高三數(shù)學(xué)第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)講義

第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考試要求1.能畫(huà)出三角函數(shù)y=sin尤，y=cos尤，y=tanx的圖象，了解三角函

數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大（小）值；2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函

數(shù)在［0,2兀］上，正切函數(shù)在（甘，舒上的性質(zhì).

I基礎(chǔ)知識(shí)修斷回顧教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

⑴正弦函數(shù)產(chǎn)sinx,尤00,2兀］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,俘1）,

（71,0）,（挈，-1）,（2K,0）.

（2）余弦函數(shù)產(chǎn)cosx,x^［0,2兀］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,&0）,

（71,—1）,（苧，0）,（2TI,1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中％ez）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

木二

圖象tHp

TT

定義域RR1x|xGR,且xWE+q}

值域Ll，11IT，11R

最小正周期2兀2兀Tt

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

jrir

遞增區(qū)間2%兀-5，2E+^12%兀一兀,2&兀］

兀3兀

遞減區(qū)間2Z兀+3,2%兀+才［2攵兀,22兀+兀］無(wú)

俘。

對(duì)稱(chēng)中心(E,0))

對(duì)稱(chēng)軸方程x=ku無(wú)

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心、相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是半個(gè)周期，

相鄰的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是1個(gè)周期.正切曲線(xiàn)相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間的

距離是半個(gè)周期.

2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asincox或y=Atancox的形式，偶函數(shù)一般可

化為y=Acoscox+b的形式.

3.對(duì)于y=tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間

方，E+?(zez)內(nèi)為增函數(shù).

診斷自測(cè)

思考辨析、

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)余弦函數(shù)曠=85%的對(duì)稱(chēng)軸是y軸.()

(2)正切函在定義域內(nèi)是增函數(shù).()

(3)已知y=ksinx+l,xER,則y的最大值為％+1.()

(4)y=sin國(guó)是偶函數(shù).()

解析(1)余弦函數(shù)曠=85%的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)窮多條，y軸只是其中的一條.

(2)正切函數(shù)產(chǎn)tanx在每一個(gè)區(qū)間(也甘，左兀+卻:匕)上都是增函數(shù)，但在定

義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù).

(3)當(dāng)Q0時(shí)，ymax=A+l；當(dāng)攵<0時(shí)，ymax=—A+1.

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

教材衍化、

2.(新教材必修第一冊(cè)P213T3改編)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是()

A.y=|cosx+l|B.y=l-sinx

C.y=13sin(2x+7r)Dj=l—tanx

解析選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù)，選項(xiàng)B,D中的函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶

函數(shù);因?yàn)閥=-3sin(2x+it)=3sin2x,所以是奇函數(shù)，選C.

答案C

3.（老教材必修4P36T2改編）函數(shù)y=-5cos&-野+3的最小正周期為T(mén),最大值

為A,貝4()

3兀9

A.T=?rA=2B.T=]A=]

93

C.T=4nA=2D.T=2兀A=—2

2TT39

解析T=了=4兀，4=2+3=,

2

答案C

考題體驗(yàn)、

4.(2017.全國(guó)III卷)函數(shù)兀x)=gsin(x+1)+cos(x*)的最大值為()

A.1B.lC.1D.g

解析cos[一"=cos(x+^j=sin(x+如，則./(x)=gsin(x+,+sin(x+^

|sin^x+^,函數(shù)的最大值為.

答案A

5.（2019?北京卷）函數(shù)於）=sin22x的最小正周期是.

解析由降察公式得於）=sin22x=-2-=—；cos4x+*所以最小正周期T

27t71

T=2,

答案3

6.（2018?江蘇卷）已知函數(shù)產(chǎn)sin（2x+j-，<S局的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=^對(duì)稱(chēng)，則

<p的值是.

解析由函數(shù)y=sin（2x+s）（—江冶）的圖象關(guān)于直線(xiàn)尸三對(duì)稱(chēng)，得sin停+“

27rjrjrjrjr

=±1.所以與~+8=1+也伏62）,所以9=—5+E（&eZ）,又一］<s<5，所以（p=

71

6-

答案-I

I考點(diǎn)聚焦突破分類(lèi)講練，以例求法

考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域

【例1】(1)函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______.

i3nx1

(2)函數(shù)y=lg(sin的定義域?yàn)?

