201X-201X年考研數學二真題及答案解析

..精選實用文檔..精選2021年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題:18小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當時，假設，均是比高階的無窮小，那么的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)(2)以下曲線中有漸近線的是()(A) (B)(C) (D)(3)設函數具有2階導數，，那么在區(qū)間上〔〕(A)當時， (B)當時，(C)當時， (D)當時，(4)曲線上對應于的點處的曲率半徑是〔〕(A) (B) (C) (D)(5)設函數，假設，那么〔〕(A) (B) (C) (D)(6)設函數在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內部具有2階連續(xù)偏導數，且滿足及，那么〔〕..精選實用文檔..精選(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內部上取得(C)的最大值在的內部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內部取得，最大值在的邊界上取得(7)行列式〔〕(A) (B)(C) (D)(8)設均為3維向量，那么對任意常數，向量組線性無關是向量組線性無關的〔〕(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件二、填空題：9答題紙指定位置上.((9)__________.(10)設是周期為的可導奇函數，且，那么__________.(11)設是由方程確定的函數，那么__________.(12)曲線的極坐標方程是，那么在點處的切線的直角坐標方程是__________.(13)一根長為1的細棒位于軸的區(qū)間上,假設其線密度,那么該細棒的質心坐標..精選實用文檔..精選__________.(14)設二次型的負慣性指數為1，那么的取值范圍為_______.三、解答題：答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(此題總分值10分)求極限(16)(此題總分值10分)函數滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.(17)(此題總分值10分)設平面區(qū)域計算.(18)(此題總分值10分)設函數具有二階連續(xù)導數，滿足，假設，求的表達式.(19)(此題總分值10分)設函數的區(qū)間上連續(xù)，且單調增加，.證明：(I),(II).(20)(此題總分值11分)設函數，定義函數列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限..精選實用文檔..精選.(21)(此題總分值11分)函數滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積.(22)(此題總分值11分)設矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個根底解系；(II)求滿足的所有矩陣.(23)(此題總分值11分)證明階矩陣與相似.2021年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題答案一、選擇題:18小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上...精選實用文檔..精選(1)當時，假設，均是比高階的無窮小，那么的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由定義所以，故.當時，是比的高階無窮小，所以，即.應選B(2)以下曲線中有漸近線的是()(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】關于C選項：.，所以存在斜漸近線.應選C(3)設函數具有2階導數，，那么在區(qū)間上〔〕(A)當時， (B)當時，(C)當時， (D)當時，【答案】D【解析】令，那么,,.假設，那么，在上為凸的...精選實用文檔..精選又，所以當時，，從而.應選D.(4)曲線上對應于的點處的曲率半徑是〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】應選C(5)設函數，假設，那么〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因為，所以應選D.(6)設函數在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內部具有2階連續(xù)偏導數，且滿足..精選實用文檔..精選及，那么〔〕(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內部上取得(C)的最大值在的內部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內部取得，最大值在的邊界上取得【答案】A【解析】記那么,所以在內無極值，那么極值在邊界處取得.