直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題解析

/直線系對(duì)稱(chēng)問(wèn)題〔一主要知識(shí)及方法：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法：設(shè)所求的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.則的中點(diǎn)一定在直線上.直線與直線的斜率互為負(fù)倒數(shù).即直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線方程的求法：到角相等；在已知直線上去兩點(diǎn)〔其中一點(diǎn)可以是交點(diǎn).若相交求這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).再求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程；軌跡法<相關(guān)點(diǎn)法>；待定系數(shù)法.利用對(duì)稱(chēng)軸所在直線上任一點(diǎn)到兩對(duì)稱(chēng)直線的距離相等.…點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.曲線：關(guān)于定點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)曲線方程為.直線系方程：直線〔為常數(shù).參數(shù)；為參數(shù).位常數(shù).過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為及與直線平行的直線系方程為〔與直線垂直的直線系方程為過(guò)直線和的交點(diǎn)的直線系的方程為：〔不含典例分析〔一例1：已知3a+2b=1,求證：直線ax+by+2<x-y>-1=0過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)坐標(biāo).思路一：由3a+2b=1得:b=EQ\f<1,2><1-3a>代入直線系方程ax+by+2<x-y>-1=0整理得<2x–EQ\f<3,2>y-1>+a<x-EQ\f<3,2>y>=0由,得交點(diǎn)<1,EQ\F<2,3>>∴直線過(guò)定點(diǎn)<1,EQ\F<2,3>>.思路二：賦值法令a=0得b=EQ\F<1,2>得L1:2x-EQ\f<3,2>y-1=0令b=0得a=EQ\F<1,3>得L2:x–EQ\f<3,2>y=0由,得交點(diǎn)<1,EQ\F<2,3>>把交點(diǎn)坐標(biāo)代入原直線方程左邊得:左邊=EQ\f<1,3><3a+2b-1>∵3a+2b-1=0∴左邊=0這說(shuō)明只要3a+2b-1=0原直線過(guò)定點(diǎn)<1,EQ\F<2,3>>.例2:求證:無(wú)論λ為何值,直線<2+λ>x-<1+λ>y-2<3+2λ>=0與點(diǎn)P<-2,2>的距離d都小于4EQ\r<,2>.證明：將直線方程按參數(shù)λ整理得<2x-y-6>+λ<x-y-4>=0故該直線系恒過(guò)二直線2x-y-6=0和x-y-4=0的交點(diǎn)M易解得M<2,-2>求得|PM|=4EQ\r<,2>所以d≤4EQ\r<,2>而過(guò)點(diǎn)M垂直P(pán)M的直線方程為x-y-4=0,又無(wú)論λ為何值,題設(shè)直線系方程都不可能表示直線x-y-4=0∴d<4EQ\r<,2>[注]此題若按常規(guī)思路,運(yùn)用點(diǎn)距公式求解,則運(yùn)算量很大,難算結(jié)果,運(yùn)用直線系過(guò)定點(diǎn)巧妙獲解.例題：例3、〔1證明直線l過(guò)定點(diǎn)；〔2若直線l交x軸負(fù)半軸于A.交y軸正半軸于B.△AOB的面積為S.求S的最小值.并求此時(shí)直線l的方程；〔3若直線不經(jīng)過(guò)第四象限.求k的取值范圍。分析：〔1證直線系過(guò)定點(diǎn).可用分離參數(shù)法?！?求△AOB面積S的最小值.應(yīng)先求出目標(biāo)函數(shù)S＝f<k>.再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇最小值的求法?！?直線不經(jīng)過(guò)第四象限的充要條件是：直線在x軸上的截距小于或等于-2.在y軸上的截距大于或等于1?；蛴芍本€經(jīng)過(guò)定點(diǎn)〔-2.1知斜率大于或等于零。解：〔1直線l的方程是：∴無(wú)論k取何值.直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)〔-2.1〔2由l的方程.得：解得：k＞0解之得：k＞0小結(jié)：本題證明直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題所使用的"分離參數(shù)法".也是證明曲線系過(guò)定點(diǎn)的一般方法。例4、已知P〔1.3.直線l：x－4y＋1＝0〔1求過(guò)P且平行于l的直線l1的方程；〔2求過(guò)P且垂直于l的直線l2的方程．策略：由l1∥l的斜率關(guān)系可得＝.由l2⊥l的斜率關(guān)系得＝－4.再利用點(diǎn)斜式方程可求出直線l1.l2的方程．由平行直線系與垂直直線系可以求出l1.l2的方程．解法一：〔1∵直線l的斜率為且l1∥l.∴直線l1的斜率k1＝又∵l1過(guò)P〔1.3.∴l(xiāng)1的方程為y－3＝<x－1>.即x－4y＋11＝0．<2>∵kl≠且l2⊥l.∴直線l2的斜率為k2＝－4又∵l2過(guò)P<1.3>∴l(xiāng)2的方程為y－3＝－4<x－1>即4x＋y－7＝0．解法二：〔1∵l1∥l且l方程為x－4y＋1＝0∴設(shè)l1的方程為x－4y＋C＝0又∵P<1.3>在l1上∴1－4×3＋C＝0解得C＝11∴l(xiāng)1的方程為x－4y＋11＝0．<2>∵l2⊥l∴設(shè)l2的方程為4x＋y＋C＝0又∵l2過(guò)P〔1.3∴4×1＋3＋C＝0解得C＝－7∴l(xiāng)2的方程為4x＋y－7＝0．評(píng)注：一般地.利用平行直線系和垂直直線系求直線方程會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大方便．