自動化車床管理的數(shù)學建模問題

題目：自動化車床管理的數(shù)學建模問題摘要本文討論了自動化車床連續(xù)加工零件的工序定期檢查和刀具更換的最優(yōu)策略。我們根據(jù)原始數(shù)據(jù)利用EXCEL軟件進行統(tǒng)計分析，得出刀具正常工作時長的函數(shù)，建立了以期望損失費用為目標函數(shù)的數(shù)學模型。問題一，我們假設所有的檢查為等間距，以檢查到的零件是否為次品來判定工序是否正常，若一直未出現(xiàn)故障則當加工到定期換刀時刻就換刀，利用概率論的相關知識，求出一個周期內的期望損失費用和期望零件個數(shù)，建立了以零件的期望損失費為目標函數(shù)的隨機優(yōu)化模型，求解得檢查間隔，換刀間隔，每個零件的期望損失費用。問題二，不管工序是否正常都有可能出現(xiàn)正品和次品，在問題一的基礎上調整了檢查間隔中的不合格品所帶來的損失費用，同時加上了因誤檢停機而產生的費用，求出期望損失費用和期望零件個數(shù)，建立了以每個零件的期望損失費用為目標函數(shù)的隨機優(yōu)化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，每個零件的期望損失費用。問題三，在問題二的基礎上將工序正常工作的時間長由開始的近似等于刀具無故障工作的時間長，改進為刀具無故障工作時間長的95%，其它的故障近似服從均勻分布，求出一個周期內的期望損失費用和零件個數(shù)，建立了以每個零件的期望損失費用為目標的隨機優(yōu)化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，期望損失費用。關鍵詞：自動化車床管理檢查間隔換刀間隔一、問題重述一道工序用自動化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占90%，其他故障僅占10%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機的，假定在生產任一零件時出現(xiàn)故障的機會均相同。工作人員通過檢查零件來確定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)積累有150次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時該刀具完成的零件數(shù)如附件表。現(xiàn)計劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。已知生產工序的費用參數(shù)如下：故障時產出的零件損失費用f=300元/件；進行檢查的費用t=20元/次；發(fā)現(xiàn)故障進行調節(jié)使恢復正常的平均費用d=3000元/次（包括刀具費）；未發(fā)現(xiàn)故障時更換一把新刀具的費用k=1200元/次。1）假定工序故障時產出的零件均為不合格品，正常時產出的零件均為合格品，試對該工序設計效益最好的檢查間隔（生產多少零件檢查一次）和刀具更換策略。2）如果該工序正常時產出的零件不全是合格品，有1%為不合格品；而工序故障時產出的零件有25%為合格品，75%為不合格品。工序正常而誤認有故障停機產生的損失費用為1500元/次。對該工序設計效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。3）在（2）的情況，可否改進檢查方式獲得更高的效益。附：150次刀具故障記錄（完成的零件數(shù)）311460975463708666398771532474538740651458407420467207457337759488509486539218715509647565314613530578599319574647730481597589628132316601484440372477497591243587172668865362678382389673749836468384548643563526749487417649570214527308553743747619656525372607620726379605280586763851653492528607590590779576651249560723927449644325619734320599754433521971175582549549375802256557529678567656627502708531503452677524539212309573673398408592447463415594五、模型建立與求解5.1數(shù)據(jù)處理5.1.1刀具正常工作的時間長的概率密度函數(shù)題中附錄給出了150次刀具故障的記錄，我們利用了EXCEL軟件對這些數(shù)據(jù)進行了相關的統(tǒng)計分析。