江蘇省連云港市灌南縣2022-2023學年高一年級下冊學期期中數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年第二學期期中考試高一年級數(shù)學學科試卷考試時間：120分鐘滿分150分一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.復數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡即可得出，即可得出答案.【詳解】因為，所以，復數(shù)的虛部是.故選：D.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導公式，逆用兩角差的正弦公式進行求解即可.【詳解】，故選：B3.已知平面向量，滿足，且，則（）A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，即，即，所以，.所以，.故選：C.4.如圖所示，F(xiàn)為平行四邊形ABCD對角線BD上一點，AC，BD交于點O，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算法則把用表示即可得.【詳解】因為，所以，所以，又，而不共線，所以，所以.故選：C.5.在中，，，，則的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理求得，再由平方關(guān)系求得即可.【詳解】由正弦定理得，，又，，則.故選：D.6.如圖，有一古塔，在A點測得塔底位于北偏東方向上的點D處，在A點測得塔頂C的仰角為，在A的正東方向且距D點30m的B點測得塔底位于西偏北方向上（A，B，D在同一水平面），則塔的高度CD約為（，）（）A.17.32m B.14.14m C.10.98m D.6.21m【答案】B【解析】【分析】在中，根據(jù)正弦定理可求出.在中，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，在中，有，，，根據(jù)正弦定理可得，.在中，有，，，所以(m).故選：B.7.由下列條件解，其中有兩解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為及三角形三邊關(guān)系，結(jié)合正弦定理逐項判斷即可.【詳解】對于A，,由正弦定理可得,由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解；對于B，因為，由余弦定理可知只有唯一解，所以三角形的三個邊唯一確定，即只有唯一解；對于C，因為，由正弦定理得，即，所以，所以角有兩個解，即有兩個解；對于D，因為，，，由正弦定理得，所以，又c>a，所以，所以角只有一個解，即只有唯一解.故選：C8.已知定義域為R的函數(shù)有最大值和最小值，且最大值與最小值的和為8，則等于（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】化簡可得，設，可判定為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出，求解即可得出答案.【詳解】因為，設，則，所以，為R上的奇函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，所以，故選：C.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.在中，下列命題正確的是（）A.B.C.點O為的內(nèi)一點，且，則為等腰三角形D.，則為銳角三角形【答案】BC【解析】【分析】A.由向量的減法法則判斷；B.由向量加法的三角形法則判斷；C.根據(jù)因為，得到，即，利用數(shù)量積的運算律求解判斷；D.由，得到為銳角，但角BC無法判斷.【詳解】A.由向量的減法法則可知：，故錯誤；B.由向量加法的三角形法則可得：，故正確；C.因為，即；又因為，所以，即，所以是等腰三角形，故正確；D.若，則，據(jù)此可知為銳角，無法確定為銳角三角形，錯誤.故選：BC10.已知不相等的復數(shù)，，則下列說法錯誤的是（）A.若是實數(shù)，則與不一定相等B.若，則C.若，則，在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】通過舉例可判斷A,B,D；由共軛復數(shù)的基本概念及幾何意義判斷C.【詳解】取，，此時是實數(shù)，但與不相等，故A正確；取，，滿足，但，故B錯誤；若，則z1，z2的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則z1，z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱，故C錯誤；取，，此時，，滿足，但與不能比較大小，故D錯誤.故選：BCD.11.的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則下列命題正確的是（）A. B.的周長為C.的面積為 D.的外接圓半徑為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知化簡可得出.分類討論根據(jù)以及，結(jié)合正弦定理以及余弦定理可求出的值，即可判斷A、B、C項；根據(jù)正弦定理，即可求出外接圓半徑.【詳解】由可得，.對于A項，若，則滿足，此時，由正弦定理可知，所以；若，則，此時有，由正弦定理可知，所以.綜上所述，或，故A項錯誤；對于B項，當時，由，，由余弦定理可得，，所以，，解得，，的周長為；同理，當時，有，，的周長為.綜上所述，的周長為，故B項正確；對于C項，由B可知，，，或，.當時，由正弦定理可知，，所以，，；同理可得，當時，，.綜上所述，，故C正確；對于D項，設外接圓的半徑為，由正弦定理可知，，所以，故D項錯誤.故選：BC.12.如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，，則（）A.B.實數(shù)的值為C.D.若M，N是線段BC上的動點，且，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算，結(jié)合已知條件，即可判斷A、B；根據(jù)圖形，表示出，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律，即可得出C項；建立平面直角坐標系，得出的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，得出，配方根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最小值.【詳解】對于A項，因為，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，，所以，，所以，所以，，故B項正確；對于C項，，所以，，故C正確；對于D項，如圖，建立平面直角坐標系，由題意可知，，，，則，不妨設，，則，所以，，，所以，，所以，當時，有最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知向量，，則在方向上的投影向量坐標是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以在方向的投影向量為.故答案為：.14.設復數(shù)，滿足，，則=__________.【答案】【解析】【分析】方法一：令，，根據(jù)復數(shù)的相等可求得，代入復數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.方法二：設復數(shù)所對應點為,,根據(jù)復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的模，判定平行四邊形為菱形，，進而根據(jù)復數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計算.詳解】方法一：設，，，，又，所以，，.故答案為：.方法二：如圖所示，設復數(shù)所對應的點為,,由已知,∴平行四邊形為菱形，且都是正三角形，∴，∴.【點睛】方法一：本題考查復數(shù)模長的求解，涉及到復數(shù)相等的應用；考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道中檔題.

