靜力學(xué)和材料力學(xué)6 2圓軸扭轉(zhuǎn)

工程力學(xué)課堂教學(xué)軟件(6)返回總目錄第6章工程力學(xué)第二篇 材料力學(xué)返回總目錄第6章ABB'jgm

A'mgg：剪切角(剪應(yīng)變)j：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角外力偶作用平面和桿件橫截面平行第6章圓軸扭轉(zhuǎn)由幾何關(guān)系知：g

=

fr

/

l桿的兩端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于桿件軸線的兩個(gè)力偶，桿的任意兩橫截面將繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種受力與變形形式稱為扭轉(zhuǎn)（torsion）。本章主要分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力以及兩相鄰橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，同時(shí)介紹圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)方法。第6章第6章第6章請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？當(dāng)兩只手用力相等時(shí)，擰緊螺母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。第6章傳動(dòng)軸請(qǐng)判斷哪些零件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？傳動(dòng)軸

將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)第6章第6章第6章請(qǐng)判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)？連接汽輪機(jī)和發(fā)電機(jī)的傳動(dòng)軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。第6章第6章第6章第6章連接汽輪機(jī)和發(fā)電機(jī)的傳動(dòng)軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。扭轉(zhuǎn)的力偶矩？第6章傳動(dòng)軸上的外力偶矩轉(zhuǎn)速：n(轉(zhuǎn)/分)輸入功率：P(kW)T1分鐘輸入功：W

=

60

·

P

·1000

=

60000

P1分鐘me作功W

'

=

Mew

=

Me

·(2pn

·1)

=

2pnM

eW

=

W

'M

=

9550

P

(N

m)?e

nne(N

?

m)M

=

9550

Pe[N

m]nM

=

9549

Pe=7024

P[馬力][N

m]n[r

/

min]M第6章nMeMeMxMeMx+第6章MeMeMeMx_nMx第6章第6章例題1圓軸受有四個(gè)繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。試：畫(huà)出圓軸的扭矩圖。第6章解：1．確定控制面外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。2．應(yīng)用截面法，由平衡方程M

x

=

0確定各段圓軸內(nèi)的扭矩。第6章3．建立Mx－x坐標(biāo)系，畫(huà)出扭矩圖建立Mx

－x

坐標(biāo)系，其中x

軸平行于圓軸的軸線，

Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標(biāo)在Mx

－x坐標(biāo)系中，得到相應(yīng)的點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)作x

軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。第6章δ<<R0---薄壁圓筒規(guī)定：矢量方向與橫截面外法線方向一致的扭矩為正mmR0d薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)純剪切mT11扭矩切應(yīng)力對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)前相鄰截面繞軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)橫截面上各點(diǎn)的剪（切）應(yīng)力的方向必與圓周線相切?？v向線圓周線扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)后平面假設(shè)成立結(jié)論

τdA

r

=t

2pr

d

r

=

MeA得：M

e2pr

2dτ

=Mer0x-tdA薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力第6章tt￠第6章dtt￠哪微怎些元樣力能才互不能相能平平衡衡？？第6章tt￠怎樣才能平衡？t

=

t根據(jù)力偶平衡理論第6章tt￠剪應(yīng)力成對(duì)定理第6章t

=

Gg剪切胡克定律第6章ABB'jgm

A'mgg：剪切角(剪應(yīng)變)j：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角外力偶作用平面和桿件橫截面平行由幾何關(guān)系知：g

=

fr

/

lOmO剪切胡克定律第6章應(yīng)用平衡方法可以確定圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力分量——扭矩，但是不能確定橫截面上各點(diǎn)剪應(yīng)力的大小。為了確定橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應(yīng)力是怎樣分布的。第6章應(yīng)力分布應(yīng)力公式變

形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過(guò)程第6章第6章第6章假定：圓軸受扭發(fā)生變形后，其橫截面依然保持平面，兩相鄰橫截面剛性地相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度。這一假定稱為平面假定。第6章第6章第6章若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據(jù)上述結(jié)論，在dx長(zhǎng)度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度dj，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小者剪應(yīng)變?cè)叫?。?章dxg(r)=

r

dj設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)r處的剪應(yīng)變?yōu)間（r），則從圖中可得到如下幾何關(guān)系：第6章第6章剪切胡克定律第6章第6章dxt

=

Gg

=

Gr

dj第6章第6章A

tdA)r＝M

x第6章第6章第6章第6章I

Pt(r)=

M

x

r第6章最大剪應(yīng)力PPmaxWIM

r

M=

x

max

=

xtmaxI

PPrW

=Wp——扭轉(zhuǎn)截面模量。第6章截面的極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面模量d16d

