第十二章假設(shè)檢驗(yàn)

第十二章假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理顯著水平檢驗(yàn)法與正態(tài)總體檢驗(yàn)第十二章假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)是對總體的分布函數(shù)的形式或分布中某些參數(shù)做出某種假設(shè),然后通過抽取樣本,構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量,對假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷的過程.

前面我們討論了在總體分布族已知的情況下,如何根據(jù)樣本去得到參數(shù)的優(yōu)良估計.但有時,我們并不需要估計某個參數(shù)的具體值而只需驗(yàn)證它是否滿足某個條件,這就是統(tǒng)計假設(shè)檢驗(yàn)問題.第十二章假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)總體分布未知時的假設(shè)檢驗(yàn)問題第一節(jié)檢驗(yàn)的基本原理

一、檢驗(yàn)問題的提法

假設(shè)檢驗(yàn)是既同估計密切聯(lián)系，但又有重要區(qū)別的一種推斷方法。例如：某種電子元件壽命X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，隨機(jī)抽取其中的n件。測得其壽命數(shù)據(jù)，

問題⑴，這批元件的平均壽命是多少？

問題⑵，按規(guī)定該型號元件當(dāng)壽命不小于5000(h)為合格，問該批元件是否合格？

問題⑴是對總體未知參數(shù)μ=E(X)=1/λ作出估計?；卮稹唉淌嵌嗌伲俊?，是定量的。問題⑵則是對假設(shè)“這批元件合格”做出接受還是拒絕的回答，因而是定性的。

對上述例子，還可做更細(xì)致考察，設(shè)想如基于一次觀察數(shù)據(jù)算出μ的估計值

，我們能否就此接受“這批元件合格”的這一假設(shè)呢？盡管但這個估計僅僅是一次試驗(yàn)的結(jié)果，能否保證下一次測試結(jié)果也能得到μ的估計值大于5000呢？也就是說從觀察數(shù)據(jù)得到的結(jié)果與參考值5000的差異僅僅是偶然的呢？還是總體均值μ確實(shí)有大于5000的“趨勢”？

這些問題是以前沒有研究過的。一般而言，估計問題是回答總體分布的未知參數(shù)是多少？或范圍有多大？而假設(shè)檢驗(yàn)問題則是回答觀察到的數(shù)據(jù)差異只是機(jī)會差異，還是反映了總體的真實(shí)差異？因此兩者對問題的提法有本質(zhì)不同。第一節(jié)檢驗(yàn)的基本原理例有一批產(chǎn)品，需經(jīng)檢驗(yàn)合格后才能出廠，按按標(biāo)準(zhǔn)其次品率不得超過4%今從這批產(chǎn)品中任意抽10件，發(fā)現(xiàn)有3件次品，問這批產(chǎn)品能否出廠解：直觀上看，這批產(chǎn)品似乎不能出廠，但理論依據(jù)何在現(xiàn)以p表示這批產(chǎn)品的次品率，按標(biāo)準(zhǔn)，若p<=0.04,這批產(chǎn)品可出廠，若p>0.04，則這批產(chǎn)品不能出廠。我們的問題就是要根據(jù)“10件產(chǎn)品中有3件次品”，這一抽樣結(jié)果來判斷p是否大于0.04我們先提兩個相互對立的假設(shè)，注意到，在假設(shè)成立的前提下，“10件產(chǎn)品中有3件次品”這一抽樣結(jié)果的概率其概率小于0.01，即這是一個小概率事件。根據(jù)實(shí)際推理原理，小概率事件在一次抽樣中是不可能發(fā)生的。而今這一小概率事件在一次抽樣中竟然發(fā)生了，這是不合理的。所以不成立，即成立。所以按此標(biāo)準(zhǔn)這批產(chǎn)品不能出廠

下面通過一個例子介紹原假設(shè)和備擇假設(shè)二.原假設(shè)和備擇假設(shè)第一節(jié)檢驗(yàn)的基本原理例1(酒精含量)一種無需醫(yī)生處方即可達(dá)到的治療咳嗽和鼻塞的藥。按固定其酒精含量為5﹪.今從一出廠的一批藥中隨機(jī)抽取10瓶,測試其酒精含量得到的10個含量的百分?jǐn)?shù):5.01,4.87,5.11,5.21,5.03,4.96,4.78,4.98,4.88,5.06如果酒精含量服從正態(tài)分布N(μ,0.00016),問該批藥品的酒精含量是否合乎規(guī)定?任務(wù):

通過樣本推斷X的均值μ是否等于5.假設(shè):上面的任務(wù)就是要通過樣本去檢驗(yàn)“X的均值=5”這樣一個假設(shè)是否成立.(在數(shù)理統(tǒng)計中把“X的均值μ=5”這樣一個待檢驗(yàn)的假設(shè)記作“H0:μ=5”稱為

“原假設(shè)”或“零假設(shè)”.表明數(shù)據(jù)的“差異”是偶然的,總體沒有“變異”發(fā)生.

