絕對值的三種化簡方法（含答案解析） 人教版七年級數(shù)學上冊提分必刷

專題01絕對值的三種化簡方法絕對值版塊的內(nèi)容在我們這學期比重較大，尤其是絕對值的化簡。并且，在壓軸題中，常見的題型是利用數(shù)軸化簡絕對值和利用其幾何意義化簡絕對值，本專題就這兩塊難點詳細做出分析?！局R點梳理】1.絕對值的定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|2.絕對值的意義①代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0；②幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小。3.絕對值的化簡：類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值例1．有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上位置如圖，則的值為（

）．A． B． C．0 D．【答案】A【詳解】根據(jù)數(shù)軸上點的位置得：，且，則，，，則．故選A．例2．有理數(shù)，在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是(

)A．-1 B．1 C．3 D．-3【答案】D【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式．故選：D．【變式訓練1】已知，數(shù)、、的大小關系如圖所示：化簡____．【答案】【詳解】由數(shù)軸可得：b＜0，0＜a＜c，∴（a+c）＞0，（b-a）＜0，（a-c）＜0，（b-c）＜0，∴a+c-（a-b）-2（c-a）+3（c-b）=a+c-a+b-2c+2a+3c-3b=2a-2b+2c，故答案為：2a-2b+2c．【變式訓練2】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖．（1）判斷正負，用“>”或“<”填空：，，．（2）化簡：【答案】（1）＜，＜，＞；（2）2c-2b-2a【詳解】解：由圖可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，（1）b?c＜0，a＋b＜0，?a＋c＞0；故答案為：＜，＜，＞；（2）＝c?b?a-b-a+c=2c-2b-2a．【變式訓練3】有理數(shù)，在數(shù)軸上的對應點如圖所示：（1）填空：______0；______0；______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）（2）化簡：【答案】（1）<，<，>；（2）【詳解】（1）從數(shù)軸可知：，，故答案為：<，<，>；（2），．【變式訓練4】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．(2)化簡：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．【答案】(1)＜，＞，＞，＜；(2)b【解析】(1)解：由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可知，a＜0＜b＜c，∴c﹣b＞0，ab＜0故答案為：＜，＞，＞，＜；(2)由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可得，b+c＞0，c﹣a＞0，∴|a|+|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣a+b+c﹣c+a＝b．類型二、利用幾何意義化簡絕對值例1.同學們都知道，|5-（-2）|表示5與-2之差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索（1）求|5-（-2）|=________；（2）同樣道理|x+1008|=|x-1005|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點到-1008和1005所對的兩點距離相等，則x=________；（3）類似的|x+5|+|x-2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點到-5和2所對的兩點距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x-2|=7，這樣的整數(shù)是__________．（4）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【答案】（1）7；（2）；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值為3．【詳解】（1）|5-（-2）|==7，故答案為：7（2）∵|x+1008|=|x-1005|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點到-1008和1005所對的兩點距離相等，∴x所對點為-1008和1005所對點的中點，∴x+1008＞0，x-1005＜0，∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得：，答案為：（3）當x+5=0時，x=-5，當x-2=0時，x=2，當x＜-5時，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范圍內(nèi)不成立，舍去）當-5≤x＜2時，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7，∵x為整數(shù)，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1當x≥2時，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2，綜上所述：符合條件的整數(shù)為-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，故答案為：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2（4）∵|x-3|+|x-6|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對點到3和6所對的兩點距離之和，∴由（2）得3≤x≤6時|x-3|+|x-6|的值最小，∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值為3．【變式訓練1】閱讀下面的材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為∣AB∣，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；當A、B兩點都不在原點時：①如圖2，點A、B都在原點的右邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如圖3，點A、B都在原點的左邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如圖4，點A、B在原點的兩邊：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離∣AB∣=∣a-b∣．