高考數(shù)學(xué)藝術(shù)生第48講正態(tài)分布（解析版）-年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（基礎(chǔ)版全國(guó)通用）

第48講正態(tài)分布

1.正態(tài)曲線及其性質(zhì)

1.正態(tài)曲線及其性質(zhì)

(1)正態(tài)曲線：

1

函數(shù)化”(x)=-A-e2/x&R,其中實(shí)數(shù)〃。(。>0)為參數(shù)，我們稱叫“(X)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,

簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.

⑵正態(tài)曲線的性質(zhì)：

①曲線位于X軸上方，與X軸不相交：

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線X=〃對(duì)稱；

③曲線在X=〃處達(dá)到峰值-7、一；

Y2兀(J

④曲線與x軸之間的面積為1；

⑤當(dāng)o■一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

⑥當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，。越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；。越小.曲線越“瘦高”.總

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)db(a<b),隨機(jī)變量X滿足尸(a<XMb)=J：e”(x)av則稱隨機(jī)變量X服從正

態(tài)分布(normaldistribution).正態(tài)分布完全由參數(shù)〃和。確定，因此正態(tài)分布常記作N(〃,(y2).如果隨機(jī)變量

X服從正態(tài)分布，則記為X?

3.正態(tài)總體三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值

①P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6826

②尸(〃—2cr<X<〃+2cr)=0.9544

③P(〃-3。<X4〃+3b)=0.9974

4.3o?原則

通常服從正態(tài)分布N(〃,4)的隨機(jī)變量X只取(〃-3。,〃+3cr)之間的值.

1

1.（2021?全國(guó)高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)隨機(jī)變量J?N（〃,4）,函數(shù)/（x）=f+2x-g沒有零點(diǎn)的概率是0.5,則

P（l<^<3）=（）

附：若則尸（〃一4〃+b）=0.683,P（〃一2cr4gW〃+2cr）=0.954.

A.0.1587B.0.1355C.0.27181）.0.3413

2.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）某軍工企業(yè)為某種型號(hào)的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服

從正態(tài)分布N0,3?）,從己經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機(jī)取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間［4,7］內(nèi)的概率為（）

（注：若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布則P（〃-b444〃+b）a68.3%,尸（〃一2bVgv〃+2b）”95.4%）

A.31.7%B.27.18%

C.13.55%D.4.5%

3.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某工廠生產(chǎn)一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑才（單位：mm）服從正態(tài)分布

X~N（100,l）.現(xiàn)加工10個(gè)螺栓的尺寸（單位:mm）如下：101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,

98.8,100.4,100.0.X?N（〃Q2）,有一（〃-2。W辰〃+2。）n0.954,0（〃-3。WXW〃+3。）p0.997.根據(jù)

行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機(jī)將其中的8個(gè)交與質(zhì)檢員檢驗(yàn)，則質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修的

概率為（）

444341

A.—B.-C.-D.—

455545

4.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量才服從正態(tài)分布即X?N（〃,"），且尸（〃一。〈后〃+。）弋0.682

6,若隨機(jī)變量hM5,1）,則尸（/>6）-（）

A.0.3413B.0.3174

C.0.1587D.0.1586

5.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布Ml,4）,若尸（2<4<3）=a,則尸（<-I）+P（l<J<2）=

（）

A.-----B.—ciC.a+0.003。1）.—1a

222

6.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（a,4）,且P（x>1）=0.5,則實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)分布圖如圖所示（由于人數(shù)

眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布），下列說(shuō)法中正確的是（）

2

A.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B.丙科總體的平均數(shù)最小

C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同

8.（2021?山東廣饒一中高三月考）設(shè)隨機(jī)變量J~N（O,1）,已知①（-1.96）=0.025,則尸（用<1.96）=（）

A.0.95B.0.05C.0.975D.0.425

9.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)h”（4，才），hM/,邕），這兩個(gè)正態(tài)曲線如圖所示，下列說(shuō)法正確的

是（）

A.戶（FW尸（FW〃2）

B.尸（瘧%）》。（后仆）

C.若伏0,則尸（朕力W尸（FW。

D.若K0,則。（4t）WP（所。

10.（2021?河南高二期末（理））某袋裝加碘食鹽的質(zhì)量X（單位：克）服從正態(tài)分布N（500,4）,某超市在進(jìn)貨

前要在廠家隨機(jī)抽檢這種食鹽100袋，則質(zhì)量在（498,504］內(nèi)的袋數(shù)約為（）

附：若X?'（"er?）,貝IJP（〃一b<XV〃+cr）=0.6826,尸（〃一2cr<XW〃+2。）=0.9544.

