數(shù)學(xué)-2023屆新高考地區(qū)百?gòu)?qiáng)名校新高考數(shù)學(xué)模擬考試壓軸題精編卷（五）（新高考通用）解析版

【百?gòu)?qiáng)名校】2023屆新高考地區(qū)百?gòu)?qiáng)名校新高考數(shù)學(xué)模擬考試壓軸題精編卷（五）（新高考通用）一、單選題1．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，以AF，為直徑的圓分別與x軸交于異于F的P，Q兩點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，通過(guò)幾何分析可求得，從而求出的方程，聯(lián)立的方程和拋物線(xiàn)方程即可求弦長(zhǎng).【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為,過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，因?yàn)锳F，為直徑的圓分別與x軸交于異于F的P，Q兩點(diǎn)，所以,且,所以與相似，且相似比為，所以,設(shè)，所以，則，所以，，即,所以直線(xiàn)的斜率為，所以的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則有，所以，故選:C.2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┰谶呴L(zhǎng)為的菱形中，，將繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到，使得四面體外接球的表面積為，則此時(shí)二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件，得出是二面角的平面角，作的中心，，，，知四面體外接球的球心在上，根據(jù)勾股定理求出，，進(jìn)而可得二面角的余弦值．【詳解】由題意可知，和均為正三角形，設(shè)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)，作交于點(diǎn)，可得是二面角的平面角，作的中心，則在上，且，作，，，可知四面體外接球的球心在上，又，，在和中，由，，，，解得，，，二面角的余弦值為故選：A3．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD為矩形，SA⊥AB，SB=SC=2，SA=AD=1，則四棱錐S-ABCD的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷出球心的位置，利用勾股定理計(jì)算出球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】設(shè)外接球的半徑為，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.，由于，所以平面，由于平面，所以，所以，所以三角形是等邊三角形，設(shè)其外心為，設(shè)是的中點(diǎn)，則，由于平面平面且交線(xiàn)為，平面，所以平面，設(shè)，則是矩形的外心.連接，由于平面，所以，球心在的正上方也在的正上方，故四邊形是矩形，，，所以，所以球的表面積為.故選：A4．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把遞推公式轉(zhuǎn)化為，再裂項(xiàng)相消即可求.【詳解】由可得：，即兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：，即所以.故選：B．5．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【分析】易知結(jié)合余弦定理可得，然后邊化角后利用展開(kāi)，然后化簡(jiǎn)可得.【詳解】由余弦定理以及可得：，又在三角形中有，即，所以故.故選：A．6．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得到；再直接計(jì)算，從而得到，進(jìn)而得到；由此得解.【詳解】令，，則，故在上單調(diào)遞減，所以，即，即，故；因?yàn)椋?，所以，故，即，即；綜上：.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理．7．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用多次求導(dǎo)的方法，列不等式來(lái)求得的取值范圍.公眾號(hào)：高中試卷君【詳解】的定義域是，，令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.要使有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，此時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：D【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)一次求導(dǎo)無(wú)法求得函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可利用二次求導(dǎo)的方法來(lái)進(jìn)行求解.在求解的過(guò)程中，要注意原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.8．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，進(jìn)而關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞增，結(jié)合條件可得，解不等式即得.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，又時(shí)，，單調(diào)遞增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞增．所以，兩邊平方，化簡(jiǎn)得，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)不等式進(jìn)而即得.公眾號(hào)：高中試卷君9．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線(xiàn)定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線(xiàn)定義分別把圖中所有線(xiàn)段用表示出來(lái)，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)槠椒?，由角平分線(xiàn)定理可知，，所以，所以，由雙曲線(xiàn)定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡(jiǎn)得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．10．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及得到或，分別討論兩種情況下四個(gè)選項(xiàng)是否正確，A選項(xiàng)可以用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項(xiàng)可以用作差法，C選項(xiàng)用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，D選項(xiàng)，需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；，；故ABC均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，兩邊取自然對(duì)數(shù)，，因?yàn)椴还?，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D二、多選題11．