橢球面的幾何特征與測量計(jì)算

第五章地球橢球及橢球面上的計(jì)算應(yīng)用大地測量學(xué)

山東科技大學(xué)地科學(xué)院測繪系

1可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應(yīng)用大地測量學(xué)測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進(jìn)行的，或者說主要是對地球表面進(jìn)行觀測的，由于地球表面不是一個規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面，在其上面無法進(jìn)行嚴(yán)密的測量計(jì)算。因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體——地球橢球，在其表面完成測量計(jì)算工作。用橢球來表示地球必須解決2個問題：一是橢球參數(shù)的選擇；二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的定位。2可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應(yīng)用大地測量學(xué)一、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系3可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應(yīng)用大地測量學(xué)一、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系第一偏心率第二偏心率：

扁率橢球長半徑a，短半徑b

4可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應(yīng)用大地測量學(xué)一、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系kpaCOBCKuu1980國家大地坐標(biāo)系WGS-84a637824563781406378137b6356863.018776356755.288166356752.3142e20.006693421622970.006694384999590.00669437999013e′20.00673852544680.006739501819470.00673949674227f1:298.31:298.2571:298.257223563幾種橢球幾何參數(shù)

5可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應(yīng)用大地測量學(xué)二、垂線偏差及其基本公式垂線偏差——地面一點(diǎn)上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法線方向之間的夾角。垂線偏差μ的分量——子午圈分量ξ和卯酉圈分量ηξ=ψ-Bη=(λ-L)cosψA=α-(λ-L)sinψ=α-η·tanψ

6可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應(yīng)用大地測量學(xué)三、橢球的定位橢球定位——將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置固定下來，確定測量計(jì)算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測量起算數(shù)據(jù)。橢球定位通過大地原點(diǎn)的天文觀測實(shí)現(xiàn)。對于大地原點(diǎn)： B0=ψ0-ξ0 L0=λ0-η0·secψ0 A0=α0-η0·tanψ0 H0=H0常+ζ0初期定位時，ξ0，η0，ζ0未知，可取為0。根據(jù)大地測量和天文測量數(shù)據(jù)，在條件下，求出原點(diǎn)的ξ0，η0，ζ0值。7可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應(yīng)用大地測量學(xué)基本概念法截面——包含曲面一點(diǎn)法線的平面。法截線——法截面與曲面的截線。子午圈——包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈——與橢球面上一點(diǎn)子午圈相垂直的法截線，為該點(diǎn)的卯酉圈。平行圈——垂直于短軸的平面與橢球面的交線。8可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應(yīng)用大地測量學(xué)一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關(guān)系9可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應(yīng)用大地測量學(xué)一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關(guān)系10可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應(yīng)用大地測量學(xué)二、子午圈曲率半徑M表M、N隨B變化的規(guī)律

BNM說明B=0°N0=aM0=a(1-e2)在赤道上，N為赤道半徑a，M小于赤道半徑a0°<B<90°a<N<ca(1-e2)<M<c此間N、M均隨B的增大而增大B=90°在極點(diǎn)，卯酉圈變?yōu)樽游缛?1可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應(yīng)用大地測量學(xué)三、任意方向法截線曲率半徑RA12可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應(yīng)用大地測量學(xué)三、任意方向法截線曲率半徑RA13可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應(yīng)用大地測量學(xué)四、平均曲率半徑五、曲率半徑的數(shù)值計(jì)算公式14可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計(jì)算

應(yīng)用大地測量學(xué)一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計(jì)算，橢球面上大地問題解算）

1、計(jì)算B=0到B的子午圈弧長X由M=dX/dB得：

將

代入上式，從0到B積分，可得X?？芍?，X是B的函數(shù)。15可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計(jì)算

應(yīng)用大地測量學(xué)一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計(jì)算，橢球面上大地問題解算）

1、計(jì)算B=0到B的子午圈弧長X由M=dX/dB得：

將

代入上式，從0到B積分，可得X。可知，X是B的函數(shù)。16可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計(jì)算

應(yīng)用大地測量學(xué)一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計(jì)算，橢球面上大地問題解算）

2、計(jì)算已知緯度B1和B2之間的子午圈弧長△X（1）分別計(jì)算0到B1和0到B2之間的子午圈弧長X1和X2，然后求△X=X2-X1；（2）用上述積分式求B1～B2之間的子午圈弧長△X。17可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計(jì)算

應(yīng)用大地測量學(xué)二、平行圈弧長平行圈是一個半徑等于r=N·COSB的圓，緯度B處經(jīng)度L1～L2之間的平行圈弧長

18可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)一、相對法截線設(shè)Q1和Q2兩點(diǎn)既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線Q1n1和Q2n2不相交。法截線Q1m1Q2和Q2m2Q1稱為兩點(diǎn)間的相對法截線。19可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)一、相對法截線正反法截線之間的夾角△：令Bm=45°，A=45°，不同距離S求得的△值為：

