導(dǎo)數(shù)與微分的定義

關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分的定義第1頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三第一節(jié)1.導(dǎo)數(shù)和微分的定義一、導(dǎo)數(shù)的定義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系二、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、微分第2頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、引例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)第3頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.曲線的切線斜率曲線在M

點(diǎn)處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN

的斜率切線MT的斜率第4頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三兩個(gè)問(wèn)題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題第5頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).第6頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M

點(diǎn)處的切線斜率第7頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說(shuō)函數(shù)就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.第8頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟第9頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正（余）弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第10頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解注：例2.第11頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解所以同理可得例1.第12頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3.

求函數(shù)解:冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)更一般地第13頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）第14頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解例4.第15頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解例5.（見1-4函數(shù)連續(xù)性的例3）第16頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在

x=0處有定義2

.

設(shè)函數(shù)有定義,存在,第17頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫為若函數(shù)與都存在,則稱在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且第18頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).即第19頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三在處的連續(xù)但不可導(dǎo)。注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).證例1:處連續(xù)但不可導(dǎo)在試證處連續(xù)。在處不可導(dǎo)。在例2:0－1/π101第20頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)性第21頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三解例6.第22頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.

設(shè),問(wèn)a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).第23頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過(guò)上升;若曲線過(guò)下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與

x軸垂直.yx第24頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:切線法線例8，求曲線在處的切線方程和法線方程。解：切線方程：法線方程：第25頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問(wèn)此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長(zhǎng)為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時(shí),變到邊長(zhǎng)由其第26頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:可微的充要條件是則在點(diǎn)可微,第27頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理:函數(shù)證:“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即第28頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則第29頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三說(shuō)明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無(wú)窮小,當(dāng)故當(dāng)?shù)?0頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記第31頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P66表)又如,第32頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;第33頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三思考與練習(xí)1