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)雙十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在一次全市視力達(dá)標(biāo)測(cè)試后，該市甲乙兩所學(xué)校統(tǒng)計(jì)本校理科和文科學(xué)生視力達(dá)標(biāo)率結(jié)果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生達(dá)標(biāo)率60%70%65%75%定義總達(dá)標(biāo)率為理科與文科學(xué)生達(dá)標(biāo)人數(shù)之和與文理科學(xué)生總?cè)藬?shù)的比，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．乙校的理科生達(dá)標(biāo)率和文科生達(dá)標(biāo)率都分別高于甲校B．兩校的文科生達(dá)標(biāo)率都分別高于其理科生達(dá)標(biāo)率C．若甲校理科生和文科生達(dá)標(biāo)人數(shù)相同，則甲?？傔_(dá)標(biāo)率為65%D．甲校的總達(dá)標(biāo)率可能高于乙校的總達(dá)標(biāo)率【答案】ABD公眾號(hào)：高中試卷君【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合達(dá)標(biāo)率的計(jì)算公式對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得甲校理科生達(dá)標(biāo)率為60%，文科生達(dá)標(biāo)率為70%，乙校理科生達(dá)標(biāo)率為65%，文科生達(dá)標(biāo)率為75%，故選項(xiàng)AB正確；設(shè)甲校理科生有人，文科生有人，若，即，則甲?？傔_(dá)標(biāo)率為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由總達(dá)標(biāo)率的計(jì)算公式可知當(dāng)學(xué)校理科生文科生的人數(shù)相差較大時(shí)，所占的權(quán)重不同，總達(dá)標(biāo)率會(huì)接近理科生達(dá)標(biāo)率或文科生達(dá)標(biāo)率，當(dāng)甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生時(shí)，甲校的總達(dá)標(biāo)率可能高于乙校的總達(dá)標(biāo)率，選項(xiàng)D正確；故選：ABD12．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M，N分別為接CD，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面內(nèi)部（不含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面MNQ截正方體所得的多邊形可能為四邊形、五邊形或六邊形B．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，均有平面MNQ⊥平面C．當(dāng)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)平面MNQD．當(dāng)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)時(shí)，平面MNQ故正方體的外接球所得截面的面積為【答案】BCD【分析】點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面MNO截正方體所得的多邊形可能為五邊形成六邊形判斷A，根據(jù)線(xiàn)面垂直即可判斷B，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)平行可判斷C，根據(jù)幾何體外接球的性質(zhì)可計(jì)算長(zhǎng)度求解半徑即可判斷D.【詳解】如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面MNO截正方體所得的多邊形可能為五邊形成六邊形，故A錯(cuò)誤；由于平面,所以平面,由于,故直線(xiàn)MN⊥平面，平面MNQ，平面MNQ⊥平面，故B正確；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)Q為中點(diǎn)時(shí)，截面MNSER為五邊形，直線(xiàn)MN與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)T，易得：，又在平面中，易得，所以，平面MNQ,平面MNQ,則直線(xiàn)平面MNQ，故C正確；如圖4所示，由C選項(xiàng)可知，，所以球心O到平面MNQ的距離等于點(diǎn)A到平面MNQ距離的三分之一，又由B選項(xiàng)可知，點(diǎn)A到直線(xiàn)ET的距離即是點(diǎn)A到平面MNQ的距離，利用等面積法可得該距離為，所以球心O到平面MNQ的距離，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故D正確，故選:BCD．【點(diǎn)睛】13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎獟佄锞€(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若點(diǎn)，則的最小值為4B．過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有且僅有兩條C．若正三角形ODE的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，則ODE的周長(zhǎng)為D．點(diǎn)H為拋物線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，，，當(dāng)t取最大值時(shí)，GFH的面積為2【答案】AD公眾號(hào)：高中試卷君【分析】A選項(xiàng)，過(guò)P點(diǎn)做準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為.由拋物線(xiàn)定義，，據(jù)此可得最小值；B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)B且與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有兩類(lèi)，拋物線(xiàn)的切線(xiàn)與斜率不存在的直線(xiàn)；C選項(xiàng)，設(shè)，由及D，E兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上可得，后可得ODE的周長(zhǎng)；D選項(xiàng)，設(shè)，則，由基本不等式可得取最大值時(shí)，，后可得GFH的面積.【詳解】A選項(xiàng)，過(guò)P點(diǎn)做準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為.則由拋物線(xiàn)定義，有.則，則當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有最小值4.故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)B直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過(guò)點(diǎn)B直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，則.令或，則直線(xiàn)或?yàn)閽佄锞€(xiàn)切線(xiàn).綜上，過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有3條，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，因三角形ODE為正三角形，則，又，則.因，則.又由圖可得.則，則.得ODE的周長(zhǎng)為.故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，則，當(dāng)取最大值時(shí)，.取，則此時(shí)GFH的面積為.故D正確.故選：AD14．