例5、求證：不論m為何實(shí)數(shù).直線l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒過(guò)一定點(diǎn).策略：對(duì)于這類(lèi)題目.只要找出兩條相交的直線.然后解出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．證法一：〔特殊值法當(dāng)m＝1時(shí).直線l的方程為y＝－4；當(dāng)m＝時(shí).直線l的方程為x＝9；∴兩直線的交點(diǎn)為〔9.－4.滿足直線l的方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－∴不論m為何實(shí)數(shù).直線l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒過(guò)一定點(diǎn)〔9.－4證法二：〔直線系法將方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5整理得m<x＋2y－1>－<x＋y－5>＝解方程組得∴不論m為何實(shí)數(shù).定點(diǎn)<9.－4>恒滿足方程<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5即不論m為何實(shí)數(shù).直線l：<m－1>x＋<2m－1>y＝m－5恒過(guò)一定點(diǎn)〔9.－4評(píng)注：求某直線過(guò)定點(diǎn)的題目.常用的兩種方法——特殊值法和直線系法．例6、求經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P.且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．策略：①可以先解方程組求出交點(diǎn)P.再利用l⊥l3求出斜率.用點(diǎn)斜式求l方程；②求出P點(diǎn)后.用垂直直線系求l方程；③先由過(guò)l1.l2的交點(diǎn)的直線系設(shè)出l方程.然后由l3⊥l求系數(shù)．解法一：解方程組得交點(diǎn)P〔0.2∵k3＝∴kl＝－由點(diǎn)斜式得l：y－2＝－x即4x＋3y－6＝0．解法二：設(shè)所求直線l：4x＋3y＋C＝0由解法一知：P<0.2代入方程.得C＝－6∴l(xiāng)：4x＋3y－6＝0．解法三：設(shè)所求直線l：<x－2y＋4>＋λ<x＋y－2>＝0整理得<λ＋1>x＋<λ－2>y－2λ＋4＝0∵l⊥l3∴3<λ＋1>－4<λ－2>＝0∴λ＝11∴l(xiāng)的方程為：<x－2y＋4>＋11<x＋y－2>＝0即4x＋3y－6＝0．評(píng)注：解法一是常規(guī)解法.解法二用待定系數(shù)法.解法三應(yīng)用了經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程.省去了求兩直線交點(diǎn)的解方程組的運(yùn)算．利用直線系解題一、直線系的定義共點(diǎn)直線系方程經(jīng)過(guò)兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為平行直線系方程與直線垂直直線系方程與直線二、利用直線系解題例題：<一>直接應(yīng)用求過(guò)點(diǎn)A<1.-4>且與直線平行直線方程。<課本第45頁(yè)例2><>求過(guò)點(diǎn)A<2,1>.且與直線垂直的直線方程。<課本第46頁(yè)例4><>求經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn).且垂直于直線的直線方程。<課本第54頁(yè)第11題第1小題><>經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn).且平行于直線的直線方程。<課本第54頁(yè)第11題第2小題><經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn).且垂直于第一條直線的直線方程。<課本第54頁(yè)第11題第3小題><>求平行于直線且與它的距離為的直線方程。<課本第87頁(yè)第13題><或><二>間接應(yīng)用當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí).直線恒過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)_____。解：直線的方程可以化為.由直線系的定義我們知道：直線過(guò)的點(diǎn)是方程組的解.這樣我們就可以知道直線過(guò)點(diǎn)<-2,3>。8、已知圓C：及直線證明：無(wú)論m為任何實(shí)數(shù).直線恒與圓C相交。分析：判斷直線與圓的位置關(guān)系通常采用"法".或"比較d與r法".特別是"法"運(yùn)算量往往很大.當(dāng)發(fā)現(xiàn)直線過(guò)定點(diǎn).且此定點(diǎn)又在圓內(nèi)部時(shí).妙解應(yīng)運(yùn)而生。證明：易證直線過(guò)定點(diǎn)M<3,2>.且 <4.即點(diǎn)M在圓C內(nèi).點(diǎn)M又在直線上.故不論m為任何實(shí)數(shù).直線與圓C相交。9、a、b滿足什么條件時(shí).使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,直線：與曲線C：總有公共點(diǎn)。分析：本題雖然可以用"法"來(lái)解.但不僅運(yùn)算量大<兩次使用判別式>.而且還容易忽視對(duì)二次不等式系數(shù)的討論而造成失解.如果利用直線過(guò)定點(diǎn)<0.b>.并使該點(diǎn)在橢圓C上或在其內(nèi)部便可達(dá)到目的。解：易知直線：過(guò)點(diǎn)M<0.b>.欲使與橢圓C恒有公共點(diǎn).須使點(diǎn)在橢圓C上或在其內(nèi)部.于是有即時(shí).對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,直線與橢圓C恒有公共點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的比較重要內(nèi)容.