區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

雙側(cè)置信區(qū)間設(shè)X分布函數(shù)為F(x;?),?未知，給定α

(0<α<1),若由樣本X1,X2,…,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量置信度為1-α

的置信區(qū)間。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)單側(cè)置信區(qū)間設(shè)X分布函數(shù)為F(x;?),θ未知，給定α

(0<α<1),若由樣本X1,X2,…,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量置信度為1-α

的單側(cè)置信區(qū)間。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)單側(cè)置信區(qū)間設(shè)X分布函數(shù)為F(x;?),θ未知，給定α

(0<α<1),若由樣本X1,X2,…,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量置信度為1-α

的單側(cè)置信區(qū)間。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)對(duì)于給定的置信度，根據(jù)樣本來確定未知參數(shù)?的置信區(qū)間，稱為未知參數(shù)?的區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)求雙側(cè)置信區(qū)間的步驟(1)根據(jù)題意，構(gòu)造分布已知、含參數(shù)?、不含其它未知參數(shù)的樣本函數(shù)U，且U

充分包含已知信息；(2)給定置信度1-α，定出常數(shù)a,b，使

P{a<U<b}=1-α；(3)將a<U<b變形，使得；區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)H0:檢驗(yàn)是否為真的假設(shè)稱為原假設(shè)；H1:與H0對(duì)立的假設(shè)稱為備擇假設(shè)。原假設(shè)是關(guān)于總體參數(shù)的，則稱之為參數(shù)假設(shè);檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)的問題，稱為參數(shù)檢驗(yàn)；原假設(shè)是關(guān)于總體分布類型的，則稱之為分布假設(shè)；檢驗(yàn)分布假設(shè)的問題，稱之為分布檢驗(yàn).假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理“小概率”原理：概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生。提出H0→構(gòu)造小概率事件A→試驗(yàn)或抽樣→A發(fā)生→推翻H0↓A沒發(fā)生→接受H0區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)關(guān)于原假設(shè)H0的拒絕域

關(guān)于原假設(shè)H0的接受域

雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的步驟(1)根據(jù)問題,提出H0與H1;(2)構(gòu)造分布已知、不含其它未知參數(shù)的樣本函數(shù)U，且U充分包含已知信息;(3)根據(jù)顯著性水平α,查表確定對(duì)應(yīng)α

的臨界值;(4)計(jì)算U并與臨界值比較,接受或拒絕H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯(cuò)誤正確正確第二類錯(cuò)誤以真為假以假為真區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)單正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

σ2已知時(shí)μ的置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)

σ2未知時(shí)μ的置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)方差σ2的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

μ已知時(shí)σ2的置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)

μ未知時(shí)σ2的置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2已知時(shí)μ的雙側(cè)置信區(qū)間即得μ的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2已知時(shí)μ的單側(cè)置信區(qū)間即得μ的置信區(qū)間μ的單側(cè)置信下限區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2已知時(shí)μ的單側(cè)置信區(qū)間即得μ的置信區(qū)間μ的單側(cè)置信上限區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例1.從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件中隨機(jī)抽取16個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11

估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05).解：μ的矩估計(jì)值為μ的置信區(qū)間為(2.115,2.135).區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例2.從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件中隨機(jī)抽取16個(gè)，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11

試求μ的置信度為0.95的單側(cè)置信下限.解：μ的單側(cè)置信下限為μ的單側(cè)置信下限為2.117.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2已知時(shí)μ的假設(shè)檢驗(yàn)(1)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=μ0,

H1:μ

≠μ0

否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例3.根據(jù)以往的資料得知,我國(guó)健康成年男子的脈搏平均72次/min,標(biāo)準(zhǔn)差為6.4次/min,現(xiàn)從某體院男生中,隨機(jī)抽取25人,測(cè)得平均脈搏為68.6次/min,如果標(biāo)準(zhǔn)差不變,試問:

該體院男生的脈搏與一般健康成年男子的脈搏有無差異？（α=0.05）解：H0:μ=72H1:μ≠72|U|=2.656>1.96,拒絕H0。即……區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(2)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≤μ0,H1:μ

>μ0

否則,接受H0.σ2已知時(shí)μ的假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(3)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≥μ0,H1:μ

<μ0

否則,接受H0.σ2已知時(shí)μ的假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2未知時(shí)μ的雙側(cè)置信區(qū)間即得μ的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例4.從一批服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的零件中隨機(jī)抽取16個(gè)，分別測(cè)得其直徑為：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06

估計(jì)該批零件的平均長(zhǎng)度μ，并求μ的置信區(qū)間(α=0.05).解：μ的置信區(qū)間為(12.049,12.101).區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2未知時(shí)μ的單側(cè)置信區(qū)間即得μ的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2未知時(shí)μ的單側(cè)置信區(qū)間即得μ的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2未知時(shí)μ的假設(shè)檢驗(yàn)否則,接受H0.(1)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=μ0,

H1:μ

≠μ0

區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ2未知時(shí)μ的假設(shè)檢驗(yàn)否則,接受H0.(2)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≤μ0,H1:μ

>μ0

區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)否則,接受H0.σ2未知時(shí)μ的假設(shè)檢驗(yàn)(3)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≥μ0,H1:μ

<μ0

區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例5.某部門對(duì)當(dāng)前市場(chǎng)的價(jià)格情況進(jìn)行調(diào)查,以雞蛋為例,所抽查的全省20個(gè)集市上,售價(jià)分別為(單位:元/500克)3.053.313.343.823.303.163.843.103.903.183.883.223.283.343.623.283.303.223.543.30