A.82B.80C.84D.86

11.（2021?濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高三開學(xué)考試）某地政府為解除空巢老年人缺少日常護(hù)理和社會(huì)照料的困境，大

力培育和發(fā)展養(yǎng)老護(hù)理服務(wù)市場(chǎng).從2016年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，下表是該地近五年新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)數(shù)量對(duì)照

表：

年份20162017201820192020

年份代碼（X）12345

新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)（?）1215202528

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，了與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求了關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程/=&+&：

（2）若該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人，他們的年齡X近似服從正態(tài)分布N（70,9）,其中年齡Xe（76,79］的有321人，試估

計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少人？

3

-A￡(%-初必一刃八

參考公式：線性回歸方程/=Ar+3,b=---------------，a=y-hx.

沙-亞

?=1

參考數(shù)據(jù)：P(y-2a<X<jU+2cr)=0.9545,尸(〃一3(rMX4〃+3cr)=0.9973

12.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似地服從正態(tài)分布M70,

100).已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12人.

(1)試問(wèn)此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為多少人？

(2)若成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)為優(yōu)，試問(wèn)此次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為多少人？

附正態(tài)分布3。概率表：

P(〃一?！措蕖?。)心0.6827,戶(〃一2?！床臰〃+2。)心0.9545,P(〃-3。<朕"+3。)Q0.9973

13.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量X?且其正態(tài)曲線在(-8,80)上是增函數(shù)，在(80,+

8)上為減函數(shù)，且尸(72<X<88)=0.6826.

(1)求參數(shù)〃，。的值.

⑵求尸(64<XV72).

附：若X~N(〃,CT2),則尸(〃-b<X4〃+b)=0.6826,-2b<X4〃+2b)=0.9544.

14.(2021?重慶市第七中學(xué)校高三月考)為了解大學(xué)生每年旅游消費(fèi)支出(單位：百元)的情況，相關(guān)部門隨機(jī)

抽取了某大學(xué)的1000名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：

組別[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

頻數(shù)22504502908

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出X服從正態(tài)分布N(51,15?).若該所大學(xué)共有學(xué)生65000人,

試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上；

(2)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在［80,100］范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生，現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回

訪，記選出的男生人數(shù)為Y.求丫的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：若X~N(〃,4)，則P(〃-cr<X<〃+b)=0.6826,尸(〃-2cr<X<〃+2b)=0.9544,

P(〃-3cr<X<〃+3b)=0.9973.

4

15.(2021?黑龍江哈爾濱三中高二月考)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)〃(〃充分大，且個(gè)零件，質(zhì)檢員

小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查.根

據(jù)多年的生產(chǎn)零件的數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，知這些零件的長(zhǎng)度d(單位：〃m)服從正態(tài)分布N(10,0.F),且相互獨(dú)立.若d

滿足9.744410.3,則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格.

(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為X,求P(XN2)及X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

附：若隨機(jī)變量€服從正態(tài)分布N(〃,(/),則P(〃一3bWg4〃+3b)彩0.9973,0.997350?0.8736，

0.99734,x0.0027*0.0024.

(2)小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一

個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元.為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其

余所有零件？試說(shuō)明理由.

5

第48講正態(tài)分布

1.正態(tài)曲線及其性質(zhì)

1.正態(tài)曲線及其性質(zhì)

(D正態(tài)曲線：

1

函數(shù)化”(x)=-A-e2/x&R,其中實(shí)數(shù)〃。(。>0)為參數(shù)，我們稱叫“(X)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,

簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.

⑵正態(tài)曲線的性質(zhì)：

①曲線位于X軸上方，與X軸不相交：

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線X=〃對(duì)稱；

③曲線在X=〃處達(dá)到峰值-7、一；

Y2兀(J

④曲線與x軸之間的面積為1；

⑤當(dāng)o■一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

⑥當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，。越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；。越小.曲線越“瘦高”.總

體分布越集中，如圖乙所示：

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)db(a<b),隨機(jī)變量X滿足尸(a<XMb)=J：e”(x)av則稱隨機(jī)變量X服從正

態(tài)分布(normaldistribution).正態(tài)分布完全由參數(shù)〃和。確定，因此正態(tài)分布常記作N(〃,(y2).如果隨機(jī)變量

X服從正態(tài)分布，則記為X?