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)周期為B．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)奇偶性及對(duì)稱(chēng)性得到的周期性，令，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可得到，從而得到，即可得到的對(duì)稱(chēng)性，再根據(jù)的奇偶性得到的周期性，最后根據(jù)周期性判斷C、D.【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，又的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以，則，即函數(shù)的一個(gè)周期為，故A正確；對(duì)于B：令，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，即，所以，即的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以，即函數(shù)的一個(gè)周期為，所以，又，，所以，即，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎遥?，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．若關(guān)于b的方程有且僅有一個(gè)解，則C．若關(guān)于b的方程有兩個(gè)解，，則D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC公眾號(hào)：高中試卷君【分析】對(duì)于A，構(gòu)造，然后得到其單調(diào)性即可判斷；對(duì)于B，轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題；對(duì)于C，結(jié)合前面結(jié)論得到，代入計(jì)算即可判斷；對(duì)于D，轉(zhuǎn)化為即，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，化?jiǎn)可得令，則，令，則，故時(shí)，，函數(shù)在上遞增；時(shí)，，函數(shù)在上遞減；所以即，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以，且令，則，令，得，則遞增；令，得，則遞減；所以，即，所以成立，故A正確；由轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問(wèn)題，則，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，則遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則遞增，當(dāng)時(shí)，，則遞減，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，所以只有一個(gè)解時(shí)或，故B錯(cuò)誤；由，由圖易知，不妨設(shè)，則，則有所以，所以，代入可得，取對(duì)數(shù)可得，即所以是否成立，即，令，取時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋此粤?，只需證明成立即可，，所以成立故D正確；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小明在家獨(dú)自用下表分析高三前5次月考中數(shù)學(xué)的班級(jí)排名y與考試次數(shù)x的相關(guān)性時(shí)，忘記了第二次和第四次月考排名，但小明記得平均排名，于是分別用m＝6和m＝8得到了兩條回歸直線(xiàn)方程：，，對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為、，排名y對(duì)應(yīng)的方差分別為、，則下列結(jié)論正確的是（

）x12345y10m6n2（附：，）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和最小二乘法、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式分別計(jì)算當(dāng)、時(shí)的、相關(guān)系數(shù)(r)和方差()，進(jìn)而比較大小即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，則，，，，，所以，得，，；同理，當(dāng)時(shí)，，，所以，故選：BD．17．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在五面體ABCDE中，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD與四邊形ABEF全等，且，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若G為棱CE中點(diǎn)，則DF⊥平面ABGC．若AD=CD，則平面ADE⊥平面BDED．若，則平面ADE⊥平面BCE【答案】ABC公眾號(hào)：高中試卷君【分析】對(duì)于A，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，從而得以判斷；對(duì)于B，利用線(xiàn)面垂直的判定定理推得平面，由此判斷即可；對(duì)于C，利用面面垂直的的判定定理，結(jié)合勾股定理即可判斷；對(duì)于D，先證得與不重合，再推得平面平面，從而得到矛盾，由此判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于B，取棱的中點(diǎn)，連接，如圖①，.因?yàn)樗倪呅蜛BCD與四邊形ABEF全等，所以，因?yàn)镚為棱CE中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，由題意知，所以四邊形為平行四邊形，所以，則平面，故B正確；對(duì)于C，連接，如圖①，由題意知，所以，又在直角梯形中易知，所以，即，由選項(xiàng)A知，又平面，所以平面，又平面，所以平面ADE⊥平面BDE，故C正確；對(duì)于D，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，如圖②，.由，得，所以，此時(shí)，所以，故與不重合，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，假設(shè)平面平面，因?yàn)榕c不重合，所以平面與平面不重合，又平面平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，故平面與平面不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.18．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，B證明數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列即得解；對(duì)于選項(xiàng)C，證明隨著減小，從而增大，即得解；對(duì)于選項(xiàng)D，證明，即得解.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A、B，因?yàn)?，，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以這種情況不存在，則數(shù)列滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減數(shù)列，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，令，設(shè)則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大，所以，即，所以C選項(xiàng)正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由前面得，下面證明，只需證明，令，則，所以，令，則，成立，則所以所以D選項(xiàng)正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)、不等式與數(shù)列的綜合問(wèn)題，屬于難題.