自動(dòng)化車(chē)床管理的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題

題目：自動(dòng)化車(chē)床管理的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題摘要本文討論了自動(dòng)化車(chē)床連續(xù)加工零件的工序定期檢查和刀具更換的最優(yōu)策略。我們根據(jù)原始數(shù)據(jù)利用EXCEL軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出刀具正常工作時(shí)長(zhǎng)的函數(shù)，建立了以期望損失費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。問(wèn)題一，我們假設(shè)所有的檢查為等間距，以檢查到的零件是否為次品來(lái)判定工序是否正常，若一直未出現(xiàn)故障則當(dāng)加工到定期換刀時(shí)刻就換刀，利用概率論的相關(guān)知識(shí)，求出一個(gè)周期內(nèi)的期望損失費(fèi)用和期望零件個(gè)數(shù)，建立了以零件的期望損失費(fèi)為目標(biāo)函數(shù)的隨機(jī)優(yōu)化模型，求解得檢查間隔，換刀間隔，每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用。問(wèn)題二，不管工序是否正常都有可能出現(xiàn)正品和次品，在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上調(diào)整了檢查間隔中的不合格品所帶來(lái)的損失費(fèi)用，同時(shí)加上了因誤檢停機(jī)而產(chǎn)生的費(fèi)用，求出期望損失費(fèi)用和期望零件個(gè)數(shù)，建立了以每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)的隨機(jī)優(yōu)化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用。問(wèn)題三，在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上將工序正常工作的時(shí)間長(zhǎng)由開(kāi)始的近似等于刀具無(wú)故障工作的時(shí)間長(zhǎng)，改進(jìn)為刀具無(wú)故障工作時(shí)間長(zhǎng)的95%，其它的故障近似服從均勻分布，求出一個(gè)周期內(nèi)的期望損失費(fèi)用和零件個(gè)數(shù)，建立了以每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用為目標(biāo)的隨機(jī)優(yōu)化模型，求解得出檢查間，換刀間隔，期望損失費(fèi)用。關(guān)鍵詞：自動(dòng)化車(chē)床管理檢查間隔換刀間隔一、問(wèn)題重述一道工序用自動(dòng)化車(chē)床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會(huì)出現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占90%，其他故障僅占10%。工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)的，假定在生產(chǎn)任一零件時(shí)出現(xiàn)故障的機(jī)會(huì)均相同。工作人員通過(guò)檢查零件來(lái)確定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)積累有150次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的零件數(shù)如附件表?，F(xiàn)計(jì)劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。已知生產(chǎn)工序的費(fèi)用參數(shù)如下：故障時(shí)產(chǎn)出的零件損失費(fèi)用f=300元/件；進(jìn)行檢查的費(fèi)用t=20元/次；發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用d=3000元/次（包括刀具費(fèi)）；未發(fā)現(xiàn)故障時(shí)更換一把新刀具的費(fèi)用k=1200元/次。1）假定工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時(shí)產(chǎn)出的零件均為合格品，試對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔（生產(chǎn)多少零件檢查一次）和刀具更換策略。