3.正態(tài)總體三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值

①P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6826

②尸(〃—2cr<X<〃+2cr)=0.9544

③P(〃-3。<X4〃+3b)=0.9974

4.3o?原則

通常服從正態(tài)分布N(〃,4)的隨機(jī)變量X只取(〃-3。,〃+3cr)之間的值.

6

1.（2021?全國(guó)高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)隨機(jī)變量J?N（〃,4）,函數(shù)/（x）=f+2x-g沒有零點(diǎn)的概率是0.5,則

P（l<^<3）=（）

附：若J~N（〃,cr2）,則尸（〃一4〃+b）=0.683,P（/z-2cr<^</z+2cr）a：0.954.

A.0.1587B.0.1355C.0.27181）.0.3413

【答案】B

【詳解】

解：???函數(shù)/（耳=/+2》-&沒有零點(diǎn)，即方程/+2*-4=0無(wú)實(shí)根，

.?.A=4+M<0,：.^<-\,

又；/（x）=X2+2X-<沒有零點(diǎn)的概率是0.51尸代<-1）=0.5,

由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知〃=-1,

~N（-1,4）,//=—1,cr=2,

cr=-3,〃+b=1,〃-2。=-5,〃+2。=3,

/.P（-34O0.683,P（-5V3）=0.954,

P（l<^<3）=-[P（-5<^<3）-P（-3<^<l）]?^^^=0.1355.

故選：B.

2.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）某軍工企業(yè)為某種型號(hào)的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服

從正態(tài)分布N（l,32）,從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機(jī)取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間[4,7]內(nèi)的概率為（）

（注：若隨機(jī)變量4月及從正態(tài)分布N（〃,（r2）,則P（〃一b4j4，+b）*68.3%,P（，-2b444〃+2b）=95.4%）

A.31.7%B.27.18%

C.13.55%D.4.5%

【答案】C

【詳解】

P（4<^<7）=l[P（-5<^<7）-fl（-2<^<^],

《（95.4%-68.3%）=1355%.

故選：C.

3.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某工廠生產(chǎn)--種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑4（單位：mm）服從正態(tài)分布

7

X-N(1OO,1).現(xiàn)加工10個(gè)螺栓的尺寸(單位：mm)如下:101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101.1,

98.8,100.4,100.0.X?有產(chǎn)("-2?！措?。+2。)七0.954,尸(“-3。<才W〃+3。)比0.997.根據(jù)

行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機(jī)將其中的8個(gè)交與質(zhì)檢員檢驗(yàn)，則質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修的

概率為()

.44c4八3a41

A.—B.-C.-D.—

455545

【答案】B

【詳解】

依題意，10個(gè)螺栓的尺寸，只有103.2不在區(qū)間[97,103]內(nèi)，

工人隨機(jī)將其中的8個(gè)交與質(zhì)檢員檢驗(yàn)，質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修，則尺寸為103.2的螺栓在8個(gè)之中，

C74

所以質(zhì)檢員認(rèn)為設(shè)備需檢修的概率為景=1.

jo3

故選：B

4.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量才服從正態(tài)分布即X?N(〃,/)，且P(〃一?！磫ⅰ?。)-0.682

6,若隨機(jī)變量hM5,1),則P(/>6)弋()

A.0.3413B.0.3174

C.0.1587D.0.1586

【答案】C

【詳解】

由題設(shè)朕6)比0.6826,所以由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得P(126)=g[1—?(4<庇6)]gg(1—0.6826)七

0.1587.

故選：C

5.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))隨機(jī)變量《服從正態(tài)分布Ml,4),若P(2<J<3)=a,則尸(<<-1)+尸(1<&<2)=

()

\-a

B.——aC.。+0.003。D.一+。

22

【答案】B

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量4服從正態(tài)分布Ml,4),

所以正態(tài)曲線關(guān)于x=l對(duì)稱,

因?yàn)镻(2<4<3)=。,

所以尸(-l<4<0)=a,

因?yàn)镻(l<€<2)=尸(0<<<1),P?<-1)=P(^>3),

P(l<4<2)+P(0<g<l)+P(4<-1)+P(g>3)=l-P(-l<g<0)-P(2<J<3)=l-2a,

所以尸&<_1)+P(1<4<2)=5_0,

故選:B.

