八年級數學下冊期末試卷一套202307050748199507319

．在函數＝2x中，自變量x的取值范圍是（）x1yA．x≤2B．x≥2C．x＜2且x≠0D．x≤2且x≠02．下列由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（）53A．a：b：c＝1：2：3B．a＝4，b＝1，c＝4C．a＝4，b＝5，c＝41D．a＝3，b＝4，c＝53．下列命題正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形4測驗成績分別為90分、90分、x分、80分，若這組成績的恰好相等，則這組成績的眾數是（）B．95分C．90分．甲、乙、丙、丁四人的數學眾數與平均數A．100分D．85分5．如圖，點E是邊長為8的正方形ABCD的對角線BD上的動點，以AE為邊向左側作正方形AEFG，點P為AD的中點，連接PG，在點E運動過程中，線段PG的最小值是（）A．26．如圖，在直角坐標系xOy中，菱形ABCD的周長為16，點M是邊AB的中點，∠BCD=60°B．2C．22D．42，則點的坐標為（）MA-．（3，-2）B-．（3，-1）C-1-D．（3，2）-．（，3）7．如圖，在直角三角形ABC中，點，則EF=(∠C=90°，AB=10AC=8，，點E，F分別為AC和AB的中)

81PAA→C→D1cm/sDs．設點的運動時間為（），的面積為（）．表示與的函數關系的圖象△PABycmyx2AB9．二次根式在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是__________．兩條對角線分別長6和8，則它的面積是_____．邊長分別作正方形，其中正方形、正RtABCABFGa110．已知菱形的ABCD11．如圖，以的兩條直角邊和斜邊為分別為25、144，則陰影部分的面積為．______方形的面積ACDE12．如圖，矩形的對角線AC與BD相交點，AB6，BC8，，Q分別為ABCDOP______中點，則的長度為．PQ，的AOAD

PADPE⊥ACEPF⊥BD．如圖，在矩形中，，，點在上，于，于，則FAAA…xly121k0∠OPA90°＝（＞）上，＝，點（，），（，），且，，均與P11A20APAP…OP112APAP…AP①AP1yx平行，，，均與平行，則有下列結論：直線的函數解析式為＝﹣11222552②P③P；點的縱坐標是；點的縱坐標為（）．其中正確的是（填序_____20212202193號）．16ABCDEAD△ABE．如圖，在長方形中，是的中點，將沿直線折疊后得到，延BE△GBEBGCDFEFAB6BC41∠BEF_____長交于點，連接，若＝，＝，則（）＝；（）＝2DF6_____．三、解答題17．計算：1①18(3)3；32②(32)224．18《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：平“與人齊，仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾”．此問題可理解為：如圖，有AC10．在地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步五尺人高曾記．一架秋千，當它靜止時，踏板離地的距離AB度為尺，則此時秋千的踏板離地的距離的長1尺．將它往前推送，當水平距離為10尺時．即

①②4×4AB1C2D3③△②（）在圖中，畫出以為腰的等腰，并且點為格點，所畫的與圖中E所畫的△不全等．ABD．在矩形中，，，對角線AC、BD交于點，一直線過點分別交AD9OOAB3EFED4AFCE于點、，且，求證：四邊形為菱形．121．學習了二次根式的乘除后，老師給同學們出了這樣一道題：已知a＝，求3a22a1的值．劉峰想了想，很快就算出來了，下面是他的解題過程：a2aa1a2a1a11，aa1aa1a2∵解：2aa2又∵a＝13，∴1a3，∴原式＝3．

你認為劉峰的解法對嗎？如果對，請你給他一句鼓勵的話；如果不對，請找出錯誤的原因，并改正．情況下，一直如某一時刻開始計時，時間為應的水溫為（）函數圖象關x（分）與對系，已知AB段為線段，BC段為雙曲線一部分，點A為028，點為，點為，CBy（1）求出AB段加熱過程的與x的函數關系式和a的值．y℃（2）若水溫（）在45不適飲水溫度，在0xay23．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數量關系是，位置關系是；（2）探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，，，BDCE△ADE判斷△PMN的形狀，并說明理由；△ADE（3）拓展延伸：把繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．24．如圖1，直線y=kx+b經過第一象限內的（1）若b=7，則k=_______（2）如圖2，直線y=kx+b與y軸交于點C，已知點A(6，，t)過點A作AB//y軸交第一象限內的直線y=kx+b于點B，連接OB，若BP平分∠OBA．①證明是等腰三角形；②P(34)定點，．；OBC求k的值；（3）如圖3，點M是x軸正半軸上的一個動點，連接PM，把線段PM繞點M順時針旋轉NM∠PMN=90°且PM=MNOPONPN90°至線段（），連接，，，周長最小時，求點OPN當

