高考數(shù)學(xué)藝術(shù)生第29講等比數(shù)列（解析版）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（基礎(chǔ)版全國通用版）

第29講等比數(shù)列

1、等比數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,

這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母4表示（g工0）

符號語言區(qū)包=4（或者￡j=q（〃N2））（4為常數(shù)，q力0,〃eN*）

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

一般地，對于等比數(shù)列｛g｝的第〃項(xiàng)有公式%.這就是等比數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，其中為為首項(xiàng),

4為公比.

3、等比中項(xiàng)

（1）前提：三個(gè)數(shù)a,G,b成等比數(shù)列.

（2）結(jié)論：G叫做a,b的等比中項(xiàng).

（3）滿足的關(guān)系式：G2=ab.

4、等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)

在等比數(shù)列｛&“｝中，若m+n=p+q（m,n,p,qwN*）,則

2

①特別地,當(dāng)機(jī)+〃=2左（加,〃，左eN"）時(shí)，am-an=ak

na｛q=1

5、等比數(shù)列前〃項(xiàng)和S〃=%（l_g"）i

」?;一”,"1

I"q

6、等比數(shù)列中依次加項(xiàng)之和S,“，S2ni-S,?,Sim-S2in,54?,-53,“「”組成公比為''（＜?H—1）的等比數(shù)列

題型一：等比數(shù)列通項(xiàng)公式

1.（2021?云南師大附中高三月考（文））已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=1,%+%+%=7,則/6%=（）

A.12B.16

C.32D.64

2.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列｛凡｝中，q=8,a.=64,則如等于（）

A.16B.16或T6

C.32D.32或-32

3.（2021?新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）在數(shù)列｛““｝中，若《=3,。用=為“，則”6=（）

A.24B.48C.96D.192

4.（2021?陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學(xué)高二月考）公比為2的等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且出囚。=16,則%等于

（）

A.1B.2C.4D.8

5.（2021?寧夏銀川一中（文））已知等比數(shù)｛6｝滿足4%=3%4，則數(shù)列｛〃“｝的公比4=（）

A.2B.1C.3I）.；

1

9I?

6.（2021?全國）在等比數(shù)列中，=三”不，則項(xiàng)數(shù)〃為（）

o33

A.3B.4C.5D.6

題型二：等比中項(xiàng)

1.（2021?鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高一月考）在等比數(shù)列｛%｝中，若％=10，%=g，那么延等于（）

A.-5B.5C.±5D.25

2.（2021?贛州市贛縣第三中學(xué)高二開學(xué)考試（理））在遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列｛?！埃?，4和牝是方程/_17X+16=0

的兩個(gè)根，則%=（）.

A.4B.-4C.+4I）.2

3.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））已知。也c成等比數(shù)列，且。=4,6=2,則?=（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2021?全國高二專題練習(xí)）己知遞增等差數(shù)列｛%｝嗎=1，且。2為4+1與%+1的等比中項(xiàng)，則公差"=（）

A.1B.1或-3C.3或一1D.3

5.（2021?廣西浦北中學(xué)高一月考）2-?與2+有的等比中項(xiàng)是（）

A.1B.-1C.2D.-1或1

題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

1.（2021,全國）在等比數(shù)列|｛%｝中，a5a6a7=3,a6a7a8=24,則％%%的值為（）

A.48B.72C.144D.192

2.（2021?南昌市豫章中學(xué)高二開學(xué)考試（文））設(shè)｛%｝是等比數(shù)列，且％+4+4=1，%+4+/=2,則4+%+仆=

（）

A.12B.2C.30D.32

3.（2021?建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）在等比數(shù)列｛%｝中，%=24,%=6,則%=（）

A.12B.-15C.±12D.15

4.（2021?青海海東?平安一中）在等比數(shù)列｛g｝中，％=4,則出嗎4等于（）

A.16B.32C.4D.8

5.（2021?廣西浦北中學(xué)高二期中（文））已知等比數(shù)列｛/｝中，%%3=16,則％的值等于（）

A.4B.8C.±4D.±8

6.（2021?全國高二單元測試）一個(gè)等比數(shù)列前〃項(xiàng)的和為48,前2〃項(xiàng)的和為60,則前3〃項(xiàng)的和為（）.