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_________，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是________，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是___________；(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是________，如果∣AB∣=2，那么x為__________．(3)當代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值時，相應的x的取值范圍是__________．【答案】(1)3，3，4；(2)，1或-3；(3)【解析】(1)解：數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離為；故答案為：3，3，4；(2)解：數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是，根據(jù)題意得，即，所以x=1或-3，故答案為，1或-3；(3)解：代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距離和，只有在-1和2之間才會有最小距離3，所以x的取值為，故答案為：．【變式訓練2】結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離可以表示為|m﹣n|．那么，數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點之間的距離可以表示為，表示數(shù)y與﹣1兩點之間的距離可以表示為．（2）如果表示數(shù)a和﹣2的兩點之間的距離是3，那么a＝；若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）當a＝時，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【答案】（1）3，5，|x-5|，|y+1|；（2）1或-5；|a+4|+|a-2|=6；（3）1，9．【詳解】（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是4-1=3；表示-3和2兩點之間的距離是2-（-3）=5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離可以表示為|m-n|．那么，數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點之間的距離可以表示為|x-5|，表示數(shù)y與-1兩點之間的距離可以表示為|y+1|．故答案為：3，5，|x-5|，|y+1|；（2）如果表示數(shù)a和-2的兩點之間的距離是3，那么|a-（-2）|=3，∴|a+2|=3，∴a+2=3或a+2=-3，解得a=1或a=-5；∵|a+4|+|a-2|表示數(shù)a與-4的距離與a和2的距離之和，若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，則|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之間的距離，等于6．即|a+4|+|a-2|=6，故答案為：1或-5；（3）|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一點到-5，1，4三點的距離的和，∴當a=1時，該式的值最小，最小值為6+0+3=9．∴當a=1時，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是9．故答案為：1，9．【變式訓練3】（問題提出）的最小值是多少？（閱讀理解）為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到原點的距離，那么可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到1的距離；就可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：（1）如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．（2）如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），看出到1和2的距離之和等于1．（3）如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．因此，我們可以得出結(jié)論：當在1，2之間（包括在1，2上）時，有最小值1．（問題解決）（1）的幾何意義是，請你結(jié)合數(shù)軸探究：的最小值是．（2）請你結(jié)合圖④探究的最小值是，由此可以得出為．（3）的最小值為．（4）的最小值為．（拓展應用）如圖，已知使到-1，2的距離之和小于4，請直接寫出的取值范圍是．【答案】（1）a這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到4和7兩個點的距離之和，3；（2）2，2；（3）6；（4）1021110；拓展應用．【詳解】（1）的幾何意義是a這個數(shù)在數(shù)軸上對應點到4和7兩個點的距離之和；當a在4和7之間時（包括4，7上），可以看出a到4和7的距離之和等于3，此時取得最小值是3；故答案為：a這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和，最小值是3.（2）當a取中間數(shù)2時，絕對值最小，的最小值是1+0+1=2；如圖所示：故答案為：2，2；（3）當a取最中間數(shù)時，絕對值最小，的最小值是；（4）當a取中間數(shù)1011時，絕對值最小，的最小值為：1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010=；拓展應用∵a使它到-1，2的距離之和小于4，∴，∴①當時，則有，解得：，∴；②當時，則有，∴，③當時，則有，解得：，∴，綜上：，數(shù)軸上表示如下：類型三、分類討論法化簡絕對值例1.化簡：.【答案】【解析】試題解析：①當時，原式②當時，原式③當時，原式④當時，原式綜上所述：【變式訓練1】若，則的值為_________．【答案】0或2或4【詳解】∵，∴a、b、c三個數(shù)中必定是一正兩負，∴當時，，此時當時，，此時當時，，此時故答案為：0或2或4【變式訓練2】（1）數(shù)學小組遇到這樣一個問題：若a，b均不為零，求的值．請補充以下解答過程（直接填空）①當兩個字母a，b中有2個正，0個負時，x=；②當兩個字母a，b中有1個正，1個負時，x=；③當兩個字母a，b中有0個正，2個負時，x=；綜上，當a，b均不為零，求x的值為．（2）請仿照解答過程完成下列問題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數(shù)式的值．【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1【詳解】（1）①∵a、b都是正數(shù)，∴=a，=b，∴=1+1=2，故答案為：2；②設a是負數(shù)，b是正數(shù)，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案為：0；③∵a、b都是負數(shù)，∴=-a，=-b，∴=-1-1=-2，