北京大興區(qū)黃村第三中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

北京大興區(qū)黃村第三中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若一個(gè)圓錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A. B. C.2π D.4π參考答案：A【分析】由軸截面是面積為1的等腰直角三角形，得到底面半徑及母線長即可得到該圓錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，由題可知，r=h=，則，∴側(cè)面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算；得到圓錐的底面半徑是解決本題的突破點(diǎn)；注意圓錐的側(cè)面積的應(yīng)用．2.函數(shù)y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）參考答案：D【考點(diǎn)】4B：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】根據(jù)a0=1（a≠0）時(shí)恒成立，我們令函數(shù)y=ax﹣2+1解析式中的指數(shù)部分為0，即可得到函數(shù)y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：∵當(dāng)X=2時(shí)y=ax﹣2+1=2恒成立故函數(shù)y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2，2）故選D3.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為

(A)1

(B)i

(C)-1

(D)-i參考答案：A4.函數(shù)的圖象可由的圖象如何得到(

)A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位參考答案：B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式為，在根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，所以把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5.函數(shù)的最小正周期為（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：B6.若，則（

） A．

B．C．

D．參考答案：A7.右面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在次綜合測(cè)評(píng)中的成績，其中一個(gè)數(shù)字被污損.則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為（A）（B）（C）（D）參考答案：C略8.設(shè)若的最小值A(chǔ)．

B．

C．

D．8參考答案：C由題意知，即，所以。所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以最小值為4，選C.9.命題“?x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0”的否定是（）A．?x∈[1，2]，x2﹣3x+2＞0 B．?x?[1，2]，x2﹣3x+2＞0C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合全稱命題否定的方法，可得答案．【解答】解：命題：“?x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0的否定是，故選：C10.已知恒成立，若為真命題，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．2

B．3

C.4

D．5參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{}滿足，則的值為

．參考答案：-312.若三角形的三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)分別為，則的最小值為

▲

．參考答案：略13.（理）求函數(shù)的最小值

參考答案：14.如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為__________．參考答案：4設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.,故答案為：4

15.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為橢圓E：的左頂點(diǎn)，B、C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓E的離心率等于

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．H5答案

解析：∵AO是與X軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形，∴BC∥OA，B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對(duì)稱的．由題知：OA=a，四邊形OABC為平行四邊形，所以BC=OA=a

可設(shè)代入橢圓方程解得：

設(shè)D為橢圓的右頂點(diǎn)，因?yàn)椤螼AB=30°，四邊形OABC為平行四邊形，所以∠COD=30°

對(duì)C點(diǎn)：，解得：a=3b，根據(jù)：得：，

，故答案為：．【思路點(diǎn)撥】首先利用橢圓的對(duì)稱性和OABC為平行四邊形，可以得出B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到BC=OA=a；設(shè)，從而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用，求得a=3b，最后根據(jù)得出離心率．17.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為

參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某省高中男生升高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高服從正態(tài)分布N，現(xiàn)從該省某高校三年級(jí)男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于157.5cm和187.5cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[157.5，162.5]，第二組[162.5，167.5]，…，第六組[182.5，187.5]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）求該學(xué)校高三年級(jí)男生的平均身高；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）求被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)；（3）從被抽取的50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，記該2人中身高排名（從高到低）在全省前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由頻率分布直方圖能求出該校高三年級(jí)男生平均身高．（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，由此能求出這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)．（3）由題意隨機(jī)變量ξ可取0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得該校高三年級(jí)男生平均身高為：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171.5．（2）由頻率分布直方圖知后兩組頻率為0.2，人數(shù)為0.2×50=10，即這50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人數(shù)為10人．（3）∵P=0.9974，∴P（ξ≥182.5）==0.0013，而0.0013×100000=130，∴全省前130名身高在182.5cm以上，這50人中182.5cm以上的有5人，隨機(jī)變量ξ可取0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，E（ξ）==1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．19.（本題滿分12分）已知橢圓的離心率且與拋物線有公共焦點(diǎn)F2.(Ⅰ)求橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，直線與傾斜角互補(bǔ).證明：直線過定點(diǎn)，并求該點(diǎn)坐標(biāo).參考答案：（1）(2)由題意知直線MN存在斜率，其方程為y=kx+m，聯(lián)立方程