解決該問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：（1）數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問(wèn)題；（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.19．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，與平面相交于點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)直線(xiàn)PD與所成的角為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點(diǎn)P的軌跡是圓C．點(diǎn)的軌跡是橢圓 D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)題意可得結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證得平面，分析可得點(diǎn)即為的中心，結(jié)合可得，從而可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，轉(zhuǎn)化為是以底面半徑為，高為的圓錐的母線(xiàn)，分析求得的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，與平面相交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接；由題意可知平面，平面，則；又因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以；同理可證，又，平面，所以平面；又因?yàn)椋烧忮F性質(zhì)可得點(diǎn)即為的中心，連接；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，由平面，平面，則，所以選項(xiàng)A正確；即為的高，設(shè)，由正方體棱長(zhǎng)為可知，，且的內(nèi)切圓半徑；所以；又，即可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以B正確，C錯(cuò)誤；由平面，平面，則，所以，因此是以底面半徑為，高為的圓錐的母線(xiàn)，如圖所示:設(shè)圓錐母線(xiàn)與底面所成的角為，則，所以；即直線(xiàn)與平面所成的角為，又因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成角的取值范圍是，直線(xiàn)在平面內(nèi)，所以直線(xiàn)PD與所成的角的取值范圍為,又因?yàn)?，所以直線(xiàn)PD與所成的角的取值范圍為，即；即D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）通過(guò)比較與的內(nèi)切圓半徑的大小，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡；（2）將直線(xiàn)PD與所成的角的最小值轉(zhuǎn)化為圓錐母線(xiàn)與底面所成的角.20．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對(duì)于正整數(shù)n，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．C．為遞減數(shù)列 D．【答案】AC公眾號(hào)：高中試卷君【分析】的極值點(diǎn)為的變號(hào)零點(diǎn)，即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點(diǎn)的橫坐標(biāo).將兩函數(shù)圖像畫(huà)在同一坐標(biāo)系下.A選項(xiàng)，利用零點(diǎn)存在性定理及圖像可判斷選項(xiàng)；BC選項(xiàng)，由圖像可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，注意到，由圖像可得單調(diào)性，后可判斷選項(xiàng).【詳解】的極值點(diǎn)為在上的變號(hào)零點(diǎn).即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點(diǎn)的橫坐標(biāo).又注意到時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，.據(jù)此可將兩函數(shù)圖像畫(huà)在同一坐標(biāo)系中，如下圖所示.A選項(xiàng)，注意到時(shí)，，，.結(jié)合圖像可知當(dāng)，.當(dāng)，.故A正確；B選項(xiàng)，由圖像可知，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，表示兩點(diǎn)與間距離，由圖像可知，隨著n的增大，兩點(diǎn)間距離越來(lái)越近，即為遞減數(shù)列.故C正確；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，，又結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)，得在上單調(diào)遞增，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及函數(shù)的極值點(diǎn)，因函數(shù)本身通過(guò)求導(dǎo)難以求得單調(diào)性，故將兩相關(guān)函數(shù)畫(huà)在同一坐標(biāo)系下，利用圖像解決問(wèn)題.三、填空題21．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)____________．【答案】2【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值.【詳解】由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，或者，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為2．故答案為：2.22．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)____________．【答案】##【分析】由可得點(diǎn)P，求得,由點(diǎn)差法得,可求得離心率.【詳解】如圖:,由,,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，公眾號(hào)：高中試卷君則直線(xiàn)OP斜率為,直線(xiàn)AB斜率為，另一方面，設(shè)則,兩式相減得,整理得,即，故．故答案為:23．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)C:的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且斜率存在的直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)相交于AB兩點(diǎn)，且點(diǎn)AB在x軸的上方，AB兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離之和為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率________【答案】【分析】根據(jù)得為直角三角形，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)差法得中點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè),，設(shè)的中點(diǎn)為，由于，故,因此為直角三角形，故，由于，所以，進(jìn)而可得，故或，由在雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上，所以，進(jìn)而，當(dāng)時(shí)，,，所以，當(dāng)時(shí)，,，所以不符合題意，舍去，綜上：故離心率為，故答案為：24．