計(jì)算機(jī)圖形學(xué)-第三章求交分類

清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

3.3求交分類

清華大學(xué)幾何造型中，通常利用集合運(yùn)算（并、交、差運(yùn)算）實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形體的構(gòu)造。集合運(yùn)算需要大量的求交運(yùn)算。如何提高求交的實(shí)用性、穩(wěn)定性、速度、精度等，對幾何造型系統(tǒng)至關(guān)重要。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

3.3.1 求交分類簡介多面體模型這種模型的求交計(jì)算主要是線段和平面的求交，求交問題的解決相對簡單。多面體模型的缺點(diǎn)是明顯的。它只能近似表示形體，同時，復(fù)雜形體表面的離散會帶來巨大的數(shù)據(jù)量。CSG模型在這種模型中，形體通過基本體素的組合來實(shí)現(xiàn)。二次曲面的求交是這些造型系統(tǒng)中必不可少的。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

當(dāng)前的幾何造型系統(tǒng)，大多采用精確的邊界表示模型。在這種表示法中，形體的邊界元素和某類幾何元素相對應(yīng)，它們可以是直線、圓（圓?。⒍吻€、Bezier曲線、B樣條曲線等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B樣條曲面等，求交情況十分復(fù)雜。二次曲面與各種自由曲面并存的混合表示模型的采用，導(dǎo)致了歸類求交思想的產(chǎn)生。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

3.3.2 求交分類策略在幾何造型系統(tǒng)中，用到的幾何元素主要有點(diǎn)：3D點(diǎn)。線：3D直線段、二次曲線(包括圓弧和整圓、橢圓弧和橢圓、拋物線段、雙曲線段)、Bezier曲線(有理和非有理)、B樣條曲線、NURBS曲線。面：平面、二次曲面(包括球面、圓柱面、圓錐/臺面、雙曲面、拋物面、橢球面和橢圓柱面)、Bezier曲面(有理和非有理)、B樣條曲面、NURBS曲面。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

將幾何元素進(jìn)行歸類，利用同一元素之間的共性來研究求交算法。同時對每一類元素，在具體求交算法中要考慮它們的特性，以提高算法的效率，發(fā)揮混合表示方法的優(yōu)勢。求交方法可分為：點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面六種。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

3.3.3 基本的求交算法3.3.3.1線與線的求交計(jì)算二次曲線與二次曲線的求交。求交策略是將坐標(biāo)系變換到該圓錐曲線的局部坐標(biāo)系下，一個圓錐曲線用隱式方程的形式表示，而另一圓錐曲線采用參數(shù)方程的形式，代入即可獲得有關(guān)參數(shù)的四次方程，，因而可計(jì)算出二者的交點(diǎn)。二次曲線與NURBS曲線求交將NURBS曲線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的隱式方程，得到參數(shù)的一元高次方程，然后，使用一元高次方程的求根方法解出交點(diǎn)參數(shù)?；虬褕A錐曲線也表示為參數(shù)形式，轉(zhuǎn)化為兩個NURBS曲線的求交問題。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

NURBS曲線與NURBS曲線求交。采用離散法求初始交點(diǎn)，迭代求精確解的辦法，步驟如下：（1）初始化。依據(jù)離散精度，將NURBS曲線形成對應(yīng)的二叉樹表示，葉子結(jié)點(diǎn)是對應(yīng)于該曲線的某一離散子線段及其包圍盒，非葉子結(jié)點(diǎn)是對應(yīng)于該段NURBS曲線的包圍盒。（2）求初始交點(diǎn)。遍歷兩曲線的二叉樹，若其葉子結(jié)點(diǎn)的包圍盒相交，則將兩者的數(shù)據(jù)（曲線段中點(diǎn)的參數(shù)值，二者坐標(biāo)的平均值）存入初始交點(diǎn)隊(duì)列。（3）將初始交點(diǎn)迭代求精確交點(diǎn)。迭代方程可形象地用圖3.3.1表示。清華大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)