應選A(7)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由行列式的展開定理展開第一列.(8)設均為三維向量，那么對任意常數,向量組,線性無關是向量組線性無關的()..精選實用文檔..精選(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件【答案】A【解析】.記，，.假設線性無關，那么，故線性無關.舉反例.令，那么線性無關，但此時卻線性相關.綜上所述，對任意常數，向量線性無關是向量線性無關的必要非充分條件.應選A二、填空題：9答題紙指定位置上.(9)__________.【答案】【解析】(10)設是周期為的可導奇函數，且，那么__________.【答案】1【解析】且為偶函數那么又且為奇函數，故..精選實用文檔..精選又的周期為4，(11)設是由方程確定的函數，那么__________.【答案】【解析】對方程兩邊同時對求偏導當時,故故(12)曲線的極坐標方程是，那么在點處的切線的直角坐標方程是__________.【答案】【解析】由直角坐標和極坐標的關系，于是對應于切線斜率..精選實用文檔..精選所以切線方程為即(13)一根長為1的細棒位于軸的區(qū)間上,假設其線密度,那么該細棒的質心坐標__________.【答案】【解析】質心橫坐標(13)設二次型的負慣性指數是1，那么的取值范圍_________.【答案】【解析】配方法：由于二次型負慣性指數為1，所以，故.三、解答題：答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(此題總分值10分)求極限..精選實用文檔..精選【解析】.(16)(此題總分值10分)函數滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.【解析】由，得………=1\*GB3①此時上面方程為變量可別離方程，解的通解為由得又由=1\*GB3①可得當時，，且有：所以在處取得極小值，在處取得極大值即：的極大值為1，極小值為0.(17)(此題總分值10分)設平面區(qū)域計算.【解析】D關于對稱，滿足輪換對稱性，那么：..精選實用文檔..精選(18)(此題總分值10分)設函數具有二階連續(xù)導數，滿足，假設，求的表達式.【解析】由，由，代入得，..精選實用文檔..精選即，令得特征方程得齊次方程通解設特解，代入方程得，特解那么原方程通解為由，得,那么.(19)(此題總分值10分)設函數在區(qū)間上連續(xù)，且單調增加，，證明：〔I〕,〔II〕.【解析】〔I〕由積分中值定理，〔II〕直接由，得到〔II〕令..精選實用文檔..精選由〔I〕知又由于單增，所以單調不減，取，得，即〔II〕成立.(20)(此題總分值11分)設函數，定義函數列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.【解析】(21)(此題總分值11分)函數滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積.【解析】因為,所以其中為待定函數...精選實用文檔..精選又因為那么，從而.令可得，當時，或，從而所求的體積為(22)(此題總分值11分)設矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個根底解系；(II)求滿足的所有矩陣.【解析】,(I)的根底解系為(II)的通解為的通解為的通解為..精選實用文檔..精選〔為任意常數〕(23)(此題總分值11分)證明階矩陣與相似.【解析】，，那么的特征值為，(重).屬于的特征向量為；，故根底解系有個線性無關的解向量，即屬于有個線性無關的特征向量；故相似于對角陣.的特征值為，(重)，同理屬于有個線性無關的特征向量，故相似于對角陣.由相似關系的傳遞性，相似于...精選實用文檔..精選2021年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題及答案解析選擇題：〔1~8小題,每題4分，共32分。以下每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的?！?1)以下反常積分中收斂的是(A)2+∞1(C)2+∞1【答案】D。【解析】題干中給出4個反常積分，分別判斷斂散性即可得到正確答案。2+∞2+∞2+∞2=2因此(D)是收斂的。綜上所述，此題正確答案是D。【考點】高等數學—一元函數積分學—反常積分(2)函數fx=limt→0(1+(A)連續(xù)(B)有可去間斷點(C)有跳躍間斷點(D)有無窮間斷點【答案】B【解析】這是“1∞〞型極限，直接有..精選實用文檔..精選=efx在x且limx→0fx=limx→0ex綜上所述，此題正確答案是B?！究键c】高等數學—函數、極限、連續(xù)—兩個重要極限(3)設函數fx=xα(A)α-β(C)α-β【答案】A【解析】易求出f'再有于是，f'(0)存在?α>1當α>1時，limx→0β因此，f'x在x=0連續(xù)?α-綜上所述，此題正確答案是C?！