8

6.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,4）,且尸（x>l）=0.5,則實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（a,4）,

所以曲線關(guān)于x對(duì)稱，且尸（x>a）=0.5,

由尸(x>l)=0.5,可知a=l.

故選：A.

7.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）某市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成績(jī)的正態(tài)分布圖如圖所示（由于人數(shù)

眾多，成績(jī)分布的直方圖可視為正態(tài)分布）,下列說(shuō)法中正確的是（）

B.丙科總體的平均數(shù)最小

C.乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同

【答案】A

【詳解】

不妨設(shè)成績(jī)自服從正態(tài)分布

由正態(tài)曲線的性質(zhì)知,曲線的形狀由參數(shù)b確定，b越大，曲線越矮胖；o■越小，曲線越瘦高，艮0■是標(biāo)準(zhǔn)差，x=〃

為正態(tài)曲線的對(duì)稱軸,且〃為平均數(shù),

由題干所給圖像可知,甲科總體標(biāo)準(zhǔn)差最小，乙科總體標(biāo)準(zhǔn)差居中，丙科總體標(biāo)準(zhǔn)差最大，甲、乙、丙總體的平

均數(shù)相同，故A正確,BCD錯(cuò)誤.

故選：A.

8.（2021?山東廣饒一中高三月考）設(shè)隨機(jī)變量J~N（O,1）,已知①（-1.96）=0.025,則尸（田<1.96）=（）

A.0.95B.0.05C.0.9751）.0.425

【答案】A

【詳解】

P（團(tuán)<1.96）=2[|一?（"-1.96）]=2（；-0.025）=0.950.

故選：A.

9.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)a,2）,Y?限/。；），這兩個(gè)正態(tài)曲線如圖所示，下列說(shuō)法正確的

是（）

9

B.P（廬巴）》尸（后（72）

C.若KO,則P（后力WP（NWt）

D.若儀0,則。（杉t）WP（層8

【答案】D

【詳解】

由正態(tài)分布密度曲線圖象的對(duì)稱性知，A,<0<U..,由圖象形狀可得%>。10,如圖,

觀察圖象得：戶（FW〃2），A不正確；P（4%）WP（冷。，，B不正確；

由正態(tài)分布在區(qū)間上的概率的幾何意義知：若K0,則必啟。》以收。，P（4t）W尸（合力，C不正確，D正確.

故選：D

10.（2021?河南高二期末（理））某袋裝加碘食鹽的質(zhì)量X（單位：克）服從正態(tài)分布N（500,4）,某超市在進(jìn)貨

前要在廠家隨機(jī)抽檢這種食鹽100袋，則質(zhì)量在（498,504］內(nèi)的袋數(shù)約為（）

附：若X~N（M，/）,貝lj尸（〃一cr<X4〃+b）=0.6826,P（〃-2b<XW〃+2cr）=0.9544.

A.82B.80C.84D.86

【答案】A

【詳解】

因X~N（500,4）,則有〃=500,a=2,498=〃-cr,504=〃+2b,

于是得質(zhì)量X在（498,504］內(nèi)的概率為：

尸。<X<〃+2<r）=夕（〃-cr<X<//+CT）+夕（〃-2。<X<M+2（T）=!），6*~6,。：乃49=。3儂,

則有0.8185x100=81.85n82,

所以質(zhì)量在（498,504］內(nèi)的袋數(shù)約為82.

故選：A

11.（2021?濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高三開學(xué)考試）某地政府為解除空巢老年人缺少日常護(hù)理和社會(huì)照料的困境，大

力培育和發(fā)展養(yǎng)老護(hù)理服務(wù)市場(chǎng).從2016年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，下表是該地近五年新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)數(shù)量對(duì)照

表：

10

年份20162017201820192020

年份代碼(X)12345

新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)(?)1215202528

(i)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，歹與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法求了關(guān)于*的經(jīng)驗(yàn)回歸方程夕=晟+3

(2)若該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人，他們的年齡X近似服從正態(tài)分布N(70⑼，其中年齡Xe(76,79］的有321人，試估

計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少人？

A￡(玉-丁)觸-刃

參考公式：線性回歸方程？=宸+3,b=J---------,a=y-bx.

