江西省鷹潭市貴溪職業(yè)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

江西省鷹潭市貴溪職業(yè)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.如圖①，這個美妙的螺旋叫做特奧多魯斯螺旋，是由公元5世紀(jì)古希臘哲學(xué)家特奧多魯斯給出的，螺旋由一系列直角三角形組成（圖②），第一個三角形是邊長為1的等腰直角三角形，以后每個直角三角形以上一個三角形的斜邊為直角邊，另一個直角邊為1．將這些直角三角形在公共頂點(diǎn)處的角依次記為α1，α2，α3，…，則與α1+α2+α3+α4最接近的角是（）參考值：tan55°≈1.428，tan60°≈1.732，tan65°≈2.145，A．120° B．130° C．135° D．140°參考答案：C【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】由題意利用直角三角形中的邊角關(guān)系，可得α1=45°，α3=30°，再利用兩角和的正切公式求得tan（α2+α4）的值，可得α2+α4的值．【解答】解：由題意可得，α1、α2、α3、α4最都是銳角，且α1=45°，tanα2==，tanα3==，∴α3=30°，tanα4==，∴α1+α3=75°．又tan（α2+α4）===≈1.87≈tan60°，故（α2+α4）接近60°，故與α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，直角三角形中的邊角關(guān)系，屬于中檔題．2.在橢圓上有兩個動點(diǎn)P，Q，E（3,0）為定點(diǎn)，EP⊥EQ，則最小值為（

） A．6

B．

C．9

D．參考答案：A設(shè)，則有，因?yàn)镋P⊥EQ，所以，即，因?yàn)?，所以?dāng)時，取得最小值6，故選擇A。3.已知函數(shù)f（x）=|lnx|，若f（m）=f（n）（m＞n＞0），則+=（）A． B．1 C．2 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】4N：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】由題意，函數(shù)f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0），可知m與n關(guān)于x=1對稱，即m+n=2．f（m）=f（n），即lnm=﹣lnn，可得mn=1．即可求解則+的值．【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）=|lnx|，f（m）=f（n）（m＞n＞0），可知：m與n關(guān)于x=1對稱，即m+n=2．∵f（m）=f（n），（m＞n＞0），可得lnm=﹣lnn，即lnm+lnn=0，∴mn=1．那么：+==，故選C．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用以及對數(shù)的運(yùn)算．屬于中檔題．4.若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)B分有向線段所成的比是()A．

B.

C.

D.3參考答案：A5.長方體的三個相鄰面的面積分別為2，3，6，這個長方體的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則這個球的表面積為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C6.若關(guān)于x的不等式xln+x﹣kx+3k＞0對任意x＞1恒成立，則整數(shù)k的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）+x﹣k（x﹣3）＞0，整理后對x討論，x=3，x＞3，1＜x＜3時，運(yùn)用參數(shù)分離，求得最值，主要是x＞3時，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x0位于（13，14）內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)h（x）的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知h（x0）=x0，從而得到k＜x0，則正整數(shù)k的最大值可求．【解答】解：關(guān)于x的不等式xlnx+x﹣kx+3k＞0對任意x＞1恒成立，即k（x﹣3）＜x+xlnx，當(dāng)x=3時，不等式顯然成立；當(dāng)x＞3，即有k＜對任意x＞3恒成立．令h（x）=，則h′（x）=，令φ（x）=x﹣3lnx﹣6（x＞3），則φ′（x）=1﹣＞0，所以函數(shù)φ（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)棣眨?3）=7﹣3ln13＜0，φ（14）=8﹣3ln14＞0，所以方程φ（x）=0在（3，+∞）上存在唯一實(shí)根x0，且滿足x0∈（13，14）．當(dāng)13＜x＜x0時，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，當(dāng)x＞x0時，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，所以函數(shù)h（x）=在（13，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．所以[h（x）]min=h（x0）===x0∈（，）．所以k＜[h（x）]min=x0，因?yàn)閤0∈（13，14）．故整數(shù)k的最大值是4；當(dāng)1＜x＜3時，即有k＞對任意x＞3恒成立．由于x﹣3＜0，可得＜0，即有k≥0，綜上可得，k的最大值為4．故選：A．7.將函數(shù)y=sin（x）的圖象向左平移3個單位，得函數(shù)y=sin（x+φ）（|φ|＜π）的圖象（如圖），點(diǎn)M，N分別是函數(shù)f（x）圖象上y軸兩側(cè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，設(shè)∠MON=θ，則tan（φ﹣θ）的值為（）A．1﹣ B．2﹣ C．1+ D．﹣2+參考答案：D【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變換，求得φ的值，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得M和N的坐標(biāo)，利用余弦定理求得θ的值，即可求得tan（φ﹣θ）．【解答】解：函數(shù)y=sin（x）的圖象向左平移3個單位，可得：y=sin[（x+3）]=sin（x+），則φ=，∴M（﹣1，），N（3，﹣），則丨OM丨=2，丨ON丨=2，丨MN丨=2，cosθ==﹣，由0＜θ＜π，則θ=，則tan（φ﹣θ）=tan（﹣）=﹣tan=﹣tan（﹣）=﹣=﹣（2﹣）=﹣2+，tan（φ﹣θ）的值﹣2+，故選D．8.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.在數(shù)列{}中，已知，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且雙曲線C1，C2的離心率相同，則雙曲線C2的實(shí)軸長是（）A．32 B．16 C．8 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長．【解答】解：雙曲線的離心率為，設(shè)F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，可得|F2M|==b，即有|OM|==a，由，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有雙曲線的實(shí)軸長為16．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.存在以下三個命題：①若，則；②若a、b∈R，則；③若，則；其中正確的是