已知往年的平均售價(jià)一直穩(wěn)定在3.25元/500克左右,能否認(rèn)為全省當(dāng)前的雞蛋售價(jià)明顯高于往年？（α=0.05）解：H0:μ≤3.25,H1:μ>3.25T=2.476>1.73,拒絕H0。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)μ已知時(shí)σ2的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)即得σ2的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例6.一批鋼筋的20個(gè)樣品的屈服點(diǎn)為：4.985.115.205.115.005.355.614.885.275.385.465.275.234.965.154.775.355.385.545.20

設(shè)屈服點(diǎn)服從正態(tài)分布N(5.21,σ2),求屈服點(diǎn)總體方差σ2的置信度為95％的置信區(qū)間。解：σ2的置信區(qū)間為(0.027,0.096).區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)μ已知時(shí)σ2的假設(shè)檢驗(yàn)(1)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2=σ02否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(2)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2≤σ02否則,接受H0.μ已知時(shí)σ2的假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(3)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2≥σ02否則,接受H0.μ已知時(shí)σ2的假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例7.設(shè)維尼綸纖度在正常生產(chǎn)條件下服從

N(1.405,0.0482)，某日抽出5根纖維，測(cè)得其纖度為：

1.321.361.551.441.40

問這一天生產(chǎn)的維尼綸的纖度的方差是否正常？（α=0.10）解：H0:σ2=0.0482χ2=13.67>11.07,拒絕H0。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)μ未知時(shí)σ2的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)即得σ2的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例8.從一批服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的零件中隨機(jī)抽取16個(gè)，分別測(cè)得其直徑為：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06

試求零件直徑的方差σ2對(duì)應(yīng)于置信度98％的置信區(qū)間。解：可得σ2的置信區(qū)間為(0.001196,0.006998).區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)μ未知時(shí)σ2的假設(shè)檢驗(yàn)(1)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2=σ02否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(2)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2≤σ02否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(3)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ2≥σ02否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例9.某煉鐵廠鐵水的含碳量X，在正常情況下服從正態(tài)分布?，F(xiàn)對(duì)操作工藝進(jìn)行某些改變，從中抽取了7爐鐵水的試樣，測(cè)得含碳量數(shù)據(jù)如下：4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683試問：是否可以認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1122？（α=0.05

）解：H0:σ2=0.1122χ2=16.789>14.45,拒絕H0。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)雙正態(tài)總體設(shè)X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，X1,X2,…,Xm來自X，Y1,Y2,…,Yn來自Y，且兩樣本相互獨(dú)立。均值差μ1-μ2的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)方差比σ12/σ22的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ1,σ2已知時(shí)μ1-μ2的置信區(qū)間即得μ1-μ2的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例1.兩臺(tái)機(jī)床加工同一種軸,第一臺(tái)機(jī)床加工的軸的橢圓度X服從方差為0.0252的正態(tài)分布,第二臺(tái)機(jī)床加工的軸的橢圓度Y服從方差為0.0622的正態(tài)分布現(xiàn)分別從兩機(jī)床加工的軸中隨機(jī)抽取200根和150根，測(cè)量其橢圓度,經(jīng)計(jì)算得：解：可得μ1-μ2的置信區(qū)間為(0.0085,0.0205).給定置信度為95%,試求兩機(jī)床加工的軸的平均橢圓度之差的置信區(qū)間.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ12,σ22已知時(shí)均值的假設(shè)檢驗(yàn)(1)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ1

=μ2否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(2)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ1≤μ2否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(3)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ1≥μ2否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例2.從甲、乙兩廠所生產(chǎn)的鋼絲總體X、Y中各取50束作拉力強(qiáng)度試驗(yàn)，甲乙兩廠鋼絲的抗拉強(qiáng)度是否有顯著差異？(α=0.05)解：H0:μ1

=μ24.35>1.96,拒絕H0。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ1=σ2=σ未知時(shí),μ1-μ2的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例3.某公司利用兩條流水線灌裝礦泉水,現(xiàn)從生產(chǎn)線上分別隨機(jī)抽取樣本X1,X2,…,X12和Y1,Y2,…,Y17測(cè)量每瓶礦泉水的體積,計(jì)算得到解：可得μ1-μ2的置信區(qū)間為(-0.101,2.901).求μ1-μ2的置信度為95%的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ12=σ22未知時(shí)均值的假設(shè)檢驗(yàn)(1)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ1

=μ2否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(2)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ1≤μ2否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(3)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ1≥μ2否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)例4.在一臺(tái)自動(dòng)車床上加工直徑為2.050毫米的軸，現(xiàn)在每相隔2小時(shí)，各取容量都為10的樣本，所得數(shù)據(jù)列表如下表，問這臺(tái)車床的生產(chǎn)是否穩(wěn)定？(α=0.01)解：由于數(shù)據(jù)取自同一車床,所以σ1=σ2

H0:μ1

=μ23.327>2.88,拒絕H0。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)σ1,σ2未知,且σ1≠σ2，但容量m,n很大時(shí),

μ1-μ2的置信區(qū)間區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)μ1,μ2已知時(shí),方差比σ12/σ22的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)可得σ12/σ22的置信區(qū)間：同理，σ22/σ12的置信區(qū)間：區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)μ1,μ2已知時(shí)方差的假設(shè)檢驗(yàn)(1)雙側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ12=σ22否則,拒絕H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(2)右側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ12≤

σ22否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)(3)左側(cè)檢驗(yàn):檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ12≥

σ22否則,接受H0.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)μ1,μ2未知時(shí),方差比σ12/σ22的區(qū)間估