2）如果該工序正常時(shí)產(chǎn)出的零件不全是合格品，有1%為不合格品；而工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件有25%為合格品，75%為不合格品。工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為1500元/次。對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。3）在（2）的情況，可否改進(jìn)檢查方式獲得更高的效益。附：150次刀具故障記錄（完成的零件數(shù)）311460975463708666398771532474538740651458407420467207457337759488509486539218715509647565314613530578599319574647730481597589628132316601484440372477497591243587172668865362678382389673749836468384548643563526749487417649570214527308553743747619656525372607620726379605280586763851653492528607590590779576651249560723927449644325619734320599754433521971175582549549375802256557529678567656627502708531503452677524539212309573673398408592447463415594五、模型建立與求解5.1數(shù)據(jù)處理5.1.1刀具正常工作的時(shí)間長(zhǎng)的概率密度函數(shù)題中附錄給出了150次刀具故障的記錄，我們利用了EXCEL軟件對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了相關(guān)的統(tǒng)計(jì)分析。我們采用了假設(shè)檢驗(yàn)下的NPar檢驗(yàn)來(lái)對(duì)其進(jìn)行正態(tài)分布的檢驗(yàn)，在顯著性水平時(shí)，發(fā)現(xiàn)刀具故障服從正態(tài)分布，其中。由此可知概率密度函數(shù)圖下面我們對(duì)正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)：卡方檢驗(yàn)是一種用途很廣的計(jì)數(shù)資料的假設(shè)檢驗(yàn)方法。它屬于非參數(shù)檢驗(yàn)的范疇，主要是比較兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本率(構(gòu)成比）以及兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)聯(lián)性分析。其根本思想就是在于比較理論頻數(shù)和實(shí)際頻數(shù)的吻合程度或擬合優(yōu)度問(wèn)題。利用擬合檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，我們用刀具壽命的最大值減去最小值，取70為區(qū)間長(zhǎng)度，將其分成了12個(gè)區(qū)間，分別算它們的頻數(shù)，其中由于最后兩個(gè)區(qū)間的頻數(shù)都為3，根據(jù)檢驗(yàn)的原則，我們將它們合并為一個(gè)區(qū)間，再計(jì)算各數(shù)值在區(qū)間出現(xiàn)的概率，其中n=70,得到表1所示數(shù)據(jù)：表1：各區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)區(qū)間頻數(shù)130.5~200.5391.954.62200.5~270.57494.6910.45270.5~340.5101009.1010.99340.5~410.51214415.549.27410.5~480.51728921.6913.32480.5~550.52772924.6729.55550.5~620.53196124.6039.06620.5~690.51936120.0018.05690.5~760.51419613.5514.46760.5~830.54167.522.13830.5~900.5392.513.58900.5~975.5392.663.38在顯著性水平下，結(jié)果如下：，因?yàn)?，在可接受區(qū)間內(nèi)，故服從正態(tài)分布。5.1.2刀具更換間隔在定期更換刀具之前，我們采用了等間距檢查的方式對(duì)零件進(jìn)行檢查，若出現(xiàn)故障則進(jìn)行調(diào)節(jié)使其恢復(fù)正常，若沒(méi)有檢查出故障，則到了定期更換刀具時(shí)刻進(jìn)行換刀，為了簡(jiǎn)化模型，我們假定在正常換刀之健康前進(jìn)行的是整數(shù)次檢查，即。