解析(1)要使函數(shù)有意義，必須有

'tanx—IWO,kGZ,

'兀即《

尤與+E,AGZ,L若十也，上ez.

故函數(shù)的定義域?yàn)椴非襵W5+E,左WZ).

sinx>0,[sinx>0,

⑵函數(shù)有意義，貝U1即

cosx-cos

[2左兀vx<兀+2女兀(&WZ),

解得1TTTT

[―(%￡Z),

jr

所以2Ev尢WQ+2E(%￡Z),

所以函數(shù)的定義域?yàn)椴穦2所<g+2加上ez}.

答案(1)卜氏工彳+桁，且

(2)1.r|2^7i<x<^+2Z：7r,々ez；

規(guī)律方法三角函數(shù)與基本初等函數(shù)復(fù)合，求其定義域，一般有以下幾種情形：

⑴分式中的分母不為零；

(2)偶次方根下的數(shù)(或式)大于等于零；

(3)指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于1;

(4)對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于1,真數(shù)大于零；

(5)由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子組成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子有意義的實(shí)數(shù)

的集合的交集.

【訓(xùn)練11（一題多解涵數(shù)尸#m兀一COSX的定義域?yàn)?

解析法一

要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx20.利用圖象，在同一

；5y=cosx

坐標(biāo)系中畫(huà)出［0,2兀］±y=sinx和y=cosx的圖象，如圖所示.萬(wàn)久、7

-1|逢y=sinx

jrSir

在［0,2兀］內(nèi)，滿(mǎn)足sinx=cosx的*為不彳，再結(jié)合正弦、余

弦函數(shù)的周期是2兀，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

,kRZ

法二利用三角函數(shù)線(xiàn)，畫(huà)出滿(mǎn)足條件的終邊范圍（如圖陰影部

分所示）.

所以定義域?yàn)椴?E+/&W2E+苧，

兀5兀

答案2E+『2也+彳（%ez）

考點(diǎn)二三角函數(shù)的值域(最值)

[例2]⑴函數(shù)y=sinx—cos(x+部勺值域?yàn)?

(2)函數(shù)?r)=sin2x+/cosx—翡￡0,方)的最大值是.

副七匚八、...近?1.3.

解析(1)?y=sinx—cosIl=sin%--y-cos-?+2sin^=281112cosx=

小sin(x-*),

函數(shù)y=sin無(wú)一cos(x+*的值域?yàn)閇—小，y/3].

(2)由題意可得|犬)=—COS2X+^/3COSX+(=—(COS%—坐＞+1.

八兀

.工￡0,2，???cos［0,1］.

COSX=2'即無(wú)=時(shí)，7U）max=l.

答案（1）［—事1（2）1

規(guī)律方法求解三角函數(shù)的值域（最值）常見(jiàn)三種類(lèi)型:

⑴形如y=asinx+/?cosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(cox+(p)+c的形式，再求值

域(最值);

(2)形如y=asin2%+/?sinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=r,化為關(guān)于/的二次函

數(shù)求值域(最值)；

(3)形如y=asinxcosx+A(sin壯cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)r=sinx土cosx,化

為關(guān)于，的二次函數(shù)求值域(最值).

【訓(xùn)練2】⑴(2020?衡水調(diào)研)已知函數(shù)/U)=sin(x+§,其中x?一?a,若於)

的值域是[一/1]，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

(2)函數(shù)y=sinx—cosx+sinxcosx的值域?yàn)?

解析⑴由X?—I，a,知x+臺(tái)—I，。+聿.

W時(shí)，段)的值域?yàn)橐唬唬?,

,由函數(shù)的圖象知依a+太?，.?.依忘兀.