究键c】高等數學—函數、極限、連續(xù)—函數連續(xù)的概念，函數的左極限和右極限(4)設函數f(x)在(-∞,+∞)內連續(xù)，其 f二階導函數f''那么曲線y=f(x)的拐點個數為 A O B (A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C..精選實用文檔..精選【解析】f(x)在(-∞,+∞)內連續(xù)，除點x=0外處處二階可導。y=f(x)的可疑拐點是f''f''x的零點有兩個，如上圖所示，A點兩側f''(x)恒正，對應的點不是y=fx拐點，B點兩側雖然f''0不存在，但點x=0兩側f''(x)異號，因而(綜上所述，此題正確答案是C?！究键c】高等數學—函數、極限、連續(xù)—函數單調性，曲線的凹凸性和拐點(5)設函數f(μ,ν)滿足fx+y,yx=(A)12,0(C)-12【答案】D【解析】先求出f令μ于是f因此?f?f綜上所述，此題正確答案是D?！究键c】高等數學-多元函數微分學-多元函數的偏導數和全微分(6)設D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=(A)π..精選實用文檔..精選(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=3x圍成的平面區(qū)域，作極坐標變換，將DD的極坐標表示為π因此D綜上所述，此題正確答案是B?！究键c】高等數學—多元函數積分學—二重積分在直角坐標系和極坐標系下的計算。(7)設矩陣A=11112a14a2,(A)a?Ω,d(C)a∈Ω,d【答案】D【解析】Ax=b有無窮多解?rA是一個范德蒙德行列式，值為a-1(a-2),如果a?Ω，A≠0，rA=3，類似的，假設d?Ω，那么rAb=當a∈Ω,d∈Ω時，rAb綜上所述，此題正確答案是D?！究键c】線性代數-線性方程組-范德蒙德行列式取值，矩陣的秩，線性方程組求解。(8)設二次型f(x1,x2,x3)在正交變換x..精選實用文檔..精選x=Qy(A)2y1(C)2y1【答案】A【解析】設二次型矩陣為A,那么P可見e1,e2,e3都是Q因此在正交變換x=Qy下的標準二次型為綜上所述，此題正確答案是A。【考點】線性代數-二次型-矩陣的秩和特征向量，正交變換化二次型為標準形。二、填空題：(9~14)小題，每題4分，共24分。(9)設x=acrtant,【答案】48【解析】由參數式求導法dy再由復合函數求導法那么得d2y=12t(1+綜上所述，此題正確答案是48?！究键c】高等數學-一元函數微分學-復合函數求導..精選實用文檔..精選(10)函數fx=【答案】n【解析】解法1用求函數乘積的n階導數的萊布尼茨公式在此處鍵入公式。f其中Cnk=ff因此f解法2利用泰勒展開f=由于泰勒展開系數的唯一性，得ln可得f綜上所述，此題正確答案是n【考點】高等數學—一元函數微分學—高階導數，泰勒展開公式(11)設函數fx連續(xù)，φx=0xf【答案】2【解析】改寫φxφ..精選實用文檔..精選由φ1=1=01可得f綜上所述，此題正確答案是2【考點】高等數學—一元函數積分學—變限積分函數的性質及應用(12)設函數y=yx是微分方程y''+yx取得極值3，那么y【答案】e【解析】求yxy由特征方程λ2+λ是得通解y=又C綜上所述，此題正確答案是e【考點】高等數學—常微分方程—二階常系數齊次線性方程(13)假設函數z=z(x,y)由方程ed【答案】-【解析】先求z(0,0)，在原方程中令x=0,y=0e3z=1方程兩邊同時求全微分得e令x=0,y=0dx+2dy+3dzd綜上所述，此題正確答案是-【考點】高等數學-多元函數微分學-隱函數的偏導數和全微分(14)設3階矩陣A的特征值為2,-2,1，B=A2-A+E..精選實用文檔..精選階單位矩陣，那么行列式|B|=【答案】21【解析】A的特征值為2,-2,1,那么B的特征值對應為3,7,1所以|B|=21【考點】線性代數—行列式—行列式計算線性代數—矩陣—矩陣的特征值三、解答題：15~23小題，共94分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)設函數fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx【解析】利用泰勒公式f==當x?0時，fx~【考點】高等數學—函數、極限、連續(xù)—無窮小的比階，泰勒公式(16)設A>0，D是由曲線段y=Asinx(0≤x≤圍成的平面區(qū)域，V1,V2分別表示D繞x軸與繞y軸旋轉所成旋轉體的體積。假設【解析】V由A>0可得V=-2πA=-2πA=2πA又V1=..精選實用文檔..精選【考點】高等數學—一元函數積分學—定積分的應用(17)函數ff求fx,y的極值【解析】由fxy''f又fxe得φxf對x積分得f又f0,y=所以f于是fy'x,yfyy''令fx'A=fxx''C=f由于B2-AC【考點】高等數學—多元函數微分學—二元函數的無條件極值(18)計算二重積分Dx(x+y)dxdy其中D={【解析】..精選實用文檔..精選因為區(qū)域D關于y軸對稱，所以Dx原式=D=2=2令x=01x22-又0所以二重積分=π【考點】高等數學—多元函數積分學—二重積分的計算(19)函數fx=x【解析】f'x=-1+x當x<12時，f當x>12時，f因為f1=0，所以fx又f12<f1=0,綜上可知，fx有且僅有兩個零點【考點】高等