（填序號）參考答案：①②③略12.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是

cm．參考答案：6+（+2）略13.設(shè)函數(shù)f（x）=，當(dāng)a=0時，f（x）的值域?yàn)?/p>

；若f（x）恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：[0，+∞）,a＞.【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的值域．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由分段函數(shù)可得，分段函數(shù)值域，從而得到函數(shù)的值域；再由分段函數(shù)分別確定方程的根的個數(shù)即可．【解答】解：當(dāng)a=0時，x＜1時，f（x）=＞；當(dāng)x≥1時，0≤1﹣＜1；故f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；解：當(dāng)x≥1時，f（x）有一個零點(diǎn)x=1，故當(dāng)x＜1時，f（x）還有一個零點(diǎn)，即﹣a=0有解，∵＞，∴a＞；故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞．故答案為：[0，+∞），a＞．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的求法及應(yīng)用．14.已知直線與圓，則上各點(diǎn)到的距離的最小值為____________。參考答案：【解析】如圖可知：過原心作直線的垂線，則長即為所求；∵的圓心為，半徑為

點(diǎn)到直線的距離為

∴

故上各點(diǎn)到的距離的最小值為?！军c(diǎn)評】此題重點(diǎn)考察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離；【突破】數(shù)形結(jié)合，使用點(diǎn)到直線的距離距離公式。

15.實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為

.參考答案：4畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示，三角形ABC為所求，目標(biāo)函數(shù)化為

，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B（1,2）時，最大值為4。16.（幾何證明選講）如圖，切圓于點(diǎn),交圓于兩點(diǎn)，且與直徑交于點(diǎn)，若，則___________．

參考答案：1517.已知點(diǎn)是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且滿足，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿發(fā)14分）

已知

（I）求的值；

（II）求的值參考答案：（I）；（II）.試題分析：(1)由題意可得：，且由三角恒等變換可知：，所以代入數(shù)據(jù)可得的值；（2）利用三角公式及平方差公式化簡可得，然后代入的值即可.試題解析：（I）由得…………2分故…………6分（II）原式…………8分

…………12分

…………14分考點(diǎn)：三角恒等變換.19.（本小題13分）已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值;(Ⅱ)如果函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),求的取值范圍.參考答案：(2)當(dāng),即時,在上必有零點(diǎn).

…………10分(3)若在上有兩個零點(diǎn),則或解得或.

……………………12分綜上所述,函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn),實(shí)數(shù)的取值范圍是或

…………13分20.（本小題滿分12分）已知命題p：x∈[1,2]，x2－a≥0；命題q：x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0.若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：p真，則

---------2分q真，則即

----------4分“”為真，為假

中必有一個為真，另一個為假----5分

當(dāng)時，有

-------8分當(dāng)時，有

--------11分實(shí)數(shù)a的取值范圍為.--------12分21.（本小題滿分14分）如圖所示，直立在地面上的兩根鋼管AB和CD，m，m，現(xiàn)用鋼絲繩對這兩根鋼管進(jìn)行加固，有兩種方法：（1）如圖（1）設(shè)兩根鋼管相距1m，在AB上取一點(diǎn)E，以C為支點(diǎn)將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處,形成一個直線型的加固（圖中虛線所示）．則BE多長時鋼絲繩最短？（2）如圖（2）設(shè)兩根鋼管相距m，在AB上取一點(diǎn)E，以C為支點(diǎn)將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，再將鋼絲繩依次固定在D處、B處和E處，形成一個三角形型的加固（圖中虛線所示）．則BE多長時鋼絲繩最短？參考答案：（1）設(shè)鋼絲繩長為ym，，則（其中，），當(dāng)時，即時，.（2）設(shè)鋼絲繩長為ym，，則（其中，）.令得，當(dāng)時，即時.答：按方法（1），米時，鋼絲繩最短；按方法（2），米時，鋼絲繩最短.22.（本小題滿分12分）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：（單位：人）

幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050

（1）能否據(jù)此判斷有97．5％的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)?（2）經(jīng)過多次測試后，女生甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，女生乙每次解答一道幾何題所用的時間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同