ZOO3

(2)設(shè)r=sin%—cosx,

則^^sin^+cos2^—2sinxcosx,

j

sinxcosx=-且一巾ww啦.

p11

?"?y=一夏+，+]=一卯―1>+L

當(dāng)f=l時(shí)，ymax=l；當(dāng)f=—也時(shí)，ymin=lg一啦.

函數(shù)的值域?yàn)橐籎一霹，1.

答案(1)?71(2)1

考點(diǎn)三三角函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性…"多維探究

角度1三角函數(shù)的周期性

【例3—1](1)函數(shù)?x)=|tanx|的最小正周期是.

(2)函數(shù)?x)=cos2^—sin21》的最小正周期是.

解析(l)y=|tan衛(wèi)的圖象是>=1211x的圖象保留x軸上方部分，并將下方的部分

翻折到x軸上方得到的，所以其最小正周期為兀

出函數(shù)人幻=(：052|犬一5足*=以第3彳，最小正周期T=竽.

答案(1)71(2)y

規(guī)律方法三角函數(shù)周期的一般求法：(1)函數(shù)/(x)=Asin(①x+a)+Z和函數(shù)/(x)

2兀

=ACOS(GX+S)+攵的最小正周期T=[；(2)函數(shù)/(x)=Atan(①x+/)+Z的最小正

周期丁=合7T；◎)不能用公式求周期的函數(shù)，可考慮用圖象法求周期.

I

角度2三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

【例3—2](1)已知函數(shù)兀x)=asinx+cosx(a為常數(shù)，x6R)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=

,對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)g(x)=sinx+acosx的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)停0)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)伶，0)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于直線(xiàn)尸翔稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)尤=熱稱(chēng)

(2)若函數(shù)/(x)=sincox—小cos0x(e>0)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為M佯，0),距離點(diǎn)

M最近的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=/5兀，則8=________.

1O

解析(1)因?yàn)楹瘮?shù),*x)=asinx+cosx(a為常數(shù)，xCR)的圖象關(guān)于直線(xiàn)》=不對(duì)

稱(chēng)，

所以1苦"+；，a=*,

2小

所以g(x)=sinx

TTTTJT

函數(shù)g(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x+4=E+5(Aez),即尤=E+g(Z6Z),當(dāng)％=0時(shí)，

7T7T

對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=§,所以g(x)=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線(xiàn)龍=§對(duì)稱(chēng).

⑵函數(shù)fix)=sincox—小coscox=2sin(cox一鼻)，因?yàn)閳D象的對(duì)稱(chēng)中心為

AT倍，0），距離點(diǎn)M最近的一條對(duì)稱(chēng)軸為所以相Y=￡，即7=空.故0

\yJlolov43

答案（1）C（2）3

規(guī)律方法1.對(duì)于可化為方:）=Asin（0x+s）形式的函數(shù)，如果求人處的對(duì)稱(chēng)軸，只

JT

需令①X+9=]+E（&￡Z）,求x即可；如果求/U）的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令

①x+9=A兀（&WZ）,求x即可.

2.對(duì)于可化為/（X）=ACOS（GX+9）形式的函數(shù)，如果求“X）的對(duì)稱(chēng)軸，只需令外式+勿

7T

=E（Aez）,求x；如果求人幻的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，只需令sx+s=2+

E（ZWZ）,求x即可.

【訓(xùn)練3】（1）（角度1）已知函數(shù),/（x）=sin（（wx+s）（6o>0,初<方）的最小正周期為4兀，

且VxGR,有人外或號(hào)|成立，則_/U）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是（）

從音,0）B.?,0）

C.停o）D.停,o）

（2）（角度2）（2020.武漢調(diào)研）設(shè)函數(shù)段）=sin&+@fcos&+0）（|?；氐膱D象關(guān)

于y軸對(duì)稱(chēng)，則。=（）

兀兀

A飛B6

解析（1）由兀r）=sin（（yx+9）的最小正周期為4兀,

1

仔co=2-

恒成立，所以/（X）max=d

|TTTT

即/XQ+9=2+2桁(ZGZ),

又磔所以夕=小

I兀2兀

令，x+§=E（“eZ）,得x=2E—y（％eZ）,

故7U）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（2所一生，o）（zwz）,

當(dāng)上=0時(shí)，?x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（一系，0）.