5.2模型一的建立與求解5.2.1模型一的建立如果在換刀之前未發(fā)生故障，則損失包括兩部分：（1）檢查費(fèi)用；（2）更換刀具費(fèi)用；則此種情況下總的損失為；如果在換刀之前發(fā)生了故障，此時(shí)實(shí)際檢查次數(shù)為，假設(shè)前次檢查生產(chǎn)的都是正品，個(gè)數(shù)為，則次品的個(gè)數(shù)為，此時(shí)損失包括三部分：（1）檢查費(fèi)用為；（2）發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的費(fèi)用；（3）損失費(fèi)用；則此種情況下總的損失費(fèi)用為期望損失為：期望零件個(gè)數(shù)：每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用：即，要使期望損失費(fèi)用達(dá)到最低，則等價(jià)于求最佳的，使達(dá)到最小。5.2.2模型一的求解利用MATLAB對(duì)上述模型進(jìn)行求解，可得到，，。即每生產(chǎn)31個(gè)零件檢查一次，生產(chǎn)248個(gè)零件后進(jìn)行定期換刀，每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用為7.3693。5.3模型二的建立與求解5.3.1模型二的建立如果在換刀之前未發(fā)生故障，則在換刀時(shí)刻已經(jīng)生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為，根據(jù)題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費(fèi)用包括四部分：（1）檢查費(fèi)用：；（2）誤檢停機(jī)費(fèi)用：；（3）正常工作時(shí)的次品損失費(fèi)用：；（4）更換刀具費(fèi)用：；則此種情況下總的損失費(fèi)用為：如果在換刀之前已經(jīng)發(fā)生故障，假設(shè)第次檢查出故障，則此時(shí)已經(jīng)生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為：，前次檢查都是正常工作的，未發(fā)生故障時(shí)生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為，發(fā)生故障后生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為：，根據(jù)題中信息，我們可知，正常工作時(shí)次品率為1%，發(fā)生故障時(shí)次品率為75%，則損失費(fèi)用包括五部分：（1）檢查費(fèi)用：；（2）誤檢停機(jī)費(fèi)用：；（3）正常工作時(shí)的次品損失費(fèi)用：；（4）發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的費(fèi)用；（5）發(fā)生故障后次品的損失費(fèi)用：則此種情況下總的損失費(fèi)用為：期望損失為：期望零件個(gè)數(shù)：每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用：即，要使平均損失費(fèi)用達(dá)到最低，則等價(jià)于求最佳的，使達(dá)到最小。5.3.2模型二的求解利用MATLAB對(duì)上述模型進(jìn)行求解，可得到，，。即每生產(chǎn)40個(gè)零件檢查一次，生產(chǎn)240個(gè)零件后進(jìn)行定期換刀，每個(gè)零件的期望損失費(fèi)用為10.779。5.4模型三的建立與求解5.4.1模型三的建立在實(shí)際情況下，在工序過(guò)程中，各個(gè)時(shí)間發(fā)生故障的概率是不同的，而第二問(wèn)采取的等間隔檢查就在一定程度上浪費(fèi)了這個(gè)條件，而且在第二問(wèn)中誤檢，漏檢的概率比較大，因此我們針對(duì)這兩點(diǎn)采取改進(jìn)措施：非等距檢查，連續(xù)檢查法。非等距檢查如上圖所示，若每個(gè)周期內(nèi)需要檢查n次，我們根據(jù)概率密度曲線(xiàn)，把無(wú)故障換刀點(diǎn)之前的面積平分成n份，S1=S2=……Sn即可以求得每個(gè)檢查點(diǎn)的位置，每?jī)蓚€(gè)檢查點(diǎn)發(fā)生故障的概率就趨于平均。能大大提高檢查效率。連續(xù)檢查法連續(xù)檢查法是為了減少誤差和漏檢的概率，連續(xù)檢查法描述如下：一次性檢查兩個(gè)零件1、若兩個(gè)零件都為合格品，則判斷無(wú)故障2、若兩個(gè)零件都為不合格品，則判斷故障3、若兩個(gè)零件，一個(gè)為合格品，一個(gè)為不合格品，則再檢查一個(gè)零件，根據(jù)第三個(gè)零件進(jìn)行判斷。