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)F為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，A，B分別為雙曲線(xiàn)E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)E上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)l：x＝t使得過(guò)F作直線(xiàn)AP的垂線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q時(shí)總有B，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，則的最大值為_(kāi)___________.【答案】##1.25【分析】設(shè)出直線(xiàn)方程，與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，韋達(dá)定理表示出A與P的關(guān)系，根據(jù)三點(diǎn)B，P，Q共線(xiàn)，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)表示出t,然后運(yùn)用設(shè)參數(shù)m法化簡(jiǎn),最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立整理得:;所以，得到，所以；過(guò)F作直線(xiàn)PA的垂線(xiàn)與直線(xiàn)交于Q，因?yàn)锽,Q,P三點(diǎn)共線(xiàn)，所以Q是直線(xiàn)與BP的交點(diǎn)，Q是與的交點(diǎn)所以得，所以設(shè)則所以當(dāng)時(shí)，即m=2即時(shí)，取得最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系式；按照題目中給出的關(guān)系，構(gòu)建關(guān)系式，表示出所求變量；（2）在計(jì)算推理的過(guò)程中運(yùn)用整體轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)函數(shù)式，從而得到二次函數(shù)或者不等式，求得最值；本題的解題的關(guān)鍵是，表示出Q點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，找到與t有關(guān)的解析式.四、解答題25．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為，,點(diǎn)與，構(gòu)成的三角形的面積為2.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)已知直線(xiàn)（，且）與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若點(diǎn)在直線(xiàn)上，試判斷直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)【分析】（1）結(jié)合雙曲線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求解；（2）設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，，再結(jié)合即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）由題意，，，，所以，又，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，得，由題可知，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，即，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以直線(xiàn)是否經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn).26．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知A，B分別為橢圓M：的左，右頂點(diǎn)，為橢圓M上異于點(diǎn)A，B的動(dòng)點(diǎn)，若，且直線(xiàn)AP與直線(xiàn)BP的斜率之積等于．(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)作橢圓M的切線(xiàn)，分別與直線(xiàn)和相交于D，C兩點(diǎn)，記四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)N，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得為定值？若存在，求，的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在定點(diǎn)，，使得為定值6.【分析】(1)由題意可得，，再由線(xiàn)AP與直線(xiàn)BP的斜率之積等于，即可解出的值，從而即可得橢圓方程；(2)由題意求得切線(xiàn)CD的方程為，進(jìn)而求出C，D的坐標(biāo)，從而可得直線(xiàn)AC，直線(xiàn)BD的方程，再求出N點(diǎn)的軌跡即可得結(jié)論.【詳解】（1）解：由題知，，在橢圓上，即，即，斜率之積，所以，所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，又因?yàn)?，取，所以，所以切線(xiàn)的斜率，所以切線(xiàn)方程為由，可得，假設(shè)，所以切線(xiàn)方程為：，即，所以切線(xiàn)CD的方程為，令得，令知：得，，則直線(xiàn)AC：，①，則直線(xiàn)BD：，②由①×②知：，點(diǎn)N的軌跡方程為，即存在定點(diǎn)，，使得為定值6．27．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎矫鎯?nèi)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，1）的距離和到定直線(xiàn)y=4的距離的比為定值．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于不同的兩點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線(xiàn)x=t的垂線(xiàn)，垂足分別為、，判斷是否存在常數(shù)t，使得四邊形的對(duì)角線(xiàn)交于一定點(diǎn)?若存在，求出常數(shù)t的值和該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，t=3，定點(diǎn)為【分析】（1）設(shè)，由題有：，化簡(jiǎn)后可得軌跡方程；（2）設(shè)過(guò)直線(xiàn)方程為：，將其與曲線(xiàn)C聯(lián)立，由韋達(dá)定理可知.又由對(duì)稱(chēng)性可知，若定點(diǎn)存在，其一定在x軸上，并設(shè)定點(diǎn)為D.后利用向量共線(xiàn)可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，由題有.即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：；（2）由題過(guò)直線(xiàn)斜率不為0，設(shè)過(guò)直線(xiàn)方程為：，將其與橢圓方程聯(lián)立，，消去x得，.由題其判別式大于0，設(shè)，，則，.則由韋達(dá)定理有：，，得.若存在常數(shù)t，使得四邊形的對(duì)角線(xiàn)交于一定點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性知，該定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)該定點(diǎn)為，則，B，D共線(xiàn).又，，則.