A.83B.108C.75D.63

7.（2021?廣西平果二中高一期中）記等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,若Sz=4,54=20,則S6=（）

A.24B.28C.48D.84

8.（2021?運(yùn)城市新康國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校）設(shè)等比數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為3,若S?=3,S4=15,則S$=（）

A.31B.32C.63D.64

2

9.（2021?全國高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列｛%｝中，如果4+々2=40,〃3+〃4=60，那么%+。8=（)

A.135B.100

C.95D.80

10.（2021?三亞華僑學(xué)校）已知等比數(shù)列｛%｝中，《+%+。3=40,〃4+〃5+。6=20,則前9項(xiàng)之和等于

A.50B.70C.80D.90

題型四：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和

1.（2021?廣西桂林?（理））首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為（）

A.62B.63C.66D.68

2.（2021?新蔡縣第一高級中學(xué)高二月考）已知等比數(shù)列｛q｝中，若邑=2,56=18,則親?等于（）

A.33B.5C.-31D.-3

3.（2021?全國）等比數(shù)列｛4｝中，a]=1,%=4%,，為｛4｝的前〃項(xiàng)和.若S,“=63,則〃?的值是（）

A.6B.7C.8D.不存在

4.（2021?威寧民族中學(xué)高一期中）若遞增的等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，％=1,2/-5%+2%=0,則Sf等于

（）

A.63B.64C.65D.66

5.（2021?西藏昌都市第一高級中學(xué)高二月考）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝中，己知4=2,%=16,求:

（1）%與公比4的值；

（2）數(shù)列前6項(xiàng)的和56.

6.（2021?金昌市第一中學(xué)高一期中（文））（1）在等差數(shù)列｛%｝中，已知卬5=33,%5=153,求4；

（2）在數(shù)列｛6｝中，q=2,an+x=2an,S“為｛〃”｝的前〃項(xiàng)和.若Sa=126,求”.

3

7.（2021?全國高二單元測試）在等比數(shù)列｛《J中，為=162,公比g=3,前〃項(xiàng)和S.=242,求首項(xiàng)％和項(xiàng)數(shù)〃.

4

第29講等比數(shù)列

1、等比數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,

這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母4表示（4工0）

符號語言與巴=4（或者?-=q（〃N2））（4為常數(shù)，q手0,nwN*）

an%I

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

一般地，對于等比數(shù)列｛g｝的第〃項(xiàng)?！坝泄?.這就是等比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，其中可為首項(xiàng),

4為公比.

3、等比中項(xiàng)

（1）前提：三個(gè)數(shù)4,G,b成等比數(shù)列.

（2）結(jié)論：G叫做a,b的等比中項(xiàng).

（3）滿足的關(guān)系式：G2=ab.

4、等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)

在等比數(shù)列｛&〃｝中，若m+n=p+q（m,n,p,qwN*）,貝心,”,%=4,4.

2

①特別地,當(dāng)加+〃=2左（加,〃，左eN"）時(shí)，am-an=ak

na｛q=1

5、等比數(shù)列前〃項(xiàng)和S〃二|。|（1一夕”）i

」?;一”,"1

I"q

6、等比數(shù)列中依次加項(xiàng)之和S,“，S2m-Sm,S3m-S2m,54?,-53,”「”組成公比為,'（qw—1）的等比數(shù)列

題型一：等比數(shù)列通項(xiàng)公式

1.（2021?云南師大附中高三月考（文））已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=1,%+%+%=7,則的6%=（）

A.12B.16

C.32D.64

【答案】D

【詳解】

因q+%+牝=q（l+q-+g'）=l+g-+g4=7,

所以解得］2=2或_3（舍去），所以寸=2.

2

所以a3a必=。屋”".可/=短=（9）?=64.

故選:D

2.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列｛4｝中，4=8,%=64,則％等于（）

A.16B.16或T6

C.32D.32或-32

【答案】C

【詳解】

5

由a.t=alq,得，=8,即<j=2,所以a3=—=32.

q

故選：C

3.（2021?新和縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）在數(shù)列｛/｝中，若q=3,a?+t=2an,則6=（）

A.24B.48C.96D.192

【答案】C

【詳解】

因?yàn)閝=3,an+t=2a?,所以｛%｝是等比數(shù)列，公比為9=-=2,

所以4=a"=3x2,=96.

