，當經(jīng)過點（2，﹣2）時，取得最小值，∴目標函數(shù)z=﹣mx+y的目標函數(shù)的斜率m滿足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故選：A．5.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又是區(qū)間[－1，0]上的減函數(shù)的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D6.數(shù)列滿足，則的前60項的和為A

3690

B

3660

C

1845

D

1830

參考答案：D7.將一顆骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為，則函數(shù)在上為增函數(shù)的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知函數(shù)，若對于任意的恒成立，則a的最小值等于

A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.設(shè)實數(shù)滿足：，則的大小關(guān)系為A．c<a<b B．c<b<a C．a(chǎn)<c<b D．b<c<a參考答案：A，，故.10.已知全集，集合,，則B（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB是面積為的等邊三角形，則橢圓C的方程為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題設(shè)條件知列出a，b，c的方程，結(jié)合三角形的面積，求出a，b求出橢圓的方程．【解答】解：F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點，若△F2AB是面積為的等邊三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的橢圓方程為：．故答案為：．12.運用物理中矢量運算及向量坐標表示與運算，我們知道：兩點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為，三等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為，由此推出：四等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為

.

參考答案：略13.執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的S=

．參考答案：由程序框圖可知該程序是計算.當時，由得，所以所求的。14.給出下列4個命題：①函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是；②若函數(shù)的定義域是，則；③不等式的解集為；④函數(shù)的圖像與直線至多有一個交點.其中正確命題的序號是

．參考答案：①④15.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面積為12，當其外接球的表面積取最小值時，異面直線AC1與B1C所成角的余弦值等于

．參考答案：設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，球的半徑為，由題意知，即，底面外接圓半徑，由球的截面圓性質(zhì)知，當且僅當時取等號，將三棱柱補成一四棱柱，如圖，知，即為異面直線與所成角或補角，，，所以．16.冪函數(shù)在上增函數(shù)，則m=

參考答案：317.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么∠B等于_______.

參考答案：由題意可得，所以.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，設(shè)為中的最大值，稱數(shù)列是的控制數(shù)列．例如數(shù)列的控制數(shù)列是.（Ⅰ）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是，寫出所有的；（Ⅱ）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，）.證明：（）.（Ⅲ）考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列．是否存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）解：數(shù)列有個，分別為；；；；；.（Ⅱ）證明：因為，，所以.因為，，所以，即，故，即.

于是，故，（）.

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的控制數(shù)列為，因為為前個正整數(shù)中最大的一個，所以．

若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為，所以．且

（1）當時，為常數(shù)列：.（或），此時數(shù)列是首項為的任意一個排列，共有個數(shù)列；

（2）當時，符合條件的數(shù)列只能是，此時數(shù)列是，有1個；

（3）當時，，又，，.這與矛盾！所以此時不存在.綜上滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為個（或回答個）．

略19.已知四棱錐P﹣ABCD如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．（1）求此四棱錐的體積；（2）若E是PD的中點，求證：AE⊥平面PCD；（3）在（2）的條件下，若F是PC的中點，證明：直線AE和直線BF既不平行也不異面．參考答案：（1）解：由題意可知，PA⊥底面ABCD，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形，其面積SABCD=2×2=4，高h=2，所以．（2）證明：由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD，又△PAD是等腰直角三角形，E為PD的中點，∴AE⊥PD，又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD．（3）證明：∵E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點，∴EF∥CD且又∵CD∥AB且CD=AB，∴EF∥AB且，∴四邊形ABFE是梯形，AE，BF是梯形的兩腰，故AE與BF所在的直線必相交．所以，直線AE和直線BF既不平行也不異面．略20.

如圖，正三棱柱中，D是BC的中點，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

參考答案：

（Ⅰ）證明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴BB1⊥平面ABC，

∴BD是B1D在平面ABC上的射影

在正△ABC中，∵D是BC的中點，

∴AD⊥BD，

根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B1D

（Ⅱ）解：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1=E，連接DE.

∵AA1=AB

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A1C.…………7分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D.……9分

（Ⅲ）

……13分

略21.如圖一，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M為測棱PD上一點，且該四棱錐的俯視圖和側(cè)視圖如圖二所示.（1）證明：平面PBC⊥平面PBD；（2）求二面角A-BM-C的余弦值.

參考答案：(Ⅰ)證：由俯視圖可得

∴BC⊥BD 1分

又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD 2分

而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD 3分

∵BC?平面PBC

∴平面PBC⊥平面PBD． 4分(Ⅱ)解：由側(cè)視圖可得MD=3

由俯視圖及ABCD是直角梯形得：

5分

∴ 6分

以為x軸、y軸、z軸建立的空間直角坐標系D－xyz，則D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)

設(shè)平面AMB的法向量為n1=(x1，y1，z1)，則，即

令，則，∴是平面AMB的一個法向量 8分

設(shè)平面BMC的法向量為n2=(x2，y2，z2)，則，即

令x2=3，則，∴是平面BMC的一個法向量 10分

又由圖可知，二面角A－BM－C為鈍二面角

∴二面角A－BM－C的余弦值為． 12分

22.已知點集,其中為向量,點列在點集中,為的軌跡與軸的交點,已知數(shù)列為等差數(shù)列,且公差為1,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)求的最小值;(3)設(shè),求的值.參考答案