常微分方程第次課

常微分方程主講人：劉祚秋副教授教材及參考書

教材：

常微分教程，丁同仁、李承治編，高等教育出版社參考書：1.《常微分方程》（第三版），

王高雄，周之銘，朱思銘等，高等教育出版社。2.《常微分方程基礎》，C.HenryEdwards等，機械工業(yè)出版社；3.《常微分方程講義》，王柔懷、伍卓群編，人民教育出版社；1如何建立微分方程（方程組）？2如何求解常微分方程（方程組）？3微分方程的基本理論：解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性和幾何意義？4初值問題和邊值問題主要內容本課程包括哪些內容？目的：利用微積分的思想，結合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學理論本身和其它學科中出現(xiàn)的一些最重要也是最基本的微分方程問題。第一章基本概念（掌握）第二章初等積分法（掌握）第三章存在和唯一性定理（了解）第四章奇解（了解）第五章高階微分方程組（了解）第六章線性微分方程組（掌握、重點）教材內容及學時安排考核方式成績考核：平時作業(yè)（20%），考勤（15%）、課堂討論（5%），期末考試（閉卷考試、60%，）（作業(yè)、考勤、討論成績期末考前給出）答疑時間：課后或到辦公室（工學院B304H）本次課程主要內容1、常微分方程的發(fā)展簡史2、什么是微分方程？3、微分方程一些應用常微分方程是一門具有悠久歷史的學科，幾乎與微積分同時誕生于1676年前后，至今已有300多年的歷史了。在常微分方程發(fā)展的初期階段，人們主要是針對實際問題提出的各種方程，用積分的方法求其精確的解析表達式，這就是人們常說的初等積分法。這種研究方法一直延續(xù)到1841年前后，其歷史有160多年。促使人們放棄這一研究方法的原因，歸結到1841年劉維爾(Liouville1809-1882)的一篇著名論文,他證明了大多數(shù)常微分方程不能用初等積分法求解。常微分方程發(fā)展簡介在劉維爾這一工作之后，常微分方程進入了基礎定理和新型分析方法的研究階段，其主要代表性工作是：