故選：C.

4.（2021?陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學(xué)高二月考）公比為2的等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且。必。=16,則牝等于

（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【詳解】

由題知：>0

所以a；=g%0=16,即％=4,因此?！?守=2.

故選：B

5.（2021?寧夏銀川一中（文））已知等比數(shù)｛/｝滿足q%=3。洶，則數(shù)列｛4｝的公比1=（）

A.2B.-C.31）.v

32

【答案】C

【詳解】

由題意可得。46=3°引,

可得4=3.

故選：C

912

6.（2021?全國）在等比數(shù)列中，％=1,%=],4=]，則項(xiàng)數(shù)〃為（）

833

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】

在等比數(shù)列中，9⑸=1；,4=25，

o33

解得：〃=4,

6

故選：B.

題型二：等比中項(xiàng)

1.（2021?鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高一月考）在等比數(shù)列｛6,｝中，若。5=10，%=|，那么延等于（）

A.-5B.5C.±5D.25

【答案】C

【詳解】

由題意，等比數(shù)列｛%｝中，滿足為=10，%=g，

根據(jù)等比中項(xiàng)，可得北=%%=10xg=25,所以4=±5.

故選：C.

2.（2021?贛州市贛縣第三中學(xué)高二開學(xué)考試（理））在遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列｛見｝中，q和牝是方程X2-17X+16=0

的兩個(gè)根，則/=（）.

A.4B.-4C.±4D.2

【答案】A

【詳解】

[a=1fa=16

%和牝是方程r—17x+16=0的兩個(gè)根，故;=[6或a=]

因?yàn)椋鹮｝為遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列，故牝>q,故

又a；=4%且“3>0，故。3=4,

故選：A.

3.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））己知a,b,c成等比數(shù)列,且。=4/=2,貝ijc=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】

解：因?yàn)閍,4c成等比數(shù)列，所以〃=R，即4=4c,所以c=1

故選：A

4.（2021?全國高二專題練習(xí)）已知遞增等差數(shù)歹￡%｝嗎=1,且名為q+1與4+1的等比中項(xiàng)，則公差"=（）

A.1B.1或-3C.3或-1D.3

【答案】D

【詳解】

解：因?yàn)槌?1+"，。3=1+21,R。2為％+1與V+1的等比中項(xiàng)，

所以（l+d）2=（l+l）（2+2d）,解得d=3或-1（舍），

故選:D.

7

5.（2021?廣西浦北中學(xué)高一月考）2-若與2+后的等比中項(xiàng)是（）

A.1B.-1C.2D.-I或1

【答案】D

【詳解】

由題意可設(shè)2-后與2+JJ的等比中項(xiàng)是〃?，

則加2=（2-百）（2+百）=1,解得母=-1或加=1.

故選：D.

題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

1.（2021?全國）在等比數(shù)列|｛4“｝中，%。6a7=3,&=24,則%的值為（）

A.48B.72C.144I）.192

【答案】D

【詳解】

由=3，得=3,由a6a=24，得a；-24,

24

所以=U="T=8，所以的6a9=4%4應(yīng)3=24x8=192.

&3

故選：D.

2.（2021?南昌市豫章中學(xué)高二開學(xué)考試（文））設(shè)｛《,｝是等比數(shù)列，且《+%+%=1,叼+。,+%=2,則6+%+6=

（）

A.12B.2C.30D.32

【答案】D

【詳解】

解：因?yàn)椋??！埃堑缺葦?shù)列，所以數(shù)歹支。,,+。用+%+2｝也是等比數(shù)列，

因?yàn)閝+%+%=1,%+%+a4=2,所以｛?！?%+|+%+2｝的公比為4=2,所以%+%+。8=（。|+他+。3”5=32.

故選：D

3.（2021?建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）在等比數(shù)列｛叫中，為=24,%=6,則%=（）

A.12B.-15C.±12D.15

【答案】C

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)，4=?5=24x6=144,4=±12.