S

△

100km

0.042″

60km

0.015″

30km

0.004″在長距離的測量中，對向觀測所得3個內(nèi)角不能組成閉合三角形，需在兩點(diǎn)間選擇一條單一曲線——大地線。20可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)二、大地線及其幾何特征1、大地線——曲面上兩點(diǎn)間的最短曲線。（或：大地線是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點(diǎn)處的密切平面都包含曲面在該點(diǎn)的法線。2、大地線幾何特征大地線與相對法截線間的夾角為δ=△/3。大地線與相對法截線間的長度之差甚微，600km時二者之差僅為0.007mm。兩點(diǎn)位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。21可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)二、大地線及其幾何特征22可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)三、大地線微分方程和克萊勞方程

大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與dS的關(guān)系：

大地線的三個微分方程：23可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)三、大地線微分方程和克萊勞方程

大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與dS的關(guān)系：

大地線的克萊勞方程

：r·sinA=常數(shù)對于橢球面上一大地線而言，每點(diǎn)處平行圈半徑與該點(diǎn)處大地線方位角正弦的乘積是一個常數(shù)。24可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)四、地面觀測方向歸算至橢球面

1、垂線偏差改正δ1將地面測站點(diǎn)鉛垂線為基準(zhǔn)的觀測方向換算成橢球面上以法線為準(zhǔn)的觀測方向，其改正數(shù)δ1為：δ1=-（ξsinA-ηcosA）tanα例：A=0°，tanα=0.01，ξ=η=5″，則δ1=0.05″。垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點(diǎn)的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或沒垂直角）。僅在國家一、二等三角測量計(jì)算中，才規(guī)定加入此項(xiàng)改正。

25可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)四、地面觀測方向歸算至橢球面

2、標(biāo)高差改正δ2因照準(zhǔn)點(diǎn)B高出橢球面某一高度H2，使得在A點(diǎn)照準(zhǔn)B點(diǎn)的法截線Ab′與Ab之間有一夾角δ2。B2照準(zhǔn)點(diǎn)的大地緯度；A1測站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角；H2照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面的高程；M1測站點(diǎn)子午圈曲率半徑。例：A1=45°，B2=45°，H2=2000m，δ1=0.1″局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項(xiàng)改正。

26可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)四、地面觀測方向歸算至橢球面

3、截面差改正δ3將橢球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數(shù)δ3。例：A1=45°，Bm=45°，S=30kmδ3=0.001″截面差改正主要與測站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)間的距離有關(guān)。只有在國家一等三角測量計(jì)算中，才進(jìn)行改正。

27可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)五、地面觀測距離歸算至橢球面

設(shè)A、B兩點(diǎn)的大地高分別為H1為H2，h=H2-H1，d為空間直線長。由三角形AOB按余弦公式可得：

弦長弧長28可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應(yīng)用大地測量學(xué)六、橢球面上的三角形解算

目的——將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。方法一：按球面三角形解算公式：方法二：將球面三角形改化為對應(yīng)邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。球面三角形球面角超ε=（A0+B0+C0）-180°=△/R2·ρ″，△為三角形面積。

A1=A0-ε/3，B1=B0-ε/3，C1=C0-ε/3。29可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應(yīng)用大地測量學(xué)一、概述（一）解算內(nèi)容大地問題正解——已知P1點(diǎn)大地坐標(biāo)（B1，L1）、P1P2大地線長S和大地方位角A1，推求P2點(diǎn)大地坐標(biāo)（B2，L2）和大地方位角A2。大地問題反解——已知P1P2兩點(diǎn)的大地坐標(biāo)（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地線長S和大地方位角A1、A2。30可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應(yīng)用大地測量學(xué)一、概述（二）解算方法1、按解算的距離分為短距離（<400km)、中距離（400～1000km)和長距離（1000～2000km)的解算。2、直接解法和間接解法直接解法——直接解求點(diǎn)B、A和相鄰起算點(diǎn)的大地經(jīng)差。間接解法——先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角差，再加入到已知點(diǎn)的相應(yīng)大地?cái)?shù)據(jù)中。主要用于短距離大地問題的解算。

31可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應(yīng)用大地測量學(xué)一、概述（二）解算方法3、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適用于短距離）。基本思路：a、按照平均引數(shù)展開的臺勞級數(shù)把大地線兩端點(diǎn)的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長S的冪級數(shù)；b、利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)，最終得到大地問題解算公式。32可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應(yīng)用大地測量學(xué)二、高斯平均引數(shù)公式（一）按平均引數(shù)展開的臺勞級數(shù)平均引數(shù)xm為xo、xa的中點(diǎn)，將f(xa)、f(xo)都以xm為出發(fā)點(diǎn)展為臺勞級數(shù)。33可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應(yīng)用大地測量學(xué)二、高斯平均引數(shù)公式（二）高斯平均引數(shù)正解公式推求步驟：1、經(jīng)差l、緯差b、方位角差a是S的函數(shù)，故可以將其展為S的臺勞級數(shù)（按平均引數(shù)在S/2處展為S的冪級數(shù)）。2、引入大地線兩端點(diǎn)的平均緯度和平均方位角，將dL/dS以Bm、Am按臺勞級數(shù)展開。3、根據(jù)大地線微分方程求