原假設(shè)的對立面是“X的均值μ≠10”記作“H1:μ≠10”稱為“對立假設(shè)”或“備擇假設(shè)”.表明數(shù)據(jù)的“差異”不是偶然的,是總體“變異”的表現(xiàn).把它們合寫在一起就是:H0:μ=10

H1:μ≠10

原假設(shè)H0表明含量符合規(guī)定，這個5﹪也稱之為期望數(shù)，盡管10個數(shù)據(jù)都5﹪與有出入，這只是抽樣的隨機(jī)性所致;備擇假設(shè)H1表明總體均值μ已經(jīng)偏離了期望數(shù)5﹪，數(shù)據(jù)與期望數(shù)5﹪的差異是其表現(xiàn).假設(shè)檢驗(yàn)的任務(wù)

必須在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間作一選擇檢驗(yàn)太統(tǒng)計父量是構(gòu)略造一址個適絕當(dāng)?shù)募蹦芏却盍坑^史察數(shù)晴與原事假設(shè)下魂的期萍望數(shù)浸之間因的差休異程雕度的胞統(tǒng)計街量,此統(tǒng)冰計量伴為檢紹驗(yàn)統(tǒng)利計量.特點(diǎn):在原代假設(shè)H0下分然布式傘完全襖一致插或者辭說可膏以計閑算.因而絨通過壺標(biāo)準(zhǔn)殖化俱可訓(xùn)得到炕檢驗(yàn)蹄統(tǒng)計頁量三.檢驗(yàn)碑統(tǒng)計術(shù)量本例杰的觀放察數(shù)居通過盡樣本接平均懷表羊示,它是μ的一個無劫偏估籃計,而在省下的撈期望眨數(shù)為μ=5而,在H0下從試件驗(yàn)數(shù)殼據(jù)判追斷是撫否導(dǎo)便致一抽個矛棒盾的斥結(jié)果,一個含重要戚的依瘡據(jù)是潤小概燦率事壯件的山實(shí)際膀推斷串原理.看例1,由觀剪察數(shù)緣瑞據(jù),可算殖得的挖觀銜察值夕為4.裕98始9,代入骨統(tǒng)計撇量Z的表蹈達(dá)式,得Z的觀否察值懇為四.否定葬論證袖及實(shí)路際推液斷原繪理否定肅論證斬是假錄設(shè)檢碑驗(yàn)的拜重要翻推理芳方法,其要嶼旨是:先假岸定原溉假設(shè)H0成立,如果歉從試緩驗(yàn)觀渴察數(shù)魚據(jù)及念此假層定將導(dǎo)閘致一洽個矛荷盾的燦結(jié)果,則必綢須否訴定這鄉(xiāng)豐個原確假設(shè);反之,如果畜不出念矛盾桿的結(jié)栽果,就不木能否患定原嘆假設(shè).在H0下,Z服從攜標(biāo)準(zhǔn)處正態(tài)折分布,對于重特定維的一軌次試知驗(yàn),統(tǒng)計領(lǐng)量Z取得橋觀察隆值-2凡.7感50律9，是遵十分罪罕見鴨的，叉以至抬于實(shí)丟際不桂會發(fā)轎生.事實(shí)壞上,當(dāng)H0成立控時,事件發(fā)生突的機(jī)膜會只先有5﹪會(如圖)這是致一個杠小概萌率事渣件.今從撈試驗(yàn)捐數(shù)據(jù)不得到Z=積-2趁.7飄50姨9,由于表明竄這一勒小概埋率事限件在借該次掉試驗(yàn)箏中發(fā)套生,這與啦實(shí)際墾推斷啦原理部矛盾.因此誼否定裕原假待設(shè).至此贊本例鄰已獲籌得解盾答,即基頓于數(shù)拔據(jù)該挑批藥規(guī)品的近酒精輕含量案不符贏合規(guī)句定.注意:在否愧定論癥中最風(fēng)終能狂否得齒出矛證盾的脊結(jié)果女，取譜決于畜數(shù)據(jù).02.5﹪1.96-1.96-2.7509第二被節(jié)顯著漠水平籮檢驗(yàn)去法與圍正態(tài)幸總體抄檢驗(yàn)一.假設(shè)欄檢驗(yàn)排的兩偽類錯舍誤一類遼錯誤葡是,當(dāng)H0為真怖時,因?yàn)榉潜M管晶事件{A饞|H0}是小焦概率折事件,但仍猶有可匹能發(fā)條生,即樣溪本觀壓察值(x1,x2,.漁..植,xn)∈桑R時,按檢囑驗(yàn)法限則將蜓拒絕愛原假繁設(shè)H0,這種里錯誤葉稱為第一挪類錯宮誤.根據(jù)效檢驗(yàn)束法則,若A發(fā)生灑則拒掀絕H0,否則毒接受H0.這不殊免要處犯二敗類錯訪誤.第二孝節(jié)顯著請水平獻(xiàn)檢驗(yàn)例法與觸正態(tài)瓦總體允檢驗(yàn)一.假設(shè)瘡檢驗(yàn)赤的兩隱類錯烘誤另一耽類錯攪誤是,當(dāng)原辟假設(shè)H0不真,即H1為真犁時,A也有伏可能輕不發(fā)白生,即樣餅本觀管察值(x1,x2,.波..粘,xn)∈梳R*,按檢化驗(yàn)法嬸則將緩接受祝原假豪設(shè)H0,這種伶錯誤吉稱為第二成類錯艷誤.第二澤節(jié)顯著榴水平龍檢驗(yàn)爺法與挽正態(tài)診總體蹈檢驗(yàn)正確正確H0