由s為定值，則.同理，若A，，D共線(xiàn)，可得.故存在常數(shù)t=3，使得四邊形的對(duì)角線(xiàn)交于一定點(diǎn)，該定點(diǎn)為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及與橢圓有關(guān)的軌跡方程及橢圓中的定點(diǎn)定值，難度較大.本題求軌跡方程方法為直接法，即將題意轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，化簡(jiǎn)即得軌跡方程；對(duì)于定點(diǎn)問(wèn)題，?？捎蓪?duì)稱(chēng)性確定定點(diǎn)所在位置，后由三點(diǎn)共線(xiàn)結(jié)合向量共線(xiàn)或斜率相等可得定點(diǎn)坐標(biāo).28．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，若，，且，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先求出的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；（2）首先求出的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到①或②兩種情況，再分別證明即可.【詳解】（1）解：因?yàn)槎x域?yàn)?，則，即，所以，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：當(dāng)時(shí)，所以，，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，因?yàn)椋杂孝倩颌趦煞N情況，當(dāng)①時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)②時(shí)，由，得，所以，則，由，所以，令，，則，所以，即在上單調(diào)遞減，且當(dāng)趨向于1時(shí)趨向于0，則，所以，則，即，綜上可得當(dāng)，，且時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問(wèn)中，根據(jù)的結(jié)構(gòu)，對(duì)分類(lèi)討論；第二問(wèn)中，對(duì)于②，在證明時(shí)，利用將雙變量變?yōu)閱巫兞?，再利用?dǎo)數(shù)證明不等式.29．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作斜率不為零的直線(xiàn)l交橢圓于兩點(diǎn)，連接，分別交直線(xiàn)于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)R．(1)求證：點(diǎn)R為線(xiàn)段的中點(diǎn)；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)存在，.公眾號(hào)：高中試卷君【分析】（1）設(shè)設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，可得根于系數(shù)的關(guān)系式，表示出的坐標(biāo)，計(jì)算；繼而求出直線(xiàn)的方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的分析，求得，進(jìn)而表示出，，計(jì)算的結(jié)果，再求得的表達(dá)式，即可求得與之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：由題意知，，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，則，，直線(xiàn)的方程為，令，得，所以，同理，．所以,直線(xiàn)，令得，所以，則，故點(diǎn)R為線(xiàn)段的中點(diǎn)．（2）由（1）知，，又，所以．由（1）知點(diǎn)R為線(xiàn)段的中點(diǎn)，故，所以．故存在，使得．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)的題目時(shí)，解決問(wèn)題的思路想法不是很困難，一般利用直線(xiàn)方程和圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值等，但難點(diǎn)在于計(jì)算的復(fù)雜性，以及計(jì)算量較大，并且大多為字母參數(shù)的運(yùn)算，因此要十分細(xì)心.30．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)實(shí)根，且，求證：.【答案】(1)3，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和圖象的大致走勢(shì)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可得答案；（2）先找出曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，利用切線(xiàn)與的交點(diǎn)證明，再利用割線(xiàn)與的交點(diǎn)證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，顯然是的一個(gè)零點(diǎn)，令，則；設(shè)，因?yàn)椋鋵?duì)應(yīng)方程的判別式，所以有兩個(gè)根，設(shè)為，則；不妨設(shè)，令，則；令，則；所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，所以；又當(dāng)無(wú)限趨近于正無(wú)窮大時(shí)，也無(wú)限趨近于正無(wú)窮大；當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于負(fù)無(wú)窮大；根據(jù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)單調(diào)性、連續(xù)性可知在各有一個(gè)零點(diǎn)，所以總共有3個(gè)零點(diǎn).（2）證明：先證右半部分不等式：；因?yàn)椋?，所以；可求曲線(xiàn)在和處的切線(xiàn)分別為和；設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)，函數(shù)的圖象和直線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為則則；因此.再證左半部分不等式：.設(shè)取曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，用割線(xiàn)，來(lái)限制，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則，且，所以.綜上可得成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法常有：（1）最值法：移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求解最值來(lái)證明；（2）放縮法：通過(guò)構(gòu)造切線(xiàn)或割線(xiàn)，利用切線(xiàn)放縮或者割線(xiàn)放縮來(lái)證明.31．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的取值范圍.（2）首先根據(jù)有個(gè)不同的極值點(diǎn)求得的一個(gè)范圍，然后化簡(jiǎn)不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式恒成立，即在上恒成立，記，則，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即在區(qū)間上恒成立，分離變量知：在上恒成立，則，，由前面可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以．