故選：C

4.（2021?青海海東?平安一中）在等比數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=4,則出嗎4等于（）

A.16B.32C.4D.8

【答案】A

【詳解】

解：因?yàn)樵诘缺葦?shù)列｛〃.｝中，6=4,

8

所以〃294=〃89=4x4=16,

故選：A

5.（2021?廣西浦北中學(xué)高二期中（文））已知等比數(shù)列｛q｝中，%%=16,則%的值等于（）

A.4B.8C.±4D.±8

【答案】C

【詳解】

,?,｛。”｝是等比數(shù)列，，/2=。3囚3=16,，出=±4.

故選：C.

6.（2021?全國高二單元測試）一個(gè)等比數(shù)列前"項(xiàng)的和為48,前2”項(xiàng)的和為60,則前3〃項(xiàng)的和為（）.

A.83B.108C.75D.63

【答案】D

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列前3〃項(xiàng)和為x,

I為為等比數(shù)列前〃項(xiàng)的和為48且不為零，則48,60-48,x-60成等比數(shù)歹IJ,

故48（x-60）=144,故x=63,

故選：D.

7.（2021?廣西平果二中高一期中）記等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,若$2=4,$4=20,則$6=（）

A.24B.28C.48D.84

【答案】D

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得邑,S&-S2,鼠-S4成等比數(shù)列，

所以（凡一邑）2=3仆（$6-$4）,即（20-4『=4x0-20）,解得久=84.

故選：D.

8.（2021?運(yùn)城市新康國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校）設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若$2=3,S,=15,則S,=（）

A.31B.32C.63D.64

【答案】C

【詳解】

因?yàn)镾”為等比數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和，所以邑，S「S2,S6-S4成等比數(shù)列，

2

fi/TlU（54-S2）=5,（S6-S4）,即（15-3『=3（￡-15）,解得邑=63.

故選：C

9.（2021?全國高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列｛《J中，如果。1+。2=40,+a4=60,那么。7+6=（）

A.135B.100

C.95D.80

【答案】A

【詳解】

9

由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)知，4+通，/+&，綺+&6，豈+%成等比數(shù)列，

其首項(xiàng)為40,公比為黑,，

所以紇+為=40乂（|）3=135.

故選：A

10.（2021?三亞華僑學(xué)校）己知等比數(shù)列｛《,｝中，《+%+%=40,%+6+4=20,則前9項(xiàng)之和等于

A.50B.70C.80D.90

【答案】B

【詳解】

解：因?yàn)榈乳L連續(xù)片段的和依然是等比數(shù)列，因此可知S3,s6S3,S9S”解得前9項(xiàng)的和為70,選B

題型四：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和

1.（2021?廣西桂林?（理））首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為（）

A.62B.63C.66I）.68

【答案】B

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛《,｝，q=l,公比g=2

（1-/1）_1-26_

則前6項(xiàng)和$6=3

——UJ

\-q1-2

故選：B

已知等比數(shù)列｛%｝中，若$3=2,$6=18,則金等于（）

2.（2021?新蔡縣第一高級中學(xué)高二月考）

A.33B.5C.-31D.-3

【答案】A

【詳解】

由題意，等比數(shù)列｛?！ǎ?3=2,$6=18,

田祖邑="qJ_q3=_12

可得$6%（1-4"d1+，解得4=2,

i-q

所以親==咨=1+4'=33.

§54。在一。）、1-0

1-g

故選：A.

3.（2021?全國）等比數(shù)列｛叫中，卬=1,%=4%，5.為｛叫的前〃項(xiàng)和.若與=63,則〃?的值是（）

A.6B.7C.8D.不存在

【答案】A

10

【詳解】

等比數(shù)列｛“"｝中，4=1,牝=4。3，則^=血=4,則［=±2.

a3

當(dāng)4=2時(shí)，若S,“=63,則有1X0_2''）=63,解得,”=6；

1-2

當(dāng)q=-2時(shí)，若S,“=63,則有I'J一（一2）］=63,整理可得（-2『=-188,無整數(shù)解.故"?=6.

1-（-2）

故選：A.

4.（2021?威寧民族中學(xué)高一期中）若遞增的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為，4=1,2勺-5%+2%=0,則S6等于

（）

A.63B.64