Z(x,-x)2

，=】

參考數(shù)據(jù)：P^-2a<X<jLi+2a)=0.9545,P(jLi-3a<X<p+3a)=0.9973

【答案】(1)j)=4.2x+7.4：(2)15000人.

【詳解】

(1)由題意知亍=；(1+2+3+4+5)=3,

歹=1(12+15+20+25+28)=20,

5

Z(x,-亍)(％-F)=16+5+0+5+16=42,

;=1

5

2(西一5)2=4+1+0+1+4=10,

1=1

A42

所以6=*4.2,

<5==20-4.2x3=7.4,

故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=4.2x+7.4；

09973-0954S

(2)由題可知，P(76<X^79>-—————=0.0214

該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有321+0.0214=15000(人)

該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人約有15000人.

12.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似地服從正態(tài)分布M70,

100).已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12人.

(1)試問(wèn)此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為多少人？

(2)若成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)為優(yōu)，試問(wèn)此次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為多少人？

附正態(tài)分布3。概率表：

尸(〃一。(朕，+。)30.6827,Ku-2。(收“+2。)比0.9545,。(〃-3?！磫ⅰ?3~0.9973

【答案】(1)527人；(2)84人.

【詳解】

(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績(jī)?yōu)橐驗(yàn)閔M70,100),

11

所以〃=70,<7=10.

則"(Z90)=/(啟50)=L[1—尸(50<*90)]

2

=!口一/(〃一2。<*〃+2。)]弋1X(1-0.9545)

22

=0.02275,

124-0.02275-527(人).

因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為527人.

(2)由P(杉80)=P(朕60)=1[1—〃(60<*80)]

2

=工[1-/("一O<X<P+<7)]=?1X(1-0.6827)

22

=0.15865,

527X0.15865~84(人).

因此，此次競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)的學(xué)生約為84人.

13.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量X~N(〃,〃)，且其正態(tài)曲線在(一8,80)上是增函數(shù)，在(80,+

8)上為減函數(shù),且尸(72<X488)=0.6826.

(1)求參數(shù)〃，。的值.

⑵求P(64<X472).

附：若X~N(4，cr2),則P(〃一b<X4〃+b)=0.6826,尸(〃-2b<XV〃+2(r)=0.9544.

【答案】(1)〃=80,cr=8；(2)0.1359.

【詳解】

(1)因?yàn)檎龖B(tài)曲線在(-8,80)上是增函數(shù)，在(80,+8)上是減函數(shù)，且正態(tài)曲線關(guān)于x=〃對(duì)稱，

所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱，即4=80,

因?yàn)槭?72<X488)=0.6826,尸(〃一b<XM〃+b)=0.6826

所以〃-b=72,"+b=88,解得，cr=8：

(2)因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于x=80對(duì)稱，

所以尸(X464)=P(X>96),

因?yàn)镻(〃-2cr<X4M+2b)=P(64<X<96)=0.9544,

所以P(X<64)=1(1-0.9544)=0.0228,

故P(X>64)=1-P(X<64)=0.9772,

又P(X<72)=|[1-尸(72<%<88)]=1(1-0.6826)=0.1587,

所以尸(X>72)簿08413,

故P(64<X<12)=P(X>64)-P(X>72)=0.1359.

14.(2021?重慶市第七中學(xué)校高三月考)為了解大學(xué)生每年旅游消費(fèi)支出(單位：百元)的情況，相關(guān)部門隨機(jī)

抽取了某大學(xué)的1000名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：

12

組別[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

頻數(shù)22504502908

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出X服從正態(tài)分布N(5L6).若該所大學(xué)共有學(xué)生65000人,

試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上；

(2)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在［80,100］范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生，現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回

訪，記選出的男生人數(shù)為Y.求y的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：若X~N(〃,cr，，貝lj尸(〃一cr<X<〃+cr)=0.6826,尸(〃一2cr<X<〃+2cr)=0.9544,

尸(〃-3cr<X<〃+3b)=0.9973.

【答案】(1)1482;(2)分布列為見解析，數(shù)學(xué)期望為9/

【詳解】

(1)由題意得：〃=51,b=15，z/+2b=81,根據(jù)正態(tài)分布的公式得到:

尸(x*+2b)J一Wb}<〃+2。)J=5446。228,

再乘以總數(shù)得到結(jié)果0.0228X65000=1482.

估計(jì)有1482位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上

(2)「的可能取值為0,1,2,3.

叩=。)哈福

15

P(丫