y=kx+m,消去y，得設(shè)、，則，，由已知直線與的傾斜角互補(bǔ)，得，即可得m=-2k,代入直線y=kx+m,故直線MN過點(diǎn)（2,0）20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且|A1A2|=4，P為橢圓上異于A1，A2的點(diǎn)，PA1和PA2的斜率之積為﹣．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為橢圓中心，M，N是橢圓上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MON面積的最大值．參考答案：考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：對(duì)第（1）問，先由|A1A2|=4，得到橢圓左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由PA1和PA2的斜率之積為，求出b2的值，即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；對(duì)第（2）問，先設(shè)出直線MN的方程，再由弦長公式，得到△OMN的底邊MN的長，并由點(diǎn)到直線的距離公式得到△OMN的高，從而列出△OMN面積的表達(dá)式，最后可探求面積的最大值．解答： 解：（1）由|A1A2|=2a=4，得a=2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0）．設(shè)P（x0，y0），則，即，解得b2=3．于是，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為x=n，由，得，，從而S△OMN===，當(dāng)n=±時(shí)，△OMN的面積取得最大值．

②當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)MN的方程為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化簡得4k2﹣m2+3＞0．

則由韋達(dá)定理，得，，從而|MN|==4．又因?yàn)樵c(diǎn)O到直線MN的距離，所以=≤，當(dāng)且僅當(dāng)3+4k2=2m2時(shí)，S△OMN取得最大值．

綜合①②知，△OMN的面積取得最大值．點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及直線和橢圓相交時(shí)對(duì)應(yīng)三角形面積最值的探求，關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理及弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式得到三角形面積的表達(dá)式，再利用基本不等式獲得最值，求解時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1．對(duì)斜率不存在的情況進(jìn)行討論．2．聯(lián)立直線與橢圓的方程消元后，得到關(guān)于x的一元二次方程，判別式△＞0．3．利用基本不等式時(shí)必需滿足等號(hào)成立的條件．21.如圖，在三棱錐P-ABC中，G是棱PA的中點(diǎn)，，且,（Ⅰ）求證：直線BG⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角的正弦值.

參考答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【分析】(Ⅰ)先證明與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直.(Ⅱ)過點(diǎn)作于點(diǎn)，證是所求二面角，在三角形中求之即可.【詳解】（Ⅰ）連接，因?yàn)?，所?由已知得，，所以，所以，又，所以平面（Ⅱ）過點(diǎn)作，垂足是，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).連接，所以.所以就是二面角的平面角.由（Ⅰ）知平面，所以.因?yàn)?，，所以所?即二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明和二面角的求解，利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，求二面角的一般方法是作-證-求或空間向量.22.（本小題滿分12分）高考資源網(wǎng)某市電信部門規(guī)定：撥打本市電話時(shí)，如果通話時(shí)間不超過3分鐘，則收取通話費(fèi)0.2元；如果通話時(shí)間超過3分鐘，則超過部分以0.1元/分鐘收取通話費(fèi)（時(shí)間以分鐘計(jì)，不足1分鐘按1分鐘計(jì)）?，F(xiàn)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算通話費(fèi)用的算法：S1

輸入通話時(shí)間（按題目要求取整數(shù)）；S2

如果，則，否則；w。w-w*k&s%5￥uS3

輸出費(fèi)用

（1）試寫出該算法的一個(gè)程序框圖；

（2）表1為A、B、C、D、E五人撥打本市電話的情況，將A、C的應(yīng)繳話費(fèi)數(shù)填入表1中適當(dāng)位置；表1

ABCDE第一次