25．定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑。11們還發(fā)現損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點，在公共邊的同側的兩個角是相等的。1△ABC△ABD∠ADB∠ACB∠ADB∠ACB△ABC△BCD∠BAC∠BDC。請再找一對這樣的角來＝22△ABC∠ABC90°（）如圖，中，＝，以為一邊向形外作菱形，為菱形的ACACEFDACEFBDBD∠ABCACEF中心，連結，當平分時，判斷四邊形為何種特殊的四邊形？請說明理由。32AB3BD（）在第（）題的條件下，若此時＝，＝，求的長。BC42【參考答案】一、選擇題1．DD解析：【分析】00根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于，分母不等于列不等式組求解．【詳解】2x0，x0x2x0．解：根據題意得：解得：且

D故選：【點睛】0本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為，二次根式有意義，被開方數是非負數．2．AA解析：【分析】.運用勾股定理的逆定理進行計算求解即可判斷【詳解】A∵a:b:c1:2:3解：、∴a2b25k29k2c2，設，，（其中k＞0）akb2kc3kA，故選項中的三條線段不能構成直角三角形；3、（）2＝（）2，故選5B1+B項中的三條線段能構成直角三角形；244C、42+52＝（C41）2，故選項中的三條線段能構成直角三角形；D、32+42＝52，故選D項中的三條線段能構成直角三角形；A故選．【點睛】.本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握勾股定理的逆定理3．BB解析：【解析】【分析】利用菱形、矩形、平行四邊形及正方形的判定方法逐一判斷即可答案．【詳解】A.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故該選項錯誤，不符合題意，B.C.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故該選項正確，符合題意，對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故該選項錯誤，不符合題意，D.一組對邊相等，另一組對邊也相等的四邊形是平行四邊形，故該選項錯誤，不符合題意，B故選：．【點睛】本題考查命題與定理，熟練掌握菱形、矩形、平行四邊形及正方形的判定方法是解題關鍵．4．CC解析：【解析】【分析】若x80，則這組數80眾數是分901個，據此排除據的、分，而這組數據的平均數只有x80，再由眾數的定義可得出答案．【詳解】

本題主要考查眾數，解題的關鍵是掌握眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數．解析：C【分析】連接DG，可證△AGD≌△AEB，得到G點軌跡，利用點到直線的最短距離進行求解．【詳解】解：連接DG，如圖，，∵四邊形ABCD、四邊形AEFG均為正方形，∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AG＝AE，∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠BAE，∴∠GAD＝∠BAE，∵AB＝AD，AG＝AE，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴∠PDG＝∠ABE＝45°，∴G點軌跡為線段DH，當PG⊥DHPG時，最短，在Rt△PDG中，＝∠PDG45°，P為AD中點，DP＝4，設PG＝x，則DG＝x，由勾股定理得，x2+x4＝2，2解得x＝22．故選：C．【點睛】本題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握連接DG，得到G點軌跡，

【解析】【分析】過點分別作ME⊥AC，MF⊥DB，根據菱形的性質：四邊相等，對角相等且互相平分，可M得在中，根據所對直角邊是斜邊的一半，確定，，再依據中位線定理RtABO30BOAOBCD60，∵菱形周長為16，ABCD∴ABBCCDDA4DAB，BCD60，DAOBAO30，∴在RtABO中，BO2∵點為中點，，AO23，M∴ME12BO1MF1AO3，，2∵點在第三象限，M3,1，∴M故選：B．【點睛】題目考察菱形的基本性質、直角三角形中的性質、中位線定理等，難點在于將知識點30融會貫通，綜合運用．7．AA解析：【解析】【詳解】∵直角三角形中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，ABC∴BC102826．∵點E、F分別為AC、AB的中點，

∴EF是的中位線，△ABCEF1BC163∴．22A故選．8．BB解析：【分析】52aAC=BD222由圖知，菱形的邊長為，對角線，則對角線為a()a254，52211a25x，即可求解．241PAC當點在線段上運動時，yAPBD22【詳解】2aAC解：由圖知，菱形的邊長為，對角線5，a254，5a()BD2則對角線為2222PAC當點在線段上運動時，11a25x，24y1APBD222xya由圖知，當時，＝，5a55，1即a2245解得：，a2B故選：．【點睛】本題考查的是動點圖象問題，涉及到函數、解直角三角形等知識，此類問題關鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解．二、填空題9．a1【解析】【分析】根據二次根式的性質可求出x的取值范圍．【詳解】在實數范圍內有意義，a1解：若二次根式a則：10，a解得1．a故答案為：1．【點睛】本題主要考查了二次根式的意義和性質：概念：式子a(a0)叫二次根式；性質：二次根