為真H0

為假真實(shí)情況所作判斷接受H0拒絕H0第一類錯誤(棄真)第二類錯誤(取偽)注意:不可猜能消乎除這極兩種造錯誤,而只驗(yàn)?zāi)芸貐侵瓢l(fā)熄生這兩病類錯頁誤之俗一的絨概率.一.假設(shè)廳檢驗(yàn)劍的兩鉆類錯殺誤第二諷節(jié)顯著孤水平徑檢驗(yàn)尤法與澤正態(tài)躺總體愿檢驗(yàn)我們遭當(dāng)然龜希望震獨(dú)兩屑類錯篩誤的室概率老都很日小,但在理樣本瞧容量n固定粘時是侄無法套做到圈的.基于帥這種愈情況,且因予為人精們常扯常把穩(wěn)拒絕H0比錯賄誤地狡接受H0看得稻更重捆些.因此粒人們賄希望宜在控奴制犯廈第一臣類錯乞誤的臨概率α的條們件下,盡量咬使犯藏第二士類錯秒誤的既概率冠小,但這什也是感不容油易的,有時軋甚至慣是不蠟可能乖的.于是撒人們奪不得叨不降外低要戰(zhàn)求,只對壩犯第村一類煙錯誤陷的概內(nèi)率α加以譽(yù)限制,而不奶考慮呀犯第爛二錯犁誤的賤概率,在這卵種原葉則下,尋找劑臨界捧域C時只語涉及尋原假惱設(shè)H0,而不丟涉及爺備擇素假設(shè)H1,這種抖統(tǒng)計隆假設(shè)練問題慚稱為顯著矛性檢惕驗(yàn)問題.對給擦定的銜犯第嚼一類繭錯誤滲的概笛率α稱為顯著字性水鑄平.第二程節(jié)顯著莫水平所檢驗(yàn)促法與訪正態(tài)浙總體喬檢驗(yàn)二.顯著揪水平交檢驗(yàn)站法顯著慕水平冠檢驗(yàn)植法:在數(shù)敬據(jù)收姨集之混前就嗎已經(jīng)目設(shè)定橡好一郵個檢幕驗(yàn)規(guī)絞則,即文透獻(xiàn)上有稱之墾為拒輕絕域R,使得吸當(dāng)樣碗本觀棵察值坦落入R就拒恒絕H0.對拒謝絕域R的要蛾求是:在H0下{樣本唉落入R}為一物小概儀率事折件,即對舅預(yù)先明給定箱的0<α<1有P(殊{樣本拍落入R}霧|H0)≤α此時拴稱R所代確表的忘檢驗(yàn)須為顯妙著水走平α的檢忘驗(yàn)第二熱節(jié)顯著炸水平凝檢驗(yàn)免法與塔正態(tài)蹈總體孝檢驗(yàn)(1僻)根據(jù)展問題杏的要丹求建驗(yàn)立原弦假設(shè)H0和備遞擇假嘗設(shè)H1;假設(shè)類檢驗(yàn)挎的方害法步挎驟(2刻)選取揭檢驗(yàn)圖統(tǒng)計尋量T(恢X1,X2,.下..冤,Xn),要求T不含倦任何屋參數(shù),以便沒計算H0為真黑時的鑼條件歉概率;(3載)給定諒顯著太性水慮平α,求出壇使P{忌T∈榴R|崖H0}≤午α的臨本界域C;(4采)若樣弄本觀控察值T(x1,x2,.吃..默,xn)∈語R,則拒糟絕原慕假設(shè)H0,否則弄接受H0.第二它節(jié)顯著回水平臉檢驗(yàn)任法與允正態(tài)揮總體劍檢驗(yàn)1)賭.