經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)線性代數(shù)第二章習(xí)題復(fù)習(xí)資料

習(xí)題二參考答案

(A)

’1312、<-242-2、

1.設(shè)4=3121,8=42-2-2求

5)1-24

J34-2

(1)2A+3B；

(2)若X滿意2A—X=B+X,求X.

312]J242-2]

解：(l)2A+33=3121+42-2-2

3345,「24-24,

(2)由2A—X=3+X得，2X=2A-B,所以

2.計(jì)算

'17、

解:-3

、24,

r-i-4)

，3-21、,4-16、

⑵-23

<1-2b、6-8>

、3

3、

6

9,

“13丫王

“33人

3.已知兩個(gè)線性變換

(D試把這兩個(gè)線性變換分別寫(xiě)成矩陣形式；

(2)用矩陣乘法求連續(xù)施行上述變換的結(jié)果.

解：（1）寫(xiě)成矩陣形式為

（2）連續(xù)施行上述變換有

4.某企業(yè)在一月份出口到三個(gè)國(guó)家的兩種貨物的數(shù)量以及兩種貨物的

單位的價(jià)格、重量、體積如下表:

出、國(guó)單位單位單位

口'窗

美國(guó)德國(guó)法國(guó)價(jià)格重量體積

（萬(wàn)元）（噸）（米3）

A1200012008800.30.0120.12

A2100013006000.20.050.6

利用矩陣乘法計(jì)算該企業(yè)出口到三個(gè)地區(qū)的貨物總價(jià)值、總重量、總體積各

為多少？

解：設(shè)矩陣

0.12

V=,則該企業(yè)出口到三個(gè)地區(qū)的貨物總價(jià)值為

0.6

總重量為

總體積為

5.計(jì)算下列矩陣（其中〃為正整數(shù)）.

1AV

007

1-1-1-1Y1

'a00Y'

11-1-1

⑶0b0

1-1-1

0的

、—1—1—11

1Y111/1”

解:”=2時(shí),010。廠10oj

（1lYfi1、、

假設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)，八八八成立，則

S。乂

00,:0J

當(dāng)〃=左+1時(shí)，,有歸納法有

10o兒0）I。oj

1%、212Y1九、(124、

(2)〃=2時(shí),o山b

01J101>

fiAYfi口）

假設(shè)當(dāng)"=%時(shí)，=成立，則

I。410

當(dāng)〃〃+時(shí)112Y71力)_/](k+l)A

101J01J[o1廠101

有歸納法有

（3）〃=2時(shí)，

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí),

00?J00）

0b0=0bk0成立，則

、00c)00ck

/

當(dāng)〃=z+1時(shí),

有歸納法有

1T-1-1、

-11-1-1

(4)A=

-1-11-1

、一1-1

H=2時(shí),

“=3時(shí)，A3-A2A^22A,

于是，當(dāng)〃=2攵（%為正整數(shù)）時(shí)，

當(dāng)〃=2后+1（Z為正整數(shù)）時(shí),

2"E（〃為偶數(shù)）

因此得4"=

2n~'E（〃為奇數(shù)）

1

6.設(shè)/(x)=anx"+a^x"H---Fa/+即,記

稱/（A）為方陣A的〃次多項(xiàng)式.

‘3-ir

現(xiàn)設(shè)/(》)=/—x+l,A=210,求/(A).

J12,

解：f(A)=A2-A+E

7.設(shè)矩陣A、6是可交換的，試證：

(1)(A+B)(A-B)=A2-B2；

⑵(A+6)2^A2+2AB+B2.

證明：因?yàn)榫仃嘇、B是可交換的，所以AB=R4,

因此有(1)(4+3)(4-3)=42+&4-48-32=42—32,

(2)(A+B)2=A2+_BA+AB+B2A2+2AB+B2.

8.設(shè)A、3是同階矩陣，且4=g(B+E),證明：42=人的充分

必要條件是8?=E.

證明：必要性假如A2=A,則[g(B+E)]2=g(3+E),

由于矩陣3及￡是可交換的，由上式得

整理得B2=E.