我們采用了假設檢驗下的NPar檢驗來對其進行正態(tài)分布的檢驗，在顯著性水平時，發(fā)現(xiàn)刀具故障服從正態(tài)分布，其中。由此可知概率密度函數(shù)圖下面我們對正態(tài)分布進行檢驗：卡方檢驗是一種用途很廣的計數(shù)資料的假設檢驗方法。它屬于非參數(shù)檢驗的范疇，主要是比較兩個及兩個以上樣本率(構成比）以及兩個分類變量的關聯(lián)性分析。其根本思想就是在于比較理論頻數(shù)和實際頻數(shù)的吻合程度或擬合優(yōu)度問題。利用擬合檢驗法進行檢驗，我們用刀具壽命的最大值減去最小值，取70為區(qū)間長度，將其分成了12個區(qū)間，分別算它們的頻數(shù)，其中由于最后兩個區(qū)間的頻數(shù)都為3，根據(jù)檢驗的原則，我們將它們合并為一個區(qū)間，再計算各數(shù)值在區(qū)間出現(xiàn)的概率，其中n=70,得到表1所示數(shù)據(jù)：表1：各區(qū)間內數(shù)據(jù)區(qū)間頻數(shù)130.5~200.5391.954.62200.5~270.57494.6910.45270.5~340.5101009.1010.99340.5~410.51214415.549.27410.5~480.51728921.6913.32480.5~550.52772924.6729.55550.5~620.53196124.6039.06620.5~690.51936120.0018.05690.5~760.51419613.5514.46760.5~830.54167.522.13830.5~900.5392.513.58900.5~975.5392.663.38在顯著性水平下，結果如下：，因為，在可接受區(qū)間內，故服從正態(tài)分布。5.1.2刀具更換間隔在定期更換刀具之前，我們采用了等間距檢查的方式對零件進行檢查，若出現(xiàn)故障則進行調節(jié)使其恢復正常，若沒有檢查出故障，則到了定期更換刀具時刻進行換刀，為了簡化模型，我們假定在正常換刀之健康前進行的是整數(shù)次檢查，即。5.2模型一的建立與求解5.2.1模型一的建立如果在換刀之前未發(fā)生故障，則損失包括兩部分：（1）檢查費用；（2）更換刀具費用；則此種情況下總的損失為；如果在換刀之前發(fā)生了故障，此時實際檢查次數(shù)為，假設前次檢查生產的都是正品，個數(shù)為，則次品的個數(shù)為，此時損失包括三部分：（1）檢查費用為；（2）發(fā)現(xiàn)故障進行調節(jié)使恢復正常的費用；（3）損失費用；則此種情況下總的損失費用為期望損失為：期望零件個數(shù)：每個零件的期望損失費用：即，要使期望損失費用達到最低，則等價于求最佳的，使達到最小。5.2.2模型一的求解利用MATLAB對上述模型進行求解，可得到，，。即每生產31個零件檢查一次，生產248個零件后進行定期換刀，每個零件的期望損失費用為7.3693。5.3模型二的建立與求解5.3.1模型二的建立如果在換刀之前未發(fā)生故障，則在換刀時刻已經生產的零件個數(shù)為，根據(jù)題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費用包括四部分：（1）檢查費用：；（2）誤檢停機費用：；（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）更換刀具費用：；則此種情況下總的損失費用為：如果在換刀之前已經發(fā)生故障，假設第次檢查出故障，則此時已經生產的零件個數(shù)為：，前次檢查都是正常工作的，未發(fā)生故障時生產的零件個數(shù)為，發(fā)生故障后生產的零件個數(shù)為：，根據(jù)題中信息，我們可知，正常工作時次品率為1%，發(fā)生故障時次品率為75%，則損失費用包括五部分：（1）檢查費用：；（2）誤檢停機費用：；（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）發(fā)現(xiàn)故障進行調節(jié)使恢復正常的費用；（5）發(fā)生故障后次品的損失費用：則此種情況下總的損失費用為：期望損失為：期望零件個數(shù)：每個零件的期望損失費用：即，要使平均損失費用達到最低，則等價于求最佳的，使達到最小。