（2求*）=sin（$+，）一*cos（$+

=2sin（］x十夕一§）,

由題意可得fi0）=2sin（。一W=±2,

（兀、ITJT

即sin（。一1J=±1,.?.e_q=1+E（Z￡Z）,

.\0=^+kTi（k^Z）.

?二I4專(zhuān)???攵=-i時(shí)，e=一專(zhuān)

答案（1）A（2）A

考點(diǎn)四三角函數(shù)的單調(diào)性….多維探究

角度1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例4一1】（1）（2020?岳陽(yáng)質(zhì)檢涵數(shù)產(chǎn)sin牛用，仲一2兀，2汨的單調(diào)遞增區(qū)

間是（）

5兀兀］「5兀7兀一

A-L-T'3JB.［一不，yj

兀?「2兀4兀

C.y2兀D.一百，y

（2）函數(shù)/U）=tan（2無(wú)十胃的單調(diào)遞增區(qū)間是.

解析⑴由2E-畀升畀2航+界eZ）得，

57r7T

4E—京WxW4E+g（Z￡Z）,

57rIT

又x￡［—2兀，2用，所以一

故尸sin住+部X引一2無(wú)，2兀］的單調(diào)遞增區(qū)間為—y,|.故選A.

71717r

⑵由攵兀一］＜2x+鏟E+/（攵￡Z）,

得冷-濟(jì)既+韌小

所以函數(shù)段）=tan（2x+1）的單調(diào)遞增區(qū)間為

X.*僅兀5兀左兀兀、

答案（1）A⑵仁?一五，萬(wàn)+?同（%ez）

規(guī)律方法求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=Asin@x+e）形

式，再求）；=Asin（sx+s）的單調(diào)區(qū)間，只需把④v+夕看作一個(gè)整體代入y=sinx

的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把①化為正數(shù).

角度2根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【例4—2】已知0〉0,函數(shù)於）=sin（ft＞x+￡）在俘兀）上單調(diào)遞減，則3的取值

范圍是.

7E

解析由］＜盤(pán)＜兀，ct?O得

CD71.717171

2I4<GX14<8兀~4，

7T3兀

又y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2桁+],2桁+彳，k^Z,

[等十注/2E,

所以<.kEZ,

,兀73兀?_.

[co兀十"十2E,

解得4女+吳①W2Z+akGZ.

又由4人+%(2%+翥W0,女SZ且2Z+沁kEZ,

得k=0,所以①e1.

規(guī)律方法對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)to的范圍的問(wèn)題，首

先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題利用特值驗(yàn)證排

除法求解更為簡(jiǎn)捷.

【訓(xùn)練4】(1)(閑度1)已知函數(shù)ZU)=2sin仔-2x),則函數(shù)段)的單調(diào)遞減區(qū)間為

()

3兀?7兀?

A.9+2也，9+2E(Z￡Z)

B一.一1兀+2也，3"兀^+2^71一(ZGZ)

-371,,7兀，，一

C.g+E,亙+E(A6Z)

71.,3兀，，

D.—g+E,至+E(&￡Z)

(2)(角度2)(2018.全國(guó)II卷)若/(x)=cosx—sinx在［―a,a］是減函數(shù)，則a的最大

值是()

,兀r兀-3兀一

A.^B，2C.彳D.n

解析(1)函數(shù)的解析式可化為人尤)=-2sin(2x—J.

ITIT7TJT37r

由2E—［W2E+］(ZGZ),得一r+EWxWw+E(女CZ),即函數(shù)/(x)的

ir3冗

單調(diào)遞減區(qū)間為一g+祈，w+E(%￡Z).