算．S=6×8÷2=24．考點：菱形的性質．11．B根據勾股定理可得正方形BCMN的面積為，再求出Rt△ABC的面積，即可求25+144=169ACDE，∴25+144=169AB=5AC=12∴陰影部分的面積為1×5×12=169-30=1392139故答案為：．【點睛】此題主要考查勾股定理，解題的關鍵是熟知勾股定理幾何證明方法．12．5【分析】位線的性質可得答案.先利用勾股定理求解BD,再利用矩形的性質求解OD,從而根據中【詳解】AB6，BC8，解：矩形，ABCDAD8,BAD90,OBOD1BD,2BD628210,OD5,，分別為，的中點，AOADQPPQ1OD2.5.2故答案為：2.5.

本題考查的是矩形的性質，勾股定理的應用，三角形的中位線的性質，靈活應用以上知識13．．-11212解析：5【詳解】ACBDOOPDDM⊥AC解：設與相交于點，連接，過作于，M∵ABCD四邊形是矩形，∴，，AC=BD∠ADC=90°．∴OA=OD．∵AB=3AD=4∴AC=32425．，，由勾股定理得：13415DM12∵S∴DM=，．ACD225∵SSS，DPOAODAPO∴12AODM1AOPE1DOPF．22∴PE+PF=DM=125B．故選．15．①②③【分析】由已知易求得直線的解析式為：，直線為：，進而根據待定系數法可求得的解①析式為：即可判斷；解析式聯(lián)立構成方程組可求得的坐標，同理求得的坐②標，即可判斷；由、的坐標得出規(guī)律即可得①②③解析：【分析】134x由已知易求得直線的解析式為：OPyx，直線為：，進而根據待定系數法可ly4求得AP的解析式為：yx2即可判斷；解析式聯(lián)立構成方程組可求得的坐標，同P1①1

②P的坐標，即可判斷；由P、P的坐標得出規(guī)律即可得出點P的縱坐標理求得為122202120215③，即可判斷．3【詳解】解：設AP的解析式為ykxb，1∵P（1，1），∴直線OP為yx，∵AP1∥OP，∴k1＝，即yxb，∵A（2，0），∴2+b＝0，解得b＝﹣2，∴AP1的解析式為yx2，故①正確；l3ykx∵點P，PP，，…在直線：（k＞0）上，124∴1＝k+341，解得k＝，4∴直線l為：y1x43，4113yx2x解得，yx351y344115P1，，∴33設AP的解析式為yxb，1111516，3x代入P，可得，11AP的解析式為：y33116∴A1的坐標為（，0），3163解析式為：yxAP同理求得的，12163739yxx解得，132549yxy4∴P25為，故②正確；9縱坐標21∵P5縱坐標255為＝（）2，P為，縱坐標92335P以此類推，點2021的縱坐標為（）2021．故③正確．3故答案為：①②③．

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，總結出點的縱坐標的規(guī)律是解題的關鍵．16904．；【分析】1EAD（）根據點是的中點以及翻折的性質可以求出＝＝，＝AEDEEG∠AEB∠GEB“HL”△EDF△EGF，再根據矩形的性質，得出，然后利用證明和全等，根據全等904解析：；【分析】1EADAEDEEG∠AEB∠GEB（）根據點是的中點以及翻折的性質可以求出＝＝，＝，再根EGF據矩形的性質，得出，然后利用證明和全等，根據全D90∠DEF∠GEF等三角形對應角相等，得出＝可得結論；“HL”△EDF△EGF2（）由和全等，得出，設＝，表示出、，然后在△EDF△EGFRt△BCFDF=GFFDxFCBF中，利用勾股定理列式進行計算即可．【詳解】1∵EAD解：（）是的中點，∴AE＝，DE∵△ABE沿BE△GBE折疊后得到，GEB1AEG，∴AEEGABBG＝，＝，AEB2∴ED＝，EG∵ABCD四邊形是矩形，∴∠A＝＝，∠D90°∴∠EGF＝，90°在Rt△EDF和Rt△EGF中，EDEG，EFEF∴Rt△EDF≌Rt△EGF（），HL∴DEFGEF1GED，2∵∠AEB＝，∠GEB∴BEFGEB＋GEF1AEG1GED1AED＝90，22290°故答案為：．2∵Rt△EDF≌Rt△EGF，（）解：∴DF＝，FGDFx設＝，BFBGGF6x則，CF6x，在Rt△BCF中，