方法二：關(guān)鍵是利用復數(shù)及其運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解15.在中，角、、所對的邊分別為、、，，的平分線交于點，且，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】利用等面積法可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，，因此，當且僅當時取等號，則最小值為.故答案為：.16.已知在銳角中，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知求出，然后根據(jù)輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)即可得出.令，則，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，即可得出，進而得出答案.【詳解】因為，所以銳角中，有，即，所以.因為，.又在上單調(diào)遞增，所以，.因為，令，則，根據(jù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，，所以，，所以，.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知向量與的夾角，且，.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求與的夾角的余弦值.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義求出，由計算可得.（Ⅱ）設與的夾角為，由計算可得.【詳解】解：（Ⅰ）由已知，得..（Ⅱ）設與的夾角為.則.∴.∴與的夾角的余弦值為.【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，向量的模的計算，兩向量的夾角的余弦，屬于中檔題.18.在①；②復平面上表示的點在直線上；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答：已知復數(shù)，（為虛數(shù)單位），滿足____.（1）若，求復數(shù)以及；（2）若是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）選條件①，根據(jù)求出a的值；選條件②，求出在復平面上表示點的坐標，代入直線方程求出a的值；選條件③，計算，根據(jù)求出a的值；計算和的值即可；（2）根據(jù)是實系數(shù)一元二次方程的根，也是方程的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值.【小問1詳解】選條件①：，因為，所以，解得，又，所以；選條件②：復平面上表示的點在直線上.因為，所以，其表示的點為，有，解得；選條件③：.因為，所以，所以，解得.所以，所以；【小問2詳解】是實系數(shù)一元二次方程的根，則也是該方程的根，所以m=(+)=.19.（1）求的值；（2）已知，均為銳角，且，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）對原式變形為，逆用二倍角正弦公式結(jié)合誘導公式可得答案.(2)先求出，，余弦的差角公式可得答案.根據(jù)角的范圍得到答案.【詳解】（1）；（2）因為均為銳角，，所以，，由，根據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以.又均為銳角，則，所以.20.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角結(jié)合三角恒等變換可得，再根據(jù)范圍進而即得的大??；（2）結(jié)合角平分線性質(zhì)求，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求的最大值，再利用三角形面積公式求【小問1詳解】由正弦定理及，得因為，所以，所以，所以所以，所以.因為，所以，所以，故.【小問2詳解】因為為角的平分線，為角的平分線，所以，所以，又，所以.由余弦定理知，所以，故，即，當且僅當時，等號成立.所以，即面積的最大值為.21.如圖所示，是一塊三角形空地，其中，，.當?shù)卣?guī)劃將這塊空地改造成一個休閑娛樂場所，擬在中間挖一個人工湖，其中在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶建成活動場所.（1）若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地面積的倍，試確定的大?。唬?）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？【答案】（1）（2）時，的面積取得最小值，最小值為【解析】【分析】（1）由已知可推得.設，根據(jù)已知，推得.在中，由正弦定理得，即可得出，根據(jù)的范圍，即可得出答案；（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得.即可得出，根據(jù)的范圍，即可得出答案.【小問1詳解】在中，因為，，，所以.因為，所以.設，因為，所以，即.又，所以.在中，由正弦定理可得，，即.所以，整理可得.由，得，所以，即.【小問2詳解】由（1）知，所以，則.在中，由正弦定理可得，即，所以.在中，有，，，所以.由正弦定理可得，，整理可得，.因為，所以.因為，所以，所以當，即時，的面積取得最小值，此時最小值為.22.若函數(shù)在定義域中存在，，使得成立，則稱該函數(shù)具有性質(zhì)p．（1）判斷以下兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)p：①，；②，．（2）若函數(shù)，（其中，）具有性質(zhì)p，求的取值范圍．【答案】（1）①具有性質(zhì)p；②不具有性質(zhì)p（2）【解析】【分析】（1）找到，使得，可說明①具有性質(zhì)p；利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，作出大致圖象，可說明②不具有性質(zhì)p;（2）化簡得到，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得答案.【小問1詳解