充分性假如82=石，則

9.設(shè)矩陣

bcd、

a-dc

（a,b,c,d均為頭數(shù)）,

da-b

-cba；

⑴計(jì)算AA‘；

(2)利用(1)的結(jié)果，求|A卜

abc

-ba-d

解：(1)AAT

da

-cb

^a2+b2+c2+d2000

0a2+b2+c2+d200

00a2+b2+c2+d20

、000a2+b2+c2+d\

由(1)有

所以+6+°2+/2)2.

10.證明題:

(1)對(duì)于隨意的加x〃矩陣A,則AA，和A'A均為對(duì)稱矩陣.

(2)對(duì)于隨意的〃階矩陣A,則A+4,為對(duì)稱矩陣；而A-A7■為反

對(duì)稱矩陣.

證明：(1)因?yàn)?44「尸=(AT)TA「=44、所以AA「為對(duì)稱矩陣；

又因?yàn)?"A)，=A7(A7y=A'A,所以"A為對(duì)稱矩陣.

(2)因?yàn)?A+A，)'=A1'+(Ar)r=A+Ar,所以A+為對(duì)稱矩

陣；

又因?yàn)?A—A7y="—(A7y=A‘—A=一(A—AT),所以

A+A，為反對(duì)稱矩陣.

11.假如A、8是同階對(duì)稱陣，則A8是對(duì)稱陣的充分必要條件是A8

證明：必要性假如AB是對(duì)稱陣，則(AB)，=AB,即BTAT=AB,

由已知有AT=A,BT=B,所以AB=R4.

充分性假如A8=A4,則

所以A8是對(duì)稱陣.

12.設(shè)〃階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明

⑴若⑷=0,則|A*|=O；(2)|A*|=|A『T.

證明：(1)假設(shè)|A*卜0,則A*(A*『=E,

由此得A=AA*(A*)-'=l^lE,CA*)-1=O>

所以4*=O,這及相沖突，故|A|=0時(shí)，有

⑵由44=同￡得，|4||A*|=|A「，

若|A|HO時(shí),有⑷=同1,

若|川=0時(shí)，由⑴知|A[=O,等式也成立，故有

13.設(shè)〃階矩陣A,B,C滿意ABC=E,則下列各式中哪一個(gè)必定成

立？簡(jiǎn)述理由.

(1)ACB=E,(2)CBA=E,(3)BAC=E,(4)BCA=E.

解：由A3C=E可改寫(xiě)為48C)=E,即BC是A的逆矩陣，所以

有(BC)A=E,即(4)必定成立.

類似可得(1)、⑵、(3)未必成立.

14.設(shè)A,B均為〃階可逆矩陣，下列各式肯定成立的有哪些？簡(jiǎn)述理由.

⑴[(AT)T]T=[(")-『；

rr11|r

(2)[(A)]-=[(A-)-];

⑶(A，T=(AT)?(k為正整數(shù))；

⑷(A+B)T=I+B，

Trr

(5)[(AB)Y'=(A-')(B-');

A-)

tAo(o

(6)=.

"Oj(B-lO)

解：⑴由于KAT)T]T=",=",所以

[(A-')-'f=[(AT)T「，即(1)式肯定成立.

(2)由于=A-l[(AT)-」'=A"即(2)式不肯定成立.

⑶(A")T=(AA…A)T=A"AT…A"(3)式肯定成

H.

fl0、(-}

⑷設(shè)4=，B=，明顯A、3都可逆，但是

〔。UI。

不行逆，故（4）式不成立.

（5）由于

即（5）式肯定成立.

OA丫°

（6）由于O廠[O

BBAT'

但是AB7和84T不肯定等于E，故⑹式不肯定成立

15.設(shè)A是”階矩陣，滿意A"=。（攵是正整數(shù)），求證：E-A可逆,

并且(E-A)T=E+A+A2+---+Ak-'.

證明：因?yàn)?E—A)(E+A+A2+….+MT)

所以E-A可逆，并且(E-A)T=E+A+A2+---+Ak-'.