（2），設(shè)曲線(xiàn)圖象上任意一點(diǎn)，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，將代入得，故切點(diǎn)為，過(guò)的切線(xiàn)方程為，所以直線(xiàn)和曲線(xiàn)相切，并且切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，并且，從而當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)，，，并且，，，取對(duì)數(shù)知：，，即，，則．構(gòu)造，在時(shí)恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，從而的解為，綜上所述．【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問(wèn)題，可考慮利用分離常數(shù)法，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而求得參數(shù)的取值范圍.當(dāng)一次求導(dǎo)無(wú)法求得單調(diào)區(qū)間時(shí)，可考慮二次求導(dǎo)等方法來(lái)進(jìn)行求解.32．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)?shù)膱D像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y=1時(shí)，求a的值，并證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)0(2)a=1，證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，．利用導(dǎo)數(shù)，可得在時(shí)，有最小值，其中.據(jù)此可得答案；（2）由切線(xiàn)斜率為0，可得a；利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得，從而可得.后利用當(dāng)時(shí)，，可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，．定義域?yàn)椋?，則，故在上單調(diào)遞增.因，，則在上有唯一零點(diǎn)，即.則在上，，即，在單調(diào)遞減.在上，，即，在上單調(diào)遞增.故，又，則.即函數(shù)的最小值為0；（2）由題，，，則a=1；即，則故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞遞減，則.則當(dāng)時(shí)，，即.取，其中，則.則.又注意到.故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及利用隱零點(diǎn)求函數(shù)最值及利用函數(shù)證明數(shù)列不等式，難度較大.本題最值點(diǎn)不能具體求出，但能證明其存在，后利用其滿(mǎn)足等量關(guān)系可得最值；證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵為能利用題目函數(shù)找到合適的不等式，后通過(guò)改變不等式形式及不等式放縮可證明結(jié)論.33．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根和，且.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)為常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，若有最小值，求常數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與方程的思想將方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性求出值域即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）首先通過(guò)轉(zhuǎn)化變形寫(xiě)出和的表達(dá)式，求出有最小值的等價(jià)方程，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，并證明方程有唯一解即可求得常數(shù)的值.【詳解】（1）由且，可得.設(shè)，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；函數(shù)的圖象如下：又趨向于0時(shí)趨向，趨向于時(shí)趨向0；要使圖象與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故a的取值范圍是.（2）因?yàn)?，由?）得，則，設(shè)，則，即，由有最小值，即有最小值.設(shè)

，記，由于，若，則，可得單調(diào)遞增，此時(shí)，即單調(diào)遞增，此時(shí)在沒(méi)有最小值，不符合題意.若，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，時(shí)，，則在單調(diào)遞增.又，，且趨向于時(shí)趨向，故且唯一，使得.此時(shí)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減；時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，有最小值，而，即，整理得此時(shí)，由題意知.設(shè)設(shè).設(shè)，故遞增，.此時(shí)遞增，有，令且，則，即在上遞增，故，此時(shí)，故在遞增，而知，的唯一解是.故的唯一解是，即.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題的解題思路是對(duì)函數(shù)零點(diǎn)設(shè)而不求，以隱零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，通過(guò)整體代換和過(guò)渡，從而得到原函數(shù)最值或極值的表達(dá)式，再結(jié)合題目條件解決問(wèn)題.34．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：.(1)若點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，點(diǎn)A，B分別在雙曲線(xiàn)C的兩漸近線(xiàn)、上，且點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，若，，求面積的最大值；(2)設(shè)雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)左焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)的左支于G、Q兩點(diǎn)，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)公眾號(hào)：高中試卷君【分析】（1）易得兩漸近線(xiàn)，設(shè)，根據(jù)，將點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，再根據(jù)點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，可得的關(guān)系，再根據(jù)化簡(jiǎn)整理即可得解；（2）分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，根據(jù)線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)的左支于G、Q兩點(diǎn)求出的范圍，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，再根據(jù)周長(zhǎng)為，從而可得出結(jié)論.【詳解】（1）雙曲線(xiàn)C：的兩漸近線(xiàn)，設(shè)，由，得，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，所以，整理得，，因?yàn)橹本€(xiàn)，所以直線(xiàn)的傾斜角為，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，；（2）