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3.3.3.2線與面的求交計(jì)算二次曲線與二次曲面的求交的求交計(jì)算，可以把二次曲線的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程，計(jì)算出交點(diǎn)的參數(shù)。NURBS曲線與二次曲面的求交計(jì)算，可以把NURBS曲線的參數(shù)形式代入二次曲面的隱式方程，得到關(guān)于參數(shù)的高次方程，然后求解。NURBS曲線與NURBS曲面的求交計(jì)算1．初始化。依據(jù)離散精度，將NURBS曲線離散成二叉樹的形式清華擱大學(xué)劉計(jì)算扭機(jī)科喬學(xué)與懷技術(shù)低系搜計(jì)衣算機(jī)綢圖形砌學(xué)基勻礎(chǔ)2．求崗初始遷交點(diǎn)壁。遍漆歷該笛二叉鐘樹和嫌四叉申樹，塊如果挖曲線陷二叉卷樹葉別子結(jié)柳點(diǎn)的妻包圍朱盒與結(jié)曲面次四叉精樹的乓葉子資結(jié)點(diǎn)拖的包歪圍盒爸有交攏點(diǎn)，滅則將筒子曲私線段譯中點(diǎn)京的參狹數(shù)值局、子乓曲面?zhèn)z片的刪中心臣點(diǎn)的疼坐標(biāo)球值與抬參數(shù)猛值作卻為初覺始交桿點(diǎn)，刪記錄躍到初漁始交悉點(diǎn)點(diǎn)啄列中隙去。3．對管初始方交點(diǎn)初進(jìn)行耕迭代噸，形竟成精譜確交至點(diǎn)。收可用趴牛頓勻迭代謙法求朝解精胃確交番點(diǎn)。舟設(shè)NU順RB擇S曲線編為C(舌t)，NU午RB輪S曲面杏為S(分u,柄v)，則夫在交映點(diǎn)處姿應(yīng)滿攤足：C(滴t)要-S去(u扁,v貪)=蘆0設(shè)f(捐u,晉v,蠅t)則=C削(t押)-牧S(舌u,閱v)清華翻大學(xué)躲計(jì)算快機(jī)科砍學(xué)與茂技術(shù)服系嬸計(jì)簡算機(jī)鐘圖形候?qū)W基楊礎(chǔ)可得佛到：令,則可匹建立維迭代陡方程萄：設(shè)初膛值為夜，一傷般迭患代3~維5次，徹便可恩達(dá)到御要求即的精癢度。清華拒大學(xué)降計(jì)算玻機(jī)科都學(xué)與物技術(shù)絞系船計(jì)朝算機(jī)季圖形袖學(xué)基晉礎(chǔ)曲面戴與曲就面的匹求交曲面?zhèn)€與曲很面之紙間的胳求交伸是最鬼為復(fù)敵雜的秧一種曲面傲與曲勵面求爺交的額基本序方法把主要?dú)g有:代數(shù)菌方法幾何積方法離散鄉(xiāng)豐方法跟蹤瞞方法清華呢大學(xué)小計(jì)算待機(jī)科雁學(xué)與父技術(shù)慈系巾計(jì)篇算機(jī)淋圖形哥學(xué)基猜礎(chǔ)1．代茶數(shù)方宣法利用熊代數(shù)紹運(yùn)算脾，特芬別是譜求解掀代數(shù)銷方程凡的方曲法求任出曲閣面的柿交線然。根據(jù)尸參與印求交肝的兩宴曲面禽的表玻示形渣式的勁不同斧，可腥以把廚求交育分為王三種黃情況惰。隱式貴表示裙和參蘆數(shù)表孝示的桿曲面混求交竭，通網(wǎng)過把喝參數(shù)康方程英代入切隱式促方程寸的方府法，趕可以產(chǎn)將交狗線表換示為g(雪u,嘉v)撕=0的形盤式。國此時挖得到向的交筑線方駛程是鏈平面姥代數(shù)扔曲線先方程況，可蛾根據(jù)萍平面鴨代數(shù)鑒曲線魯理論脅的方絕法求榴解交愛線。清華最大學(xué)邀計(jì)算尾機(jī)科石學(xué)與模技術(shù)質(zhì)系攪計(jì)淡算機(jī)情圖形廣學(xué)基易礎(chǔ)兩個斷曲面卸都是廢參數(shù)臂表示紀(jì)的情券形，友只需貨要將小其中揮之一箏隱式參化，擇然后趟用前爆面的筍方法書求解塵。而趕參數(shù)跪多項(xiàng)印式或錢有理室多項(xiàng)陰式曲駛面的對隱式托化通俗過消趴元來腿實(shí)現(xiàn)朱。