16.設(shè)A是可逆矩陣，證明：其伴隨矩陣A*也可逆，且

證明：因?yàn)锳是可逆矩陣，所以網(wǎng)。0,由于

二AA*=E,

有Ml

因此，伴隨矩陣A*也可逆.

由上述證明可知（A*）r=二4,

又因?yàn)?A-I)(A-1)*=忙|忸,

所以

故(AT=(1)*.

17.設(shè)A、8和A+3均是可逆矩陣，試證：AT+8-I也可逆，并

求其逆矩陣.

解：A-1+fi-1^A-'+A'AB'

由于A、6和A+8均是可逆矩陣，它們的乘積也可逆，所以有

18.設(shè)4為三階矩陣，A*是矩陣A的伴隨矩陣，已知|川=；,求

解：因?yàn)閨A|=；,所以有A可逆，且有內(nèi)［=|A-=2.而

AA=\^E,于是A*=|A|AT

*5-

因此有|(3A)T-2AA-1

19.用分塊矩陣的乘法計(jì)算.

rl000、2-24、

0100-212

⑴二丁一i一丁一一鼠

2""6'"i

J-10-101-17

(10-1Y20-2、

⑵T-"-i'12-22

0一「0人°2

EO

解:

AB

7

ED

則

AAD+BF

而

于是

’10-P-2、

(2I;0

⑵設(shè)i一二丁一丁2i-2

2=(用B2a),

。一「一司

、0：2

7心4當(dāng)、

A,B2

則4(B,當(dāng)4)=AB,

A2B2A2B3

A3B2A383J

而4與=(1

(\o-1Y2；0-2、'2-2-2、

于是f--i24-2204-4

0一一丁1

h

0人03-2

20.求分塊矩陣的逆矩陣.

2

1

/-\

(7

\-0

0

5,、、(23、fl

解：⑴記A=|,B=

所以A、8都可逆，且有

/p3、

23-0o

b

1110O

是

于

---.■■-2一-.■-

0t-T

0no4-1

;O

003O3-1

L1/

'-1、

(2)記人=-2-1-2B=(2),C=1

、433,

1-12

因?yàn)閨A|=-2-1-2=4/0,同=|2|=2/0,所以A、8均是可

433

逆矩陣，且有

依據(jù)例2.17的結(jié)論有

（394i-5>

<A

所

以

O

1

\

21.設(shè)4為三階矩陣，|同=一2,把A按列分塊為A=（4，&，4），

其中40=1,2,3)為A的第/列，求

⑴14，-2A3，&|；⑵一34,24,A

解：⑴IA，-2A3，&|=-2%，4，&|

⑵區(qū)-34,2A2,4|=|43,24，4|

22.設(shè)A為〃階矩陣，把A按列分塊為A=（以，夕2,…，瓦），

儲(chǔ)（；=1,2,…為A的第/列，試用以，22,…，凡表示A'A.

（明

8T

解:"4=（■血，…，凡）

A

「4、

23.設(shè)A為三階可逆矩陣，若A按行分塊為A=A2,按列分塊為

人

4=（用，層,當(dāng)），試推斷下列分塊矩陣是否可逆.

'A+&、

（1）A2+A3；（2）（Bj-B2,B2—B3,—BJ）.

解：（i）利用行列式的性質(zhì)計(jì)算分塊矩陣的行列式

認(rèn)+4、

從而可逆.

A2+A3

、4+A1,

（2）

|B,-B2,B2-B3,B3-B1|=|O,B2-B3,B3-BI|=O,

從而（耳一線,。一83,83-耳）不行逆.

24.設(shè)矩陣

’010)(100、

片=100,鳥(niǎo)=010,則下列各式中哪一個(gè)必定成立？簡(jiǎn)

、001J[1

01,

述理由.

(1)AP}P2=B；(2)AP2P.=B；(3)PtP2A=B；(4)P2P,A=B.

解：因?yàn)?的第一行加到第三行,再交換的第一行和第二行，從而得

得到8,故用22左乘A,再左乘即WB,(3)式必定成立.

25.求下列矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.