BC2CF2BF2，(46)2(6x)2(6x)2，x4解得＝，4故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，翻折變換（折疊問題），全等三角形的判定與性質，ED=EG解題關鍵是熟記相關性質，找出三角形全等的條件．三、解答題17．①0；②5【分析】1（）先運用二次根式或立方根的性質化簡各個根式，再計算即可；2（）先運用完全平方公式計算，再合并同類二次根式計算即可．【詳解】①解：原式=0；②原式=5．【解析：①0；②5【分析】1（）先運用二次根式或立方根的性質化簡各個根式，再計算即可；2（）先運用完全平方公式計算，再合并同類二次根式計算即可．【詳解】(3)1①解：1833232232原式33=0；②(32)224322626原式=5．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則和運算順序是解題的關鍵．

18OA14.5．繩索的長為尺．【分析】OAx設繩索的長為尺，根據題意知，可列出關于的方程，即可求解．【詳解】解：由題意可知：尺，OAx設繩索的長為尺，根據題意得，解得．OA答：繩索的OA14.5解析：繩索的長為尺．【分析】xOA設繩索的長為尺x，根據題意知，可列出關于的方程，即可求解．【詳解】解：由題意可知：AD5尺，OA設繩索的長為尺x，根據題意得x2，2102x15解得x14.5．OA14.5答：繩索的長為尺．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，明確題意，列出方程是解題的關鍵．19．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【解析】【分析】（1）根據勾股定理AB=，以AB為底等腰直角三角形，兩直角邊為x,根據勾股定理求出,找橫1豎2個格，或橫2豎1個格畫線即可；（2）解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【解析】【分析】（1）根據勾股定理AB=10，以AB為底等腰直角三角形，兩直角邊為x,根據勾股定理求出x5,找橫1豎2個格，或橫2豎1個格畫線即可；（2）以AB=10為腰的等腰△ABD，AB=AD,以點A為起點找橫1豎3個格，或橫3豎1個格畫線；如圖△ABD；AB=BD,以點B為起點找橫1豎3個格，或橫3豎1個格畫線；如圖△ABD．（3）以AB=10為腰的等腰△ABD，AB=BE,以點B為起點找橫1豎3個格，或橫3豎1個格；如圖△ABE．AB=AE,以點A為起點找橫1豎3個格，或橫3豎1個格；所畫的△ABE

解：（1）∵根據勾股定理AB2線；如圖；根據勾股定理x2x210，解得x5,橫1豎2，或橫2豎1個畫△ABC10，以AB為底等腰直角三角形，兩直角邊為x,=1322（2）以AB=13為腰的等腰△ABD，AB=AD,以點為起點找橫1豎3個格，或A1022橫3豎1個格畫線；如圖；△ABDAB=BD,以點B為起點找橫1豎3個格畫線，或橫3豎1個格；如圖△；ABD（3）以AB=為腰的等腰△ABD，AB=BE,以點為起點找橫1豎3個格，或B101322橫3豎1個格；如圖．以點A為起點找橫1豎3個格，或橫3豎1個格；所△=,ABEABAE△②畫的與圖中所畫的ABD不全等．△ABE

【點睛】本題考查網格作圖，掌握網格作圖方法與勾股定理，利用勾股定理確定腰長構造直角三角形是解題關鍵．20．見解析【分析】根據矩形的性質，可證得，從而得到四邊形為平行四邊形，再由勾股定理，可得到，即可求證．【詳解】∵證明：矩形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵又，∴四邊形為平行四邊形解析：見解析【分析】根據矩形的性質，可證得AOECOF，從而得到四邊形為平行四邊形，再由勾股AFCEAEEC定理，可得到，即可求證．【詳解】∵證明：矩形，ABCD∴AOCO，，AD//CD∴EAOFCO，在△AOE和中，COFAOECOFAOCO，EAOFCO∴AOECOF，∴AECF，

∵又AE//CF，∴AFCE四邊形為平行四邊形，∵矩形，ABCD∴ABCDEDC90，，∵又，，，AD9ED4AB3∴AE945，ECCD2ED232425，∴AEEC，∴AFCE四邊形為菱形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，菱形的判定，勾股定理，熟練掌握矩形的性質定理，菱形的判定定理是解題的關鍵．21．答案見解析.【解析】【分析】直接利用二次根式的性質化簡進而得出答案．【詳解】劉峰的解法錯誤，原因是：錯誤地運用了＝這個公式，正確解法是：∵a＝＝＜1，∴a﹣1＜0，∴＝＝＝＝解析：答案見解析.【解析】【分析】直接利用二次根式的性質化簡進而得出答案．【詳解】劉峰的解法錯誤，a(a0)原因是：錯誤地運用了＝這個公式，a(a0)正確解法是：∵a＝1＝3＜1，a233∴a﹣1＜0，