5.3.2模型二的求解利用MATLAB對上述模型進行求解，可得到，，。即每生產40個零件檢查一次，生產240個零件后進行定期換刀，每個零件的期望損失費用為10.779。5.4模型三的建立與求解5.4.1模型三的建立在實際情況下，在工序過程中，各個時間發(fā)生故障的概率是不同的，而第二問采取的等間隔檢查就在一定程度上浪費了這個條件，而且在第二問中誤檢，漏檢的概率比較大，因此我們針對這兩點采取改進措施：非等距檢查，連續(xù)檢查法。非等距檢查如上圖所示，若每個周期內需要檢查n次，我們根據(jù)概率密度曲線，把無故障換刀點之前的面積平分成n份，S1=S2=……Sn即可以求得每個檢查點的位置，每兩個檢查點發(fā)生故障的概率就趨于平均。能大大提高檢查效率。連續(xù)檢查法連續(xù)檢查法是為了減少誤差和漏檢的概率，連續(xù)檢查法描述如下：一次性檢查兩個零件1、若兩個零件都為合格品，則判斷無故障2、若兩個零件都為不合格品，則判斷故障3、若兩個零件，一個為合格品，一個為不合格品，則再檢查一個零件，根據(jù)第三個零件進行判斷。根據(jù)上面檢查法，我們分別計算在這種檢查法的情況下誤檢與漏檢的概率P與期望檢查的費用Q誤檢：誤檢發(fā)生在正常工序階段，在上面的檢查法中，只有2和3的情況會發(fā)生誤檢。P2=0.01*0.01=0.0001P3=2*0.01*0.99*0.01=0.000198P(1)=P2+P3=0.000298Q(1)=（0.01*0.01+0.99*0.99）*25+2*0.01*0.99*75=25.99漏檢：漏檢發(fā)生在故障工序階段，在上面的檢查法中只有1和3才會發(fā)生漏檢P1=0.25*0.25=0.0625P3=2*0.25*0.75*0.25=0.09375P(2)=P1+P3=0.15625Q(2)=(0.25*0.25+0.75*0.75)*25+2*0.25*0.75*75=43.75采用這種連續(xù)檢查法，我們發(fā)現(xiàn)漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比較明顯變小，達到了理想的結果。假設此時工序正常工作的時間長的概率密度函數(shù)為，則根據(jù)模型二中的相關知識，建立的模型如下：如果在換刀之前未發(fā)生故障，則在換刀時刻已經生產的零件個數(shù)為，根據(jù)題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費用包括四部分：（1）檢查費用：；（2）誤檢停機費用：（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）更換刀具費用：；則此種情況下總的損失費用為：如果在換刀之前已經發(fā)生故障，假設第次檢查出故障，則此時已經生產的零件個數(shù)為：，前次檢查都是正常工作的，未發(fā)生故障時生產的零件個數(shù)為，發(fā)生故障后生產的零件個數(shù)為：，根據(jù)題中信息，我們可知，正常工作時次品率為0.000298，發(fā)生故障時次品率為0.84375，則損失費用包括五部分：（1）檢查費用：；（2）誤檢停機費用：；（3）正常工作時的次品損失費用：；（4）發(fā)現(xiàn)故障進行調節(jié)使恢復正常的費用；（5）發(fā)生故障后次品的損失費用：[(n+1)*t0-x]*f*0.84375則此種情況下總的損失費用為：Ln=(n+1)*t0+h*n*0.000298+x*f*0.000298+d+[(n+1)*t0-x]*f*0.84375期望損失為：期望零件個數(shù)：期望損失費用：即，要使平均損失費用達到最低，則等價于求最佳的，使達到最小。5.4.2模型三的求解利用MATLAB對上述模型進行求解，可得到，，。即每生產41個零件檢查一次，生產246個零件后進行定期換刀，期望損失費用為7.9118。采用這種連續(xù)檢查法，漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比較明顯變小，達到了理想的結果。