(2)/(x)=cos%—sinx=y/2co^x+,

jrJr

由題意得a〉0,故一。十丁不

因?yàn)開(kāi)ZW=/cos(x+；)在［—a,a］是減函數(shù)，

「a+?。,

所以<"%兀，解得。〈。嗡所以。的最大值是去

<a>0,

答案(1)D(2)A

分層限時(shí)訓(xùn)練分層訓(xùn)練，提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.函數(shù)y=Ssin2x+cos2x的最小正周期為（）

A兀門(mén)2兀

A-2BTC.71D.2兀

解析??、=2惇sain2x+]1cos2xJ=2sin（2x+^J,

2,

2兀

7=3=兀.

答案c

2.函數(shù)於）=-2tan（2x+看

A

C.*WE+看（MZ）

解析由正切函數(shù)的定義域，得2尤+/桁+畀GZ）,即x鬻+加ez）,故選

D.

答案D

3.若函數(shù)〉=面［①x+"在x=2處取得最大值，則正數(shù)口的最小值為（）

.兀c兀c兀

A-2B.gD6

解析由題意得，2。+*=升2E伙GZ）,解得①4十E伙ez）,.,.當(dāng)人

JT

=0時(shí)，（ymin=d，故選D.

答案D

4.若兀0為偶函數(shù)，且在（0,?上滿(mǎn)足：對(duì)任意XI<X2,都有（汨；二：（垃）>0,

則人犬）可以為（）

A./x）=cosCr+^JB./（x）=,in（兀+x）\

Cy(x)=-tanxD./(x)=1—2COS22X

解析??7（x）=cos（x+*yJ=—sinx為奇函數(shù)，.??排除A；/（x）=—tanx為奇函

數(shù)，，排除C；fix）=1—2cos2"=—cos4x為偶函數(shù)，且單調(diào)增區(qū)間為

jzjrLqrjr（jr\

y+4（Z：eZ）,排除D；?fin（兀+x）|=|sinx|為偶函數(shù)，且在（0,9上單

調(diào)遞增.

答案B

TT

5.（2019?昆明診斷）將函數(shù)/（x）=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g。）的

圖象，則g（x）具有性質(zhì)（）

A.周期為無(wú)，最大值為1,圖象關(guān)于直線(xiàn)》=方對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)

B.周期為兀，最大值為1,圖象關(guān)于點(diǎn)爵，0）對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)

C.周期為兀，最大值為1,在（一言，目上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)

D.周期為無(wú)，最大值為1,在（0,5上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

解析將函數(shù)凡r）=cos2x的圖象向右平移￡個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=cos（2x一耳=

sin2x的圖象，則函數(shù)g（x）的周期為兀，最大值為1,在（0,野上單調(diào)遞增，且為

奇函數(shù)，故選D.

答案D

二'填空題

6.函數(shù)y=cosq一的單調(diào)遞減區(qū)間為.

解析由y=cos（點(diǎn)一司=3（2九一

7T

得2攵兀?2尢一^^2也+兀（左￡2）,

jr

解得■（攵￡Z）,

OO

jr57r

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為E+g,E+^（ZCZ）.

答案E+方，kn+~^（Z：GZ）

7.（2018.北京卷）設(shè)函數(shù)/U）=cos（s—方）（（y>0）.若段長(zhǎng)信）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成

立，則①的最小值為.

解析由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，

..（出neo兀12T2

故人［=1，彳—d=2E（&￡Z）,??①=8Z+g（&￡Z）.又①>0,??Gmin=g.

答案I

8.（2020?合肥調(diào)研）已知函數(shù)段）=tan（1x一季），則下列說(shuō)法正確的是（填

序號(hào)）.

刨x）的周期是全

②/□）的值域是｛>|y￡R,且yWO｝；

③直線(xiàn)x=于是函數(shù)危）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；

④Ax）的單調(diào)遞減區(qū)間是12E—于，2E+1,kGZ.

解析函數(shù)人x）的周期為2兀，①錯(cuò)；?v）的值域?yàn)椋?，+8）,②錯(cuò)；當(dāng)尤=苧時(shí)，

7=,%ez,，x=等不是y（x）的對(duì)稱(chēng)軸，③錯(cuò)；令^71—

WE,kez,可得2左兀一牛<xW2E+W，kGZ,.,.於）的單調(diào)遞減區(qū)間是

（27c兀

（2E—y，2E+g,Z6Z,④正確.