1.19世紀中葉，主要由柯西等人完成的奠定性工作：解的存在唯一性定理，以及拉格朗日等人對線性常微分方程的系統(tǒng)性研究工作。

2.19世紀末，20世紀初，由龐卡萊和李雅普諾夫分別創(chuàng)立了常微分方程定性理論和穩(wěn)定性理論，這些工作的主要特點是不用求出方程的解，可直接從方程本身討論其解的性質，這代表了一種嶄新的研究非線性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影響到今天常微分方程發(fā)展簡介常微分方程的應用領域常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航空航天、醫(yī)學、經濟和金融領域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓的運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結為對相應的常微分方程描述的數(shù)學模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學的各個領域。內容創(chuàng)及研句究方尋法經典田部分表：以數(shù)僅學分繪析、鍵高等蔑代數(shù)提為工命具，皆以求秒微分歲方程雖的解恨為主垃要目綿的現(xiàn)代哥部分司：主要坦是用梢泛函押分析踩、拓姥撲學就等知獄識來己研究限解的歲性質研究幻玉方法豬：解析攪方法范、京幾何詢方法謠、數(shù)島值方策法解決孤科學里問題堵的過讓程數(shù)值妄計算知方法實際鉗問題數(shù)學駱模型數(shù)值煮問題程序擱設計數(shù)值銷解解析刪解第一孤步注：建立甚實際叉問題智的數(shù)裕學模臺型一受般是糾比較怨困難西的，保既需囑要熟釀悉與貴問題認有關欣的自煮然規(guī)菠律，起又需暑要有捆一定展的數(shù)彈學知讀識。假設什么天是微盜分方竹程？建立落數(shù)學稿模型,當問固題涉繡及變鳳量的京變化材率時,該模陳型就喂是微尤分方質程.聯(lián)系朵著自虧變量,未知煙函數(shù)陪及其系導數(shù)掩的等泡式.微分滴方程濟理論降及方控法是廟研究壯自然膜規(guī)律娛和社射會規(guī)米律的燥最為秋基本雖的數(shù)鋼學理礙論和遲方法.什么惕是微夫分方虎程？粒它是籌怎樣眠產生還的？客觀饑現(xiàn)實柿世界兄運動過剃程中域量與餃量之間缺的關明系簡單濾問題想，直遙接寫槐出表扎達式升：函數(shù)杠關系驗式—數(shù)學窄分析無中研岸究稍復鍵雜些葵的問授題，帳往往褲不能剝直接汗寫出藍函數(shù)頌表達診式，倦但容鋪易建自立這緞些變彼量和財它們招的導銷數(shù)（燭或微意分）轟的關遙系式紙：微齡分方烏程微分喇方程懲：聯(lián)系國著自坐變量選、未互知函管數(shù)以知及未該知函米數(shù)的優(yōu)導數(shù)(或微廳分）憑的關冰系式,其中戚未知場函數(shù)翅的導禁數(shù)或缸微分守是不倒可缺少的任。如趙果在猛微分口方程乏中，課自變澇量個林數(shù)只翻有一洋個，稻我們字稱這種繡微分組方程居為常微譜分方碼程(o疼rd恨in歡ar怕y她di銹ff茄er濱en秒ti煌al額e碑qu哨at賽io或ns節(jié))微分挑方程棗的應券用自然醋科學:物理赤、化閑學、熊生物搖、工忠程、肥航空牛航天島、醫(yī)吵學等藥學科工領域菜。社會屆科學:經濟、金融慰等領服域例如惡：牛裳頓第醋二定架律、爭萬有贏引力鋤定律潑、機可械能突守恒桐定律墓，能卵量守飽恒定挎律、瓶人口宮發(fā)展講規(guī)律佛、生辟態(tài)種角群競店爭、遼疾病樸傳染蹈、遺銳傳基稼因變田異、冬股票壯的漲休伏趨勸勢、蔑利率竹的浮職動、漫市場廟均衡脫價格歸的變觀化等垮。例1鐳的館衰變回規(guī)律微分油方程遭舉例已知鄭鐳的催衰變謎速律讓與其看質量鋪成正棕比，辱設t＝0時刻宿，有克鐳便，試業(yè)確定恐時刻t鐳剩且余的廣質量解:設t時刻敞鐳的漢質量趟為R（t）即鐳開元素軟的存綢量是扒指數(shù)釣規(guī)律驅衰減孩的.將某糖物體神放置蕉于空糟氣中,在時脆刻時,測得狗它的浸溫度慈為10分鐘暈后測哥量得放溫度休為試確涼定此物體的濃溫度和時沸間的關盛系.例2物理啟冷卻照過程優(yōu)的數(shù)磁學模叮型Ne蘋wt蘆on冷卻走定律:1.熱量負總是恒從溫抱度高仍的物曾體向俗溫度知低的攜物體與傳導;2.在一迎定的舞溫度替范圍摸內,一個渣物體報的溫孩度變案化速攤度與汽這一瞇物體媽的溫比度與唱其所遍在的滲介質斷的溫扶度之森差成貪正比.設物燃體在割時刻的溫性度為根據堅導數(shù)牲的物玩理意腿義,則溫度戰(zhàn)的變轉化速溪度為由Ne白wt盲on冷卻判定律,得到其中為比童例系膽數(shù).此數(shù)霧學關柏系式極就是照物體堆冷卻岔過程評的數(shù)平學模閑型.注意:此式劫子并米不是夠直接線給出和之間道的函霜數(shù)關才系,而只預是給泊出了概未知叼函數(shù)百的導杠數(shù)與鍛未知病函數(shù)書之間糾的關辰系式。如何把求解覺？解:“姆川潘巴?，F(xiàn)象趴”：飛熱牛督奶比侄冷牛申奶先雨結冰贏？由(2梳)就可救以求以任何緊時刻t物體襪的溫相度u的數(shù)宗值：，用這一結果可解釋實際問題。有k和c兩個涉未知宣數(shù)待嬌確定拳。兩個榮已知爽條件謀：式（1）是掘一階狠線性闖微分樓方程鳳，解才之上例男求解慘結果貪的圖子例，用這一結果可解釋實際問題。模型駝建立模型械求解模型擠應用回顧和整個攔求解胡過程堪：推而秩廣之次！“姆壇潘巴業(yè)現(xiàn)象泉”：移熱牛鞋奶比絲式冷牛忍奶先止結冰阻？例3史R廣-L陵-C電路如圖墊所示登的R-迫L-糖C電路.它包睜含電嚴感L,電阻R,電容C及電框源e(茅t)債.設L,枯R,惑C均為膜常數(shù),e炭(t拜)是時物間t的已仁知函潤數(shù).試求出當開異關K合上炭后,電路巷中電盛流強淘度I與時幻玉間t之間睜的關況系.電路揪的Ki廢rc糧hh行of挪f第二柜定律:設當算開關K合上浪后,電路喘中在徐時刻t的電齡流強繁度為I(自t)聯(lián),則電違流經過劃電感L,電阻R和電抄容的襖電壓擇降分績別為其中Q為電嚇量,于是窮由Ki參rc砌hh柄of斃f第二每定律,得到因為于是勻得到這就威是電謠流強壓度I與時牢間t所滿湯足的等數(shù)學仿關系鈔式.解:在閉纖合回蓮路中,所有檢支路職上的畢電壓紋的代呢數(shù)和袍為零.例4傳染海病模娃型:解:根據克題設,每個濃病人踩每天披可使由于子病人掘總人辟數(shù)為所以去每天找共