方差渴已知炮時總逆體均蝦值的噸假設(shè)守檢驗(yàn)1兩個闊正態(tài)壟總體月的假什設(shè)檢視驗(yàn)第二趁節(jié)顯著店水平累檢驗(yàn)趙法與莫正態(tài)第總體偵檢驗(yàn)第二著節(jié)顯著汽水平置檢驗(yàn)船法與煩正態(tài)夕總體向檢驗(yàn)找臨眨界值uα/贏2示意奪圖0a/2ua/2a/2-ua/2第二丑節(jié)顯著篩水平世檢驗(yàn)洪法與涼正態(tài)綁總體災(zāi)檢驗(yàn)作為積未知尸參數(shù)μ的點(diǎn)沒估計,因此礦偏修小應(yīng)增該拒查絕H0.若H0成立,例3某降團(tuán)價盒信裝餅椅干，右其包知裝上拖的廣棉告上喝稱每領(lǐng)盒質(zhì)成量為26遭9g單.但有隊顧客漂投訴生，鈣航餅干償質(zhì)量刑不足26各9g。為份此質(zhì)座檢部幫門從賄準(zhǔn)備斜出廠的惜一批毯盒裝吼餅干掉中，辨隨機(jī)翁抽取30盒，剪由測燥得的30個質(zhì)靜量數(shù)醉據(jù)算出慰樣本朵平均剝?yōu)?6蜂8.假設(shè)氧盒裝攝餅干留質(zhì)量怒服從臣正態(tài)蒼分布N(μ，22),以顯索著水熊平α=0渠.0包5檢驗(yàn)棉該產(chǎn)柳品廣萬告是叼否真故實(shí).解:依題腳意,可設(shè)扇原假分設(shè)H0:μ佳=2資69備擇食假設(shè)H1:μ<2堅69則有則在蛾下Z~N(謹(jǐn)0,消1)猶,即Z的分憂布已敞知，姐因而Z可以交做檢紐奉驗(yàn)統(tǒng)梳計量譜，偏小幫等價借于Z偏小交，從萄而得濃到拒甚絕域名的形雨式如仔下其中k待定腎，稱光之為臨界吼值.α=0諒.0宇5,為求今顯著照水平0.0懇5的檢產(chǎn)驗(yàn),只需舍選取k使得查表尋可得因而班得到掛水平0.墾05檢驗(yàn)紡的拒病絕域代入快數(shù)據(jù)勝得Z=隊-2部.7橋4,顯然療小于初臨界寒值-1議.6格45宴,因而哥依據(jù)蓮檢驗(yàn)規(guī)則蹲應(yīng)該袍拒絕H0,即該壇盒裝折廣告?zhèn)}又不隆是廣緩告行璃為.第二宅節(jié)顯著層水平柔檢驗(yàn)阿法與通正態(tài)悟總體厚檢驗(yàn)２).方差列未知丸時總潮體均微值的芳雙側(cè)誕假設(shè)賓檢驗(yàn)第二戴節(jié)顯著難水平盞檢驗(yàn)違法與物正態(tài)睛總體廊檢驗(yàn)第二擊節(jié)顯著竊水平沿檢驗(yàn)牛法與鋼正態(tài)容總體聰檢驗(yàn)找臨拴界值tα/廟2示意叔圖0a/2a/2-ta/販2(n-1)ta/基2(n-1)第二顆節(jié)顯著故水平鑄檢驗(yàn)歷法與瞎正態(tài)嘉總體毒檢驗(yàn)其中σ未知.今用S*代替σ,得到t的統(tǒng)悉計量例4.在例3中,若盒禾裝餅垂干重暢量服暮從正脂態(tài)分親布N(μ,σ2),μ與σ2均未乖知,已知鋸樣本里平均,修正圖樣本師標(biāo)準(zhǔn)棟差為S*=1括.8橋,求解弄相同喇的問錫題.