答案④

三'解答題

9.（2018?北京卷）已知函數(shù)於）=sin2x+，5sinXCOSX.

（1）求凡r）的最小正周期；

⑵若於）在區(qū)間［一］兀,T1上的最大值為宗3求機(jī)的最小值.

解（1次x）=g—；cos2x+乎sinlx

=siQ*

+2-

所以7（x）的最小正周期為丁=2=兀

由題意知一jr代xW機(jī)，

所以一手忘2%—22加一點(diǎn).

000

要使得於）在［一?兀可［上的最大值為去3

即sin（2x一日）在［一?上的最大值為1.

所以2加一會(huì)號(hào)即〃z器

故實(shí)數(shù)m的最小值為全

10.已知函數(shù)/（x）=sincox—cos①x（①>0）的最小正周期為兀.

（1）求函數(shù)y=/（九）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；

JT

（2）討論函數(shù)段）在|_0,引上的單調(diào)性.

解（》x）=sincox—cos①x=&sin（s—爭(zhēng)，且T=兀，Aco=2,f（x）=

啦sin（2人一"

令2%-3=E+4（A0Z）,得工=與+金&WZ）,

即函數(shù)於溷象的對(duì)稱(chēng)軸方程為廣竽+引心及

⑵令2桁一打2%一牌2也+會(huì)正為,得函數(shù)以）的單調(diào)遞增區(qū)間為

TTSjT7T7T

E—g,E+至（女WZ）.注意到xS0,1,所以令Z=0,得函數(shù)./U）在0,］上的

3irITir27r

單調(diào)遞增區(qū)間為［o,y_|；令升學(xué)+2EgZ）,得函數(shù)危）的單調(diào)

37r77rir

遞減區(qū)間為［E+管，E+號(hào)伙ez）,令攵=0,得段）在0,為上的單調(diào)遞減區(qū)間

/囪三一

B級(jí)能力提升

sinx,xW?

則下列結(jié)論正確的是（）

兀

{COSX,

A.yu）是周期函數(shù)

B.#X）是奇函數(shù)

C人X）的圖象關(guān)于直線(xiàn)尤=:對(duì)稱(chēng)

D./U）在了處取得最大值

解析作出函數(shù)7U）的圖象，如圖所示，由圖象可知函數(shù)ZU）不是周期函數(shù)，所

以A不正確；同時(shí)圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以不是奇函數(shù)，所以B不正確；

若x>0,則詹+x)=cos佯+x=2（cosx-sinX）,

此時(shí)冊(cè)+x)=;(j_q；

若xWO,貝!］《；+x)=sin仔+J=￥(cosx+sinx),

此時(shí)年+x）=7（?—J,綜上,恒有4+%）=/售—即圖象關(guān)于直線(xiàn)尤=￡對(duì)

稱(chēng)，所以C正確；當(dāng)尸爭(zhēng)時(shí)，O=cos:=0不是函數(shù)的最大值，所以D錯(cuò)

誤，故選C.

I

~21T-b:~\i^°IWl"2""

答案c

12.(2019?長(zhǎng)沙模擬)已知P(l,2)是函數(shù)危)=Asin((ux+9)(A>0,①>0)圖象的一個(gè)

n3

最高點(diǎn)，B,C是與P相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn)，設(shè)NBPC=O,若tan5=不則凡r)圖

象的對(duì)稱(chēng)中心可以是()

A.(0,0)B.(l,0)

cQ,0)DQ,0)

解析由已知作出圖形，連接BC,過(guò)P作BC的垂線(xiàn)，如圖所示.

1

-BC

。23

-

由題意知A=2.又N3PC=0,2-2X24

高，又解得&>=?所以兀x)=2sin(1x+，.將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入函數(shù)解

析式，得2sin(j+可=2,解得s=d+2E(ZWZ).令2=0,得8=%,所以/)=

2sin住龍十襲).令$+2=m(〃?eZ),解得x=3機(jī)一；O6Z).令m=l,得x=|,即

?x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心可以是(|,0).故選D.

答案D