兩個號曲面求都是神隱式銳曲面趨。一時種方克法是至將其憑中一充個曲怪面參困數(shù)化集，然溫后用代第一依種情尚況來霉求解盼。但魄是，拒一般肅情況集下這淋種參惱數(shù)化姐很困針難，飛對于體某些聲情況經(jīng)可以制采用而另外蕩的方籃法計(jì)善算參樂數(shù)化駝的曲頭面。代數(shù)蜜法的柿弱點(diǎn)拔是對宗誤差證很敏伙感這是辨因?yàn)楸榇鷶?shù)限法經(jīng)敘常需賺要判弓別某爆些量尸是否鄭大于勻零、瀉等于蓬零或孩小于旬零，嫌而在宮計(jì)算裙機(jī)中螺的浮屠點(diǎn)數(shù)儀近似屑表示匙的誤融差常好常會梁使這隊(duì)種判丘別出膠現(xiàn)錯姨誤。清華斬大學(xué)扶計(jì)算良機(jī)科遞學(xué)與遮技術(shù)倡系氧計(jì)攔算機(jī)辜圖形慮學(xué)基裙礎(chǔ)2．幾導(dǎo)何方辛法利用攝幾何由的方維法，聞對參說與求藏交的落曲面刑的形昏狀大蠟小、些相互不位置葉以及莊方向篩等進(jìn)齡行計(jì)陸算和納判斷拼，識殊別出蹦交線問的形勁狀和漁類型乞，從償而可亡精確褲求出姐交線膚。幾何近求交犁適應(yīng)牛性不雨是很歡廣，弄一般捆僅用依于平聰面以體及二昆次曲煮面等洋簡單非曲面報(bào)的求緩交清華訴大學(xué)猾計(jì)算婚機(jī)科傷學(xué)與認(rèn)技術(shù)封系速計(jì)背算機(jī)遷圖形城學(xué)基鬧礎(chǔ)對于增一些舍交線破退化叼或相港切的想情形你，交益線往緣瑞往是乳點(diǎn)、策直線液或圓禾錐曲粒線，境用幾找何方萌法求形交可坑以更承加迅假速和兆可靠汽。清華葵大學(xué)印計(jì)算巖機(jī)科露學(xué)與四技術(shù)享系爛計(jì)屬算機(jī)吊圖形剛學(xué)基隔礎(chǔ)3．離斗散方號法離散給方法予求交錄是利濾用分郵割的貞方法蜜，將改曲面俱不斷江離散咳成較跟小的妖曲面職片，荷直到括每一倘子曲汗面片棟均可匆用比曾較簡惠單的甜面片聾，然釘后用疏這些朱簡單挖面片榴求交鎖得一手系列迅交線該段，薦連接含這些余交線枕段即好得到禾精確籃交線可的近陽似結(jié)春果。離散損求交稅一般射包括淘下面像的過罷程：訓(xùn)用包緊圍盒喉作分翁離性巧檢查棗排除洽無交餡區(qū)域航；根刷據(jù)平逆坦性好檢查柳判斷蝕是否擺終止兆離散如過程拜；連陡接求永出的晶交線諒段作算為求廟交結(jié)卸果。清華枯大學(xué)頑計(jì)算鑒機(jī)科康學(xué)與拍技術(shù)站系剖計(jì)杠算機(jī)啟圖形砌學(xué)基感礎(chǔ)由于Be薪zi粱er曲面陜，B樣條花曲面爺具有毅離散蓄性質(zhì)貢，使齒得它蝦們最撲適合坑于離費(fèi)散法暑求交穿。缺點(diǎn)時：離散溪法求曲出的蕉交線昆逼近泄精度罷不高衣。如但果要受求的沾精度毯較高遣，需濁要增畫加離趣散層量數(shù)。州這將收大大啦增加兄了數(shù)屆據(jù)儲悼存量州和計(jì)仇算量香。處于某不同素離散主層數(shù)回的相叔鄰子營曲面掛片，斧由它博們產(chǎn)積生的劉交線抬段可側(cè)能會頂出現(xiàn)橡裂縫亞。清華鈔大學(xué)紹計(jì)算避機(jī)科直學(xué)與喚技術(shù)錄系奧計(jì)描算機(jī)離圖形漠學(xué)基擊礎(chǔ)4．跟惕蹤方辦法通過達(dá)先求詞出初渡始交融點(diǎn)，縮慧然后篇從已濕知的瓣初始籮交點(diǎn)模出發(fā)使，相去繼跟完蹤計(jì)謀算出捷下一務(wù)交點(diǎn)使，從宰而求良出整郊條交良線的例方法病。跟蹤綿法的悄本質(zhì)冷是構(gòu)嗽造交誕線滿陪足的幸微分棄方程博組，墳先求組出滿避足方做程組蔑的某帖個某噴個初專值解歲，通習(xí)過數(shù)浸值求省解微墾分方倆程組滋的方晚法來忍計(jì)算躺整個鮮交線頭。跟蹤引方法富在計(jì)聾算相裁繼交慮點(diǎn)的火時候話，利時用了管曲面竿的局捆部微誘分性斬質(zhì)，喘一般架采用笨數(shù)值沈迭代胡的方幣法求愈