北京市昌平區(qū)實驗中學(xué)2023屆高一上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．關(guān)于的不等式的解集為，，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則A.4 B.2C.-2 D.-43．函數(shù)（且）的圖像必經(jīng)過點（）A. B.C. D.4．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則A.3 B.2C. D.5．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為，，則所在的區(qū)間是A. B.C. D.6．命題“任意實數(shù)”的否定是（）A.任意實數(shù) B.存在實數(shù)C.任意實數(shù) D.存實數(shù)7．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.8．若存在正數(shù)x使成立，則a的取值范圍是A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則函數(shù)（）A.有最小值 B.有最大值C有最大值 D.沒有最值10．命題p：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過正方體的頂點作直線，使與棱、、所成的角都相等，這樣的直線可以作_________條.12．已知函數(shù)若，則實數(shù)的值等于________13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點、分別在軸非負半軸和軸的非負半軸上滑動，頂點在第一象限內(nèi)，，，設(shè).若，則點的坐標(biāo)為______；若，則的取值范圍為______.14．若，則的最小值為__________.15．邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為________16．已知在上單調(diào)遞增，則的范圍是_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，.（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：是增函數(shù)；（2）若，則當(dāng)為何值時，取得最小值？并求出其最小值.18．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，當(dāng)時，取得最大值5，當(dāng)時，取得最小值-1.（1）求的解析式（2）當(dāng)時，函數(shù)有8個零點，求實數(shù)的取值范圍19．已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示（1）求的解析式；（2）直接寫出在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；（3）已知，都成立，直接寫出一個滿足題意的值20．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位凈化劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時間(單位：小時)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達幾小時？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后再噴灑2個單位的凈化劑，設(shè)第二次噴灑小時后空氣中凈化劑濃度為(毫克/立方米)，其中①求的表達式；②求第二次噴灑后的3小時內(nèi)空氣中凈化劑濃度的最小值21．某市郊區(qū)有一加油站，2018年初汽油的存儲量為50噸，計劃從年初起每周初均購進汽油噸，以滿足城區(qū)內(nèi)和城外汽車用油需求，已知城外汽車用油每周5噸；城區(qū)內(nèi)汽車用油前個周需求量噸與的函數(shù)關(guān)系式為，為常數(shù)，且前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸.（1）試寫出第個周結(jié)束時，汽油存儲量（噸）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使16個周內(nèi)每周按計劃購進汽油之后，加油站總能滿足城區(qū)內(nèi)和城外的需求，且每周結(jié)束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，試確定的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)題意可得1，是方程的兩根，從而得到的關(guān)系，然后再解不等式從而得到答案.【詳解】由題意可得，且1，是方程的兩根，為方程的根，，則不等式可化為，即，不等式的解集為故選:A2、B【解析】先利用周期性將轉(zhuǎn)化為，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化成，然后利用時的函數(shù)表達式即可求值.【詳解】由可知，為周期函數(shù)，周期為，所以，又因為為奇函數(shù)，有，因為，所以，答案為B.【點睛】主要考查函數(shù)的周期性，奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題.3、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點【詳解】解：∵（且），且令得，則函數(shù)圖象必過點，故選：D4、C【解析】由題意得當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，∴，∴又由條件得函數(shù)的周期，解得，∴．選C5、A【解析】設(shè)，則，有零點的判斷定理可得函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，即所在的區(qū)間是．選A6、B【解析】根據(jù)含全稱量詞的命題的否定求解.【詳解】根據(jù)含量詞命題的否定，命題“任意實數(shù)”的否定是存在實數(shù)，故選：B7、D【解析】先利用偶函數(shù)的對稱性判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)定義得，再判斷，和的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，即得結(jié)果.【詳解】偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.，故，而，，即，故，由單調(diào)性知，即.故選：D.8、D【解析】根據(jù)題意，分析可得，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解，得到答案【詳解】根據(jù)題意，，設(shè)，由基本初等函數(shù)的性質(zhì)，得則函數(shù)在R上為增函數(shù)，且，則在上，恒成立；若存在正數(shù)x使成立，即有正實數(shù)解，必有；即a的取值范圍為；故選D【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式的有解問題，其中解答中合理把不等式的有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題9、B【解析】換元法后用基本不等式進行求解.【詳解】令，則，因為，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故函數(shù)有最大值，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)，即有最小值.