解:此時漲不能樹使用Z作為須統(tǒng)計紅量,因?yàn)橹鴺?biāo)準(zhǔn)淺化變吩量為由正呀態(tài)總推體抽嘆樣分孫布基敬本定釘理可陣知,在H0下可得清到拒賺絕域勁的形貓式如奧下其中k待定茫，稱辰之為臨界偏值.α=0僚.0珍5,為求冰顯著術(shù)水平0.0坦5的檢游驗(yàn),只需籮選取k使得因而斬得到畫水平0.集05檢驗(yàn)誘的拒錯絕域代入篇數(shù)據(jù)塔得t=鞭-3欺.0施44緊,顯然撈小于齒臨界父值-1晨.6涌99勾,因而召依據(jù)蹦檢驗(yàn)規(guī)則撥應(yīng)該歲拒絕H0,即該搬盒裝風(fēng)廣告哪又不啞是廣飽告行輪為.第二渠節(jié)顯著伯水平疑檢驗(yàn)瘦法與至正態(tài)陵總體床檢驗(yàn)2兩個磁正態(tài)喚總體派的假范設(shè)檢音驗(yàn)第二怒節(jié)顯著擊水平醬檢驗(yàn)月法與咱正態(tài)方總體運(yùn)檢驗(yàn)1)將.方差語已知條時均曉值的脫雙側(cè)系假設(shè)偷檢驗(yàn)因?yàn)楫?dāng)H0成立主時，個統(tǒng)計坊量第二植節(jié)顯著協(xié)水平綢檢驗(yàn)追法與掩正態(tài)安總體玩檢驗(yàn)從而,對于怨給定牽的顯勢著性蛾水平α,拒絕項域?yàn)榈诙捁?jié)顯著學(xué)水平由檢驗(yàn)也法與綢正態(tài)龜總體噴檢驗(yàn)2)仔.方差猶未知慨時均儀值的鋪雙側(cè)殿假設(shè)免檢驗(yàn)第二傻節(jié)顯著潛水平丹檢驗(yàn)升法與現(xiàn)正態(tài)息總體這檢驗(yàn)第二改節(jié)顯著奇水平拆檢驗(yàn)箭法與遞正態(tài)賢總體鉗檢驗(yàn)例5.為評目估某焰地區(qū)委中學(xué)騾教學(xué)狗改革疏后教蛇學(xué)質(zhì)乘量情栗況，滴分別器在19衫95年，19宰99年舉匆行兩對次數(shù)裕學(xué)考濾試，霞考生皆是從含該地贊區(qū)中蠅學(xué)的17歲學(xué)法生中久隨機(jī)妥抽取僚，每拼次10逝0個。贊兩次酷考試知的平給均得嗓分分踏別為63冠.5荒,6迫7.袋0.假定腰兩次傳數(shù)學(xué)販考試并成績?nèi)辗能浾龖B(tài)絞分布N(μ,σ2),局N刻(μ,σ2怒),分別墓在下熟列情凈況下,對顯跌著水唱平α=0平.0澤5檢驗(yàn)例該地嘆區(qū)數(shù)跳學(xué)成?？冇信紵o提遇高.(1暫).已知σ1=2宇.1敏,σ2=2踏.2婚.(2置).假設(shè)σ1=σ2=σ但σ未知,且兩持次考碎試成陜績的醉樣本憤方差汽為S12=1幅.92,巾S22=2找.0兼12解:由題次意,可設(shè)儉原假番設(shè)H0:μ1=μ2,備擇摩假設(shè)H1:μ1<μ2.分別瘦記19雖95年的杠樣本廊平均膀?yàn)?1彼99壘9年的端為,可用票作μ1-μ2的點(diǎn)統(tǒng)估計,因此聲當(dāng)峽偏大配時,應(yīng)拒伙絕H0偏大慘等價鐘于Z偏