它的一般解題步驟是：1.在所求曲線上選一點(diǎn)；2.求出這點(diǎn)關(guān)于中心或軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與之間的關(guān)系；3.利用求出曲線。直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中的較難的習(xí)題.但它的解法很多.現(xiàn)以一道典型習(xí)題為例給出幾種常見(jiàn)解法.供大家參考典例分析〔二：例1〔1求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)〔2求關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)〔3一張坐標(biāo)紙.對(duì)折后.點(diǎn)A<0.4>與點(diǎn)B〔8.0重疊.若點(diǎn)C<6.8>與D〔m.n重疊.求m+n；例2：試求直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線的方程。解法1：〔動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法在上任取點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.則又點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng).所以.所以。即。所以直線的方程是。解法2：〔到角公式法解方程組所以直線的交點(diǎn)為A<1,0>設(shè)所求直線的方程為.即,由題意知.到與到的角相等.則.所以直線的方程是。解法3：〔取特殊點(diǎn)法由解法2知.直線的交點(diǎn)為A<1,0>。在上取點(diǎn)P〔2.1.設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.則而點(diǎn)A.Q在直線上.由兩點(diǎn)式可求直線的方程是。解法4：〔兩點(diǎn)對(duì)稱(chēng)法對(duì)解法3.在上取點(diǎn)P〔2.1.設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為Q.在上取點(diǎn)M〔0.1.設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為而N.Q在直線上.由兩點(diǎn)式可求直線的方程是。解法5：〔角平分線法由解法2知.直線的交點(diǎn)為A<1,0>.設(shè)所求直線的方程為：設(shè)所求直線的方程為,即.由題意知.為的角平分線.在上取點(diǎn)P〔0.-3.則點(diǎn)P到的距離相等.由點(diǎn)到直線距離公式.有：時(shí)為直線.故。所以直線的方程是解法6〔公式法給出一個(gè)重要定理：曲線〔或直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線〔或直線的方程為。

證：設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn).它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.則于是?！進(jìn)與M/關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng).∴,〔3代入〔2.得.此即為曲線的方程。解析：定理知.直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線的方程為：所以直線的方程是。練習(xí)：〔1求直線關(guān)于點(diǎn)A〔1.2對(duì)稱(chēng)的直線方程；〔2求直線關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)的直線方程；〔3求直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程；例3〔1已知.在直線上找一點(diǎn)P.使最小.并求最小值；〔2已知.在直線上找一點(diǎn)P.使最大.并求最大值；例4光線由點(diǎn)A<2.3>射到直線反射.反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔1.1求反射光線所在直線方程。練習(xí)：光線從射出.被x軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B〔3.2.求入射光線所在直線方程；光線沿著直線射向直線.求反射光線所在直線方程。直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線方程是.求直線的傾斜角；直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).求直線的方程；5、一張坐標(biāo)紙對(duì)折后.點(diǎn)A<0.2>與點(diǎn)B〔4.0重疊.若點(diǎn)C<2.3>與D〔m.n重疊.求m+n；6、求直線關(guān)于點(diǎn)A〔2.3對(duì)車(chē)的直線方程7、與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).求直線的方程；8〔選、入射光線沿直線射到x軸后反射.這時(shí)又沿著直線射到y(tǒng)軸.由y軸再反射沿著直線射出.求直線的方程；9〔選、直線.直線.求直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線方程?！踩n后作業(yè)：方程表示的直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程是曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的曲線方程是..僅有兩個(gè)元素.則實(shí)數(shù)的范圍是求經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn).且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程已知的頂點(diǎn)為.的平分線所在直線的方程分別是