故選：B10、C【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可求解.【詳解】解：命題p：，的否定是：，，故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】將小正方體擴展成4個小正方體，根據(jù)直線夾角的定義即可判斷出符合條件的條數(shù)【詳解】解：設(shè)ABCD﹣A1B1C1D1邊長為1第一條：AC1是滿足條件的直線；第二條：延長C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是滿足條件的直線；第三條：延長C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是滿足條件的直線；第四條：延長C1A1到C4且C4A1，AC4是滿足條件的直線故答案為4【點睛】本題考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，考查分類與整合思想，是基礎(chǔ)題12、-3【解析】先求，再根據(jù)自變量范圍分類討論，根據(jù)對應(yīng)解析式列方程解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)a>0時，2a=-2解得a=-1，不成立當(dāng)a≤0時，a+1=-2,解得a=-3【點睛】求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.13、①.②.【解析】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，設(shè)點、，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出點、的坐標(biāo)，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【詳解】分別過點作、軸的垂線，垂足點分別為、，過點分別作、軸的垂線，垂足點分別為、，如下圖所示：則，設(shè)點、，則，，，.當(dāng)時，，，則點；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】本題考查點的坐標(biāo)的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是將點的坐標(biāo)利用三角函數(shù)表示，考查運算求解能力，屬于中等題.14、【解析】整理代數(shù)式滿足運用基本不等式結(jié)構(gòu)后，用基本不等式求最小值.【詳解】∵∴當(dāng)且僅當(dāng)，時，取最小值.故答案為:【點睛】用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，若不能取等，則要改變求最值的方法.15、2【解析】取的中點，連接，，則，則為二面角的平面角點睛：取的中點，連接，，根據(jù)正方形可知，，則為二面角的平面角，在三角形中求出的長．本題主要是在折疊問題中考查了兩點間的距離．折疊問題要注意分清在折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪里量沒變16、【解析】令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分論討論函數(shù)的單調(diào)性，列出關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】令當(dāng)時，由題意知在上單調(diào)遞增且對任意的恒成立，則，無解；當(dāng)時，由題意知在上單調(diào)遞減且對任意的恒成立，則，解得.故答案為：【點睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，求解時注意對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明詳見解析；（2）時，的最小值是.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義法證明，定義域內(nèi)任取，且，在作差，變形后判斷符號，證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先根據(jù)函數(shù)的定義域求的范圍，再根據(jù)基本不等式求最小值.【詳解】（1）證明：在區(qū)間任取，設(shè)，，，，，即，所以函數(shù)在是增函數(shù)；（2），的定義域是，，設(shè)，時，，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，等號成立，即時，函數(shù)取得最小值4.【點睛】易錯點睛：本題的易錯點是第二問容易忽略函數(shù)的定義域，換元時，也要注意中間變量的取值范圍.18、（1）；（2）.【解析】(1)由函數(shù)的最大值和最小值求出,由周期求出ω,由特殊點的坐標(biāo)出φ的值,可得函數(shù)的解析式(2)等價于時,方程有個不同的解.即與有個不同交點,畫圖數(shù)形結(jié)合即可解得【詳解】(1)由題知,..又,即,的解析式為.(2)當(dāng)時,函數(shù)有個零點,等價于時,方程有個不同的解.即與有個不同交點.由圖知必有,即.實數(shù)的取值范圍是.【點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形,在同一個平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解.19、（1）（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為（3）【解析】（1）根據(jù)圖象確定周期可得出，再由圖象過點求出即可得出解析式；（2）根據(jù)圖象觀察直接寫出即可；（3）由知函數(shù)圖象關(guān)于對稱，由圖象直接寫即可.【小問1詳解】由圖可知，所以因，且，所以因為圖象過點，所以所以所以所以因為，所以所以【小問2詳解】在區(qū)間上，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，【小問3詳解】因為恒成立，所以函數(shù)圖象關(guān)于對稱，由圖可知適合題意，（答案不唯一）20、（1），（2）①（），②28毫克/立方米【解析】（1）根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度，分類討論解出即可（2）①由題意可得（），②由于可化為，然后利用基本不等式可求出其最小值【詳解】解：（1）根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度，則當(dāng)時，由，得，所以，當(dāng)時，由，得，，得，所以，綜上，，所以一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達小時，（2）①由題意可知，第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后的濃度為（毫克/立方米），所以第二次噴灑小時后空氣中凈化劑濃度為（），②（），，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以第二次噴灑小時時空氣中凈化劑濃度達到最小值28毫克/立方米【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用、分段函數(shù)的意義和性質(zhì)、基本不等式、分類討論的思想，考查分析問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，屬于較難題21、(1)(2)【解析】（1）根據(jù)題意前4個周城區(qū)內(nèi)汽車的汽油需求量為100噸，得，；（2）每周結(jié)束時加油站的汽油存儲量不超過150