Dπ

d

4

π

d

332I

P

=,

WP

=1632π

D3

1－a

4

)π

D

4

1－a

4

)I

P

=,

WP

=第6章受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則maxp￡

[t]WMt

=

x,max第6章maxp￡

[t]WMt

=

x,max受扭圓軸的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則第6章例題2已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切應(yīng)力不得超過(guò)40MPa,空心圓軸的內(nèi)外直徑之比a

=0.5。二軸長(zhǎng)度相同。求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。第6章解：首先根據(jù)軸所傳遞的功率計(jì)算作用在軸上的扭矩實(shí)心軸xn

100M

=

T

=

9549

·

P

=

9549

·

7.5

=

716.2N

mmax1P1

1W

πd

3M

16M=

x

=

x=

40MPat616·716.2d1

=

3=

0.045m=45mmπ·40

·10第6章解：對(duì)于空心軸，則有算得d2＝0.5D2=23mm(

)max234P

22=

Mx

16M

xWt==

40MPaπD

1-a32D

=

16

·716.2

=

0.046m=46mmπ

(1-a

4

)·

40

·106第6章實(shí)心軸

d1=45

mm空心軸

D2＝46

mm

d2＝23

mm解：確定實(shí)心軸與空心軸的重量之比在長(zhǎng)度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：2221＝1.2821

-

0.5·)

46

·10= 1

=-32

45

·10-3

1d

2A2

D

(1

-aA第6章已知：P1＝14kW,

n1=

n2=

120

r/min,

z1=36,z3=12;

d1=70mm,

d

2

=50mm,

d3=35mm.求:

各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。3例題3第6章P1=14kW,

P2=

P3=

P1/2=7kWn1=n2=

120r/min360r/min313

1r/min

＝12

zz

36n

＝n

·

＝

120

·3解：計(jì)算各軸的功率與轉(zhuǎn)速第6章解：計(jì)算各軸的扭矩Mx1=T1=1114

N.mMx2=T2=557

N.mMx3=T3=185.7

N.m3第6章3P1max-9

W

π

·

70

·10t

(E)=

M

x1

=

16

·1114

Pa

=

16.54MPa3P

2max-9

W

π

·50

·10t

(H)=

M

x

2

=

16

·557

Pa

=

22.69MPa3P3max-9

W

π

·35

·10t

(C)=

M

x3

=

16

·185.7

Pa

=

21.98MPa3解：計(jì)算各軸的橫截面上的最大切應(yīng)力第6章由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1＝2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。關(guān)于橫截面上的剪應(yīng)力分布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一種是正確的？例題4第6章解：圓軸受扭時(shí)，里、外層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，這表明二者形成一個(gè)整體，同時(shí)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當(dāng)于原來(lái)的位置轉(zhuǎn)過(guò)一角度。例題4第6章解：因此，在里、外層交界處二者具有相同的剪應(yīng)變。由于內(nèi)層（實(shí)心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)

截面）的剪切彈性模量（G1＝2G2），所以內(nèi)層在二者交

界處的剪應(yīng)力一定大于外層在二者交界處的剪應(yīng)力。據(jù)此，答案（A）和（B）都是不正確的。例題4第6章解：在答案（D）中，外層在二者交界處的剪應(yīng)力等于零，這也是不正確的，因?yàn)橥鈱釉诙呓唤缣幍募魬?yīng)變不為零，根據(jù)剪切胡克定律，剪應(yīng)力也不可能等于零。根據(jù)以上分析，正確答案是（C）。例題4第6章第6章受扭圓軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角GIPdj

=

Mx

dx第6章第6章受扭圓軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角第6章受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則dxq＝dj

￡

[q]GIPθ

=

Mx

￡

[θ

]第6章第6章受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則需要注意的是：受扭圓軸的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則第6章例題5解：1．確定軸所能承受的最大扭矩第6章例題5解：1．確定軸所能承受的最大扭矩第6章例題5第6章第6章第6章圓軸強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)的一般過(guò)程第6章第6章圓軸強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)的一般過(guò)程需要指出的是第6章圓軸強(qiáng)度與剛度設(shè)計(jì)的一般過(guò)程關(guān)于公式的應(yīng)用條件dxg(r)=

r

dj第6章I

Pt(r)=

M

x

r關(guān)于公式的應(yīng)用條件2.材料必須滿足胡克定律，而且必須在彈性范圍內(nèi)加載，只有這樣，剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的正比關(guān)系才成立：dxg(r)=

r

dj二者結(jié)合才會(huì)得到剪應(yīng)力沿半徑方向線性分布的結(jié)論，才會(huì)得到反映作用力分布的剪應(yīng)力公式，即t

=

Gg第6章1.變形特征——翹曲扭轉(zhuǎn)后，橫截面將不再保持平面。矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力第6章矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力2.

由平衡直