根據(jù)上面檢查法，我們分別計(jì)算在這種檢查法的情況下誤檢與漏檢的概率P與期望檢查的費(fèi)用Q誤檢：誤檢發(fā)生在正常工序階段，在上面的檢查法中，只有2和3的情況會(huì)發(fā)生誤檢。P2=0.01*0.01=0.0001P3=2*0.01*0.99*0.01=0.000198P(1)=P2+P3=0.000298Q(1)=（0.01*0.01+0.99*0.99）*25+2*0.01*0.99*75=25.99漏檢：漏檢發(fā)生在故障工序階段，在上面的檢查法中只有1和3才會(huì)發(fā)生漏檢P1=0.25*0.25=0.0625P3=2*0.25*0.75*0.25=0.09375P(2)=P1+P3=0.15625Q(2)=(0.25*0.25+0.75*0.75)*25+2*0.25*0.75*75=43.75采用這種連續(xù)檢查法，我們發(fā)現(xiàn)漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比較明顯變小，達(dá)到了理想的結(jié)果。假設(shè)此時(shí)工序正常工作的時(shí)間長(zhǎng)的概率密度函數(shù)為，則根據(jù)模型二中的相關(guān)知識(shí)，建立的模型如下：如果在換刀之前未發(fā)生故障，則在換刀時(shí)刻已經(jīng)生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為，根據(jù)題中的信息，這些零件中的廢品率為1%，則損失費(fèi)用包括四部分：（1）檢查費(fèi)用：；（2）誤檢停機(jī)費(fèi)用：（3）正常工作時(shí)的次品損失費(fèi)用：；（4）更換刀具費(fèi)用：；則此種情況下總的損失費(fèi)用為：如果在換刀之前已經(jīng)發(fā)生故障，假設(shè)第次檢查出故障，則此時(shí)已經(jīng)生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為：，前次檢查都是正常工作的，未發(fā)生故障時(shí)生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為，發(fā)生故障后生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為：，根據(jù)題中信息，我們可知，正常工作時(shí)次品率為0.000298，發(fā)生故障時(shí)次品率為0.84375，則損失費(fèi)用包括五部分：（1）檢查費(fèi)用：；（2）誤檢停機(jī)費(fèi)用：；（3）正常工作時(shí)的次品損失費(fèi)用：；（4）發(fā)現(xiàn)故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的費(fèi)用；（5）發(fā)生故障后次品的損失費(fèi)用：[(n+1)*t0-x]*f*0.84375則此種情況下總的損失費(fèi)用為：Ln=(n+1)*t0+h*n*0.000298+x*f*0.000298+d+[(n+1)*t0-x]*f*0.84375期望損失為：期望零件個(gè)數(shù)：期望損失費(fèi)用：即，要使平均損失費(fèi)用達(dá)到最低，則等價(jià)于求最佳的，使達(dá)到最小。5.4.2模型三的求解利用MATLAB對(duì)上述模型進(jìn)行求解，可得到，，。即每生產(chǎn)41個(gè)零件檢查一次，生產(chǎn)246個(gè)零件后進(jìn)行定期換刀，期望損失費(fèi)用為7.9118。采用這種連續(xù)檢查法，漏檢和誤檢的概率大大降低，L期望損失與模型二比較明顯變小，達(dá)到了理想的結(jié)果。三種模型比較模型一模型二模型三t0(檢查間隔)312798.5169t1(換刀周期)4527013.3740L（期望損失）452709.6568六、結(jié)果分析6.1模型一的評(píng)價(jià)此模型采用了等間隔檢查的方式，簡(jiǎn)化了模型，其中對(duì)損失費(fèi)用分兩種情況討論，簡(jiǎn)單明了，易于理解。將求解最佳檢查間隔和換刀間隔轉(zhuǎn)化求解最小期望損失費(fèi)用，使模型的目標(biāo)性更強(qiáng)。但此模型為等間隔檢查，在兩次檢查中次品率可能會(huì)很高，這樣次品損失費(fèi)用就會(huì)增加。6.2模型二的評(píng)價(jià)此模型考慮了工序正常工作和工序出現(xiàn)故障時(shí)產(chǎn)生的次品率，利用概率的相關(guān)知識(shí)，對(duì)模型簡(jiǎn)化，最后將求解最佳檢查間隔和換刀間隔轉(zhuǎn)化求解最小期望損失費(fèi)用，使模型的目標(biāo)性更強(qiáng)。但模型考慮的是等間隔檢查，當(dāng)發(fā)現(xiàn)次品時(shí)就停機(jī)檢查，誤檢停機(jī)費(fèi)用會(huì)增加，發(fā)現(xiàn)正品時(shí)就繼續(xù)生產(chǎn)，次品損失費(fèi)會(huì)增加。