三種模型比較模型一模型二模型三t0(檢查間隔)312798.5169t1(換刀周期)4527013.3740L（期望損失）452709.6568六、結果分析6.1模型一的評價此模型采用了等間隔檢查的方式，簡化了模型，其中對損失費用分兩種情況討論，簡單明了，易于理解。將求解最佳檢查間隔和換刀間隔轉化求解最小期望損失費用，使模型的目標性更強。但此模型為等間隔檢查，在兩次檢查中次品率可能會很高，這樣次品損失費用就會增加。6.2模型二的評價此模型考慮了工序正常工作和工序出現(xiàn)故障時產生的次品率，利用概率的相關知識，對模型簡化，最后將求解最佳檢查間隔和換刀間隔轉化求解最小期望損失費用，使模型的目標性更強。但模型考慮的是等間隔檢查，當發(fā)現(xiàn)次品時就停機檢查，誤檢停機費用會增加，發(fā)現(xiàn)正品時就繼續(xù)生產，次品損失費會增加。6.3模型三的評價此模型考慮到了等間隔檢查的方式并不合理，因為在工序過程中，各個時間發(fā)生故障的概率是不同的，所以應該采取非等間隔方式，大致是“前疏后密”，考慮到第二問中誤檢，漏檢的概率比較大，所以采用連續(xù)檢查法，降低誤檢率和漏檢率，進而減小期望損失。6.4模型的優(yōu)點1、本文建模思想易于理解，模型操作性強；2、對零件的檢查采取了等間隔抽查，簡化了模型，使模型便于建立和求解；3、將每個零件的平均損失費用作為目標函數(shù)，建立了評估體系，既有利于求出模型的最優(yōu)解，又比較符合實際生產中企業(yè)取舍方案的標準；6.5模型的缺點1、我們沒有對模型進行模擬仿真：2、在模型一和模型二中，我們忽略了其他導致故障發(fā)生的原因，只考慮了刀具故障。6.6模型的改進對于問題二,由于工序正常時產出的零件仍有1%為不合格品,而工序故障時產生的靈件有25%為合格品,這樣工作人員在通過定期檢查單個零件來確定工序是否出現(xiàn)故障的檢查方式必然會導致兩種誤判（1）正常工序時因檢查到不合格零件而誤認為出現(xiàn)故障；（2）工序發(fā)生故障后檢查到的仍是合格品而認為工序正常,這兩種情況都將造成很大損失.我們建議采取連續(xù)檢查方式，分為以下幾種情況：（1）連續(xù)兩次檢查都為正品時，我們認為工序正常，繼續(xù)生產；（2）連續(xù)兩次檢查都為次品時，我們認為工序發(fā)生故障，進行維修使其恢復正（3）常后再生產；（4）連續(xù)兩次檢查中一次為正品，另一次為次品時，繼續(xù)第三次檢查，再進行判斷；這樣雖然會相應地增加檢查費用,但大大降低了因誤檢而造成的損失,從而使系統(tǒng)工序獲得更高的效益.七、參考文獻[1]盛驟謝式千《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》高等教育出版社.[2]蔡俊《可靠性工程學》黑龍江科學技術出版社.[3]沈玉波馮敬?！犊尚尴到y(tǒng)的最優(yōu)檢測更新模型》《數(shù)學的實踐與認識》[4]朱道元《數(shù)學建模案例精選》科學出版社[5]戴朝壽孫世良《數(shù)學建模簡明教程》高等教育出版社[6]樓順天陳生潭雷虎明《MATLAB5.X程序設計語言》西安電子科技大學出版社[7]宋來忠王志明《數(shù)學建模與實驗》科學出版社八、附錄模型一求解的MATLAB源代碼：k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;fori=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf((i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendend[zn]=min(e(1:k-1))g(n),h(n)附錄一>>k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;fori=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf((i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendend[zn]=min(e(1:k-1))g(n),h(n)z=7.3693n=631ans=248ans=31>>模型二求解的MATLAB源代碼k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b