2023屆福建省龍巖市長汀縣長汀、連城一中等六校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則的值等于()A． B． C． D．2．某城市修建經(jīng)濟(jì)適用房．已知甲、乙、丙三個社區(qū)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若首批經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決住房緊張問題，采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為（）A．40 B．36 C．30 D．203．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，則的最大值為（）A． B．1 C． D．4．把函數(shù)，圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A． B．C． D．5．如圖所示，已知正三棱柱的所有棱長均為1，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．6．的內(nèi)角的對邊分別為,若,則（）A． B． C． D．7．設(shè)變量想x、y滿足約束條件為則目標(biāo)函數(shù)的最大值為()A．0 B．-3 C．18 D．218．已知向量，且，則().A． B．C． D．9．已知，函數(shù)的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．610．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時n的值為____________．12．設(shè)向量，若，，則.13．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則___________.14．已知，則.15．5人排成一行合影，甲和乙不相鄰的排法有______種．（用數(shù)字回答）16．已知，，，則的最小值為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為Q(x)＝3000＋50x(單位：元)．（1）求樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用f(x)的解析式.（2）為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值是多少？（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝）18．如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個三角形，使得，.(1)設(shè)，求三角形鐵皮的面積；(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.19．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．20．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，M為不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b時，.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】，所以，則，故選擇D.2、C【解析】試題分析：利用分層抽樣的比例關(guān)系,設(shè)從乙社區(qū)抽取戶，則，解得.考點(diǎn)：考查分層抽樣.3、D【解析】

根據(jù)正弦定理將已知等式化簡得，再根據(jù)差角正切公式以及基本不等式可得結(jié)論.【詳解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)化為的形式，然后再利用三角函數(shù)的圖像變換即可求解.【詳解】函數(shù)，函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度可得，在將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

利用等體法即可求解.【詳解】三棱錐的體積等于三棱錐的體積，因此，三棱錐的體積為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等體法求三棱錐的體積、三棱錐的體積公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

首先通過正弦定理將邊化角，于是求得，于是得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理得：，即，而，所以，又為三角形內(nèi)角，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的運(yùn)用，難度不大.7、C【解析】

畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，且最大值為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值.這種類型題目的主要思路是：首先根據(jù)題目所給的約束條件，畫圖可行域；其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)；接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對應(yīng)的基準(zhǔn)直線；然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置；最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

運(yùn)用平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合等式，把其中的向量都轉(zhuǎn)化為以為起點(diǎn)的向量的形式，即可求出的表示.【詳解】,,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】試題分析：因?yàn)樵摵瘮?shù)的單調(diào)性較難求，所以可以考慮用不等式來求最小值，，因?yàn)椋芍匾坏仁娇芍?，所以，本題正確選項(xiàng)為D.考點(diǎn)：重要不等式的運(yùn)用.10、B【解析】

利用三角函數(shù)圖像平移原則，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角圖像變換，誘導(dǎo)公式，熟記變換原則，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7【解析】

利用，得的值【詳解】因?yàn)?，，所以?.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)及單調(diào)性，找到與1的分界是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、【解析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列等式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，可得，又因?yàn)?，所以，故答案?【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.13、3【解析】

直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求解，再利用兩角和的正切展開代入求解即可【詳解】由任意角三角函數(shù)的定義可得：．則故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查了任意角三角函數(shù)的定義和兩角和的正切計算，熟記公式準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】試題分析：兩式平方相加并整理得，所以.注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體去解決問題.考點(diǎn)：三角恒等變換.15、72【解析】

先對其中3個人進(jìn)行全排列有種，再對甲和乙進(jìn)行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為.【詳解】先對其中3個人進(jìn)行全排列有種，再對甲和乙進(jìn)行插空有種，利用乘法原理得到排法總數(shù)為種，故答案為72【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合計數(shù)原理的應(yīng)用，考查基本運(yùn)算能力.16、25【解析】

變形后，利用基本不等式可得.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）該樓房應(yīng)建為20層，每平方米的平均綜合費(fèi)用最小值為5000元．【解析】【試題分析】先建立樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用函數(shù)，再應(yīng)基本不等式求其最小值及取得極小值時：解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號取到.所以，當(dāng)時，最小值為5000元.18、（1）三角形鐵皮的面積為；（2）剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.【解析】試題分析：（1）利用銳角三角函數(shù)求出和的長度，然后以為底邊、以為高，利用三角形面積公式求出三角形的面積；（2）設(shè)，以銳角為自變量將和的長度表示出來，并利用面積公式求出三角形的面積的表達(dá)式，利用與之間的關(guān)系，令將三角形的面積的表達(dá)式表示為以為自變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出三角形的面積的最大值，但是要注意自變量的取值范圍作為新函數(shù)的定義域.試題解析：（1）由題意知，，，，即三角形鐵皮的面積為；（2）設(shè)，則，，，，令，由于，所以，則有，所以，且，所以，故，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最大值，即，即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.考點(diǎn)：1.三角形的面積；2.三角函數(shù)的最值；3.二次函數(shù)的最值19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

分析：（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得結(jié)果，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)定義得，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)，利用兩角差的余弦公式求結(jié)果.【詳解】詳解：（Ⅰ）由角的終邊過點(diǎn)得，所以.（Ⅱ）由角的終邊過點(diǎn)得，由得.由得，所以或.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】試題分析：（I）先去掉絕對值，再分，和三種情況解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再進(jìn)行因式分解，進(jìn)而可證當(dāng)，時，．試題解析：（I）當(dāng)時，由得解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時，，從而，因此【考點(diǎn)】絕對值不等式，不等式的證明.【名師點(diǎn)睛】形如（或）型的不等式主要有兩種解法：（1）分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)的方程的根，將數(shù)軸分為，，（此處設(shè)）三個部分，在每個部分去掉絕對值號并分別列出對應(yīng)的不等式進(jìn)行求解，然后取各