(\1111

1-12、1—2、

20-321

⑴321;(2)2-3;(3)

13612

1-2°,-347

42643,

'1-12、1-12、100、

解:⑴32I05-505-5

-2(0-1一2)(0-1~2)

'1-2、」-2、’10、

⑵2-30101

【一34JI。-2J10-2J

1111n1111

20-32I0-2-50-1

⑶

1361202501

、42643,0-2201

26.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.

1111、

1-1035

、、I1-1-1

⑴223⑵024；⑶

1-11-1

-12003>

-1-11>

’06000

00a200

(4)%H0,(i=1,2,???,?).

0000an-\

000o

1-1000、fl0100)

解：⑴223010->043-2I0

1一121001J1°1110

所以

’135100、135100

⑵o24010->024010

1

030000100

3>

所以

1000'000'

010000-2-1100

⑶->

100I00-20-2010

-1000<0-2-20-100

所以

’000010000、

00000I000

(4)io

0000an-\00010

000000001)

所以

27.解下列矩陣方程.

11\(20\

⑴X

3412

7V

‘104、

⑵X112=

‘1-10、

(4)設(shè)A=01-1,且2X+A=AX,求X.

C0

11(11、

解：(1)因?yàn)?1,所以矩陣可逆，在方程的兩邊左乘該

34(34>

矩陣的逆矩陣，得

104p04、

(2)因?yàn)?12=1,所以矩陣112可逆，在方程的兩邊右乘

11313,

該矩陣的逆矩陣，得

則網(wǎng)=—1,同=1,

故矩陣A,6都可逆，在方程的兩邊左乘A-：右乘Bi,得

(4)由2X+A=AX得，

而

且|A-2￡|/0,所以A—2E可逆，在(A-2E)X=A兩邊左乘

(A-2E)T得,

又

故

28.求下列矩陣的秩.

(\-1210、

'3102、

20

(1)1-12-1

-11

J3-44,

(030oL

'31021p-12-1A

解：⑴1-12-1-?3102

-4"U

J33—44,

所以該矩陣的秩是2.

4-1210、’1-1210、

⑵2-242000000

306-11030-41

1°300b、0300b

所以該矩陣的秩是3.

29.已知〃階矩陣A滿意A?—2A—4E=0,證明：A+E為可逆矩

陣；并求（A+E）T.

解：由A?—2A—4E=O得，

即

所以A+E為可逆矩陣，（A+E）T=A-3E.

30.已知〃階矩陣A,B滿意=

（1）證明：3-E為可逆矩陣；

'1-30、

（2）已知A=210,求矩陣B.

、。02,

證明：（1）由=得，

即

整理的

因此8-E可逆，且（B—E）T=A-E.

解：（2）由（1）得，B-E=（A-EY',

即

（B）

1.若A、B是〃階方陣，且E+AB可逆，則E+8A也可逆，且

證明：（E+6A）[E—B（E+AB）TA]

所以E+A4也可逆，且（E+A4）T=E—B（E+A8）TA.

2.設(shè)3為可逆矩陣，A、8是同階方陣，且42+48+82=0,證

明：A和A+3都為可逆矩陣.

證明：由A2+AB+8?=。得，

即

由于6為可逆矩陣，所以囚H0,因此有

于是

所以A和A+3都為可逆矩陣.

已知實(shí)矩陣A=(%)3x3滿意(1)%=。"=1,2,3),其中4是

%的代數(shù)余子式；(2)為工0,計(jì)算|川.

解：由%=A,j&/=1,2,3)得，

于是|441=〔川2=網(wǎng)3,從而

同=0或同=1,

但由于a”N0得，

因此網(wǎng)=1.

4.設(shè)A、6為同階可逆矩陣，證明：(A8)*=B*A*.

證明：因?yàn)锳、8為同階可逆矩陣，所以有

即A6也可逆,而(A5)(AB)*=|A耳E,

于是

5.設(shè)矩陣3的伴隨矩陣

且=AB-1+3E,求A.

解：由題有

所以⑻卜忸『=8,即慟=2.又

從而(B-E)AB-i=3E,(B—E)A=3B,即

于是

故

6.已知

且矩陣X滿意A*X=A-i+2X,其中A*是4的伴隨矩陣，求矩陣X.

解