6.3模型三的評(píng)價(jià)此模型考慮到了等間隔檢查的方式并不合理，因?yàn)樵诠ば蜻^(guò)程中，各個(gè)時(shí)間發(fā)生故障的概率是不同的，所以應(yīng)該采取非等間隔方式，大致是“前疏后密”，考慮到第二問(wèn)中誤檢，漏檢的概率比較大，所以采用連續(xù)檢查法，降低誤檢率和漏檢率，進(jìn)而減小期望損失。6.4模型的優(yōu)點(diǎn)1、本文建模思想易于理解，模型操作性強(qiáng)；2、對(duì)零件的檢查采取了等間隔抽查，簡(jiǎn)化了模型，使模型便于建立和求解；3、將每個(gè)零件的平均損失費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)，建立了評(píng)估體系，既有利于求出模型的最優(yōu)解，又比較符合實(shí)際生產(chǎn)中企業(yè)取舍方案的標(biāo)準(zhǔn)；6.5模型的缺點(diǎn)1、我們沒(méi)有對(duì)模型進(jìn)行模擬仿真：2、在模型一和模型二中，我們忽略了其他導(dǎo)致故障發(fā)生的原因，只考慮了刀具故障。6.6模型的改進(jìn)對(duì)于問(wèn)題二,由于工序正常時(shí)產(chǎn)出的零件仍有1%為不合格品,而工序故障時(shí)產(chǎn)生的靈件有25%為合格品,這樣工作人員在通過(guò)定期檢查單個(gè)零件來(lái)確定工序是否出現(xiàn)故障的檢查方式必然會(huì)導(dǎo)致兩種誤判（1）正常工序時(shí)因檢查到不合格零件而誤認(rèn)為出現(xiàn)故障；（2）工序發(fā)生故障后檢查到的仍是合格品而認(rèn)為工序正常,這兩種情況都將造成很大損失.我們建議采取連續(xù)檢查方式，分為以下幾種情況：（1）連續(xù)兩次檢查都為正品時(shí)，我們認(rèn)為工序正常，繼續(xù)生產(chǎn)；（2）連續(xù)兩次檢查都為次品時(shí)，我們認(rèn)為工序發(fā)生故障，進(jìn)行維修使其恢復(fù)正（3）常后再生產(chǎn)；（4）連續(xù)兩次檢查中一次為正品，另一次為次品時(shí)，繼續(xù)第三次檢查，再進(jìn)行判斷；這樣雖然會(huì)相應(yīng)地增加檢查費(fèi)用,但大大降低了因誤檢而造成的損失,從而使系統(tǒng)工序獲得更高的效益.七、參考文獻(xiàn)[1]盛驟謝式千《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》高等教育出版社.[2]蔡俊《可靠性工程學(xué)》黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社.[3]沈玉波馮敬?！犊尚尴到y(tǒng)的最優(yōu)檢測(cè)更新模型》《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》[4]朱道元《數(shù)學(xué)建模案例精選》科學(xué)出版社[5]戴朝壽孫世良《數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程》高等教育出版社[6]樓順天陳生潭雷虎明《MATLAB5.X程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言》西安電子科技大學(xué)出版社[7]宋來(lái)忠王志明《數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)》科學(xué)出版社八、附錄模型一求解的MATLAB源代碼：k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;fori=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf((i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendend[zn]=min(e(1:k-1))g(n),h(n)附錄一>>k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0;p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b*20;d=0;fori=1:a/b+1q=normcdf(i*b,540,163.9814)-normcdf((i-1)*b,540,163.9814);d=d+(i*20+3000+q*b*300);ende(k)=(c*(1-p)+q*d)/a;f(k)=(c*(1-p)+q*d);g(k)=a;h(k)=b;k=k+1;endendend[zn]=min(e(1:k-1))g(n),h(n)z=7.3693n=631ans=248ans=31>>模型二求解的MATLAB源代碼k=1;fora=132:540forb=1:a-1ifmod(a,b)==0p=normcdf(a,540,163.9814);c=1200+a/b