∴a22a1a2a(a1)2＝a(a1)|a1|＝a(a1)1a＝a(a1)1＝﹣，a∴原式＝﹣．3【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．22．（1），；（2）【分析】（1）設線段解析式為，雙曲線的解析式為，然后把，代入，把代入求解即可；（2）把分別代入一次函數與反比例函數解析式x求出對應的的值，有次求解即可．【詳解】（1）設線143解析：（1）y8x28，；（2）a368【分析】m，雙曲線的解析式為，然后把0,28，9,100代yykxbx（1）設線段AB解析式為入ykxb，把9,100代入ymx求解即可；（2）把y45分別代入一次函數與反比例函數解析式x求出對應的的值，有次求解即可．【詳解】m（1）設線段AB解析式為，雙曲線的解析式為yykxbx代入0,289,100得b289kb100，k8解得b28∴線段ABy8x280x9，的解析式m代入9,100得100，解得m9009900為yx∴雙曲線的解析式

900∴25aa36解得；900x2（）反比例函數解析式為，y178當y45時，代入線段458x28，解得，xAB900x=20，解得45代入反比例函數得x17143所以不適宜飲水的持續(xù)時間為20分．88【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數的應用，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．231PMPNPM⊥PN．（）＝，；（）是等腰直角三角形．2△PMN理由見解析；（）3S△PMN最大＝．【分析】1（）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數量關系，再利用三角形的中位線得出得1PMPNPM⊥PN2△PMN3解析：（）＝，；（）是等腰直角三角形．理由見解析；（）S△PMN＝．最大【分析】1（）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得，出數量關系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關系；2（）先判斷出，同（）的1方法得出，同（）的1方法由，得出，即可得出，即可得最大時，的面積最大，進而求出AN，，即可得出，最后用面積公式出結論．方法2：先判斷出BD最大時，的面積最大，而BD最大是，即可得出結論；（）方法1：先判斷出3最大即可得出結論．【詳解】解：（）1點P，N是BC，CD的中點，，，點P，是CD，的中點，DE

，，，，BDCE，，，，，，，，，，故答案為：，；2（）是等腰直角三角形．由旋轉知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，1同（）的方法得，，，1同（）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（）3方法1：如圖2，同（）2的方法得，是等腰直角三角形，

MN最大時，的面積最大，且在頂點上面，DEAMN最大，連接，，ANADE在中，，，，，在中，，，．22方法：由（）知，是等腰直角三角形，，最大時，面積最大，點在的延長線上，DBA，，．【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性1綜合運用；解（）的質，全等三角形的判斷和性質，直角三角形的性質的關鍵是判斷出，，解（）的2關鍵是判斷出，解（）的3關鍵是判斷出最大時，的面積最大．1-12①②3()；（）證明見詳解；；（），24．（）【解析】【分析】1（）P(3,4),b=7代入y=kx+b中，可得k=-1把相等，證明∠OCB=∠OBC，由等角2①（）根據平行的性質：內錯角32877②)3(；（），415151-1解析：（）2①；（）證明見詳解；【解析】【分析】1（）P(3,4),b=7代入y=kx+b中，可得k=-1把

②OP⊥BC根據坐標證明是的中點，由等腰三角形三線合一性質得，求出函數關kkBC系式中的值，根據兩個一次函數圖像互相垂直時的關系，求解出直線的表達式中的k=34（）根據動點的運動情況分析出的軌跡函數，然后證明△OHG是等腰直角三角形，3MNO’PN根據中點坐標公式求得直線的表達式，聯(lián)立方程求出點坐標【詳解】，代入y=kx+b中，1P(3,4)b=7（）把4=3k+7可得k=-1解得故答案為-1（）2①∵AB∥y軸∴∠ABC＝∠OCB∵BP∠OBA平分∴∠OBC=∠ABC∴∠OCB=∠OBC∴OBC是等腰三角形②4所示，連接OP如圖∵AB//yA(6t)軸，，∴B點橫坐標是∵P橫坐標是∴P是的中點∴OP⊥BC63BCOPy=kx設直線的表達式為將P（）3,4代入得4=3k4解得，k=33則設直線的表達式中的BCk=.43.4故答案為3①5-1如圖，當點與O重合時，MPE⊥yE軸于點，作NF⊥y軸于點F（）作

∵PM⊥NM∴∠PMN=90°PMEMNFP