2023屆湖北省八校聯(lián)合體高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，在中，若，，，用表示為（）A． B．C． D．2．方程的解所在的區(qū)間為（）A． B．C． D．3．已知β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或4．已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項(xiàng)的乘積為1，則（）A．8 B．16 C．32 D．645．若則一定有（）A． B． C． D．6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度7．在某次測(cè)量中得到樣本數(shù)據(jù)如下：，若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本每個(gè)數(shù)都增加得到，則、兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（）A．眾數(shù) B．中位數(shù) C．方差 D．平均數(shù)8．給出下面四個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則公比等于（）A．1

或

2 B．?1

或

?2 C．1

或

?2 D．?1

或

210．已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為：l，-12，13，A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為_(kāi)__________．12．若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.13．等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_________.14．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.15．函數(shù)的最小正周期___________.16．在中，，，面積為，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；18．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中為單位向量.(Ⅰ)若//，求的坐標(biāo)；(Ⅱ)若與垂直，求與的夾角.19．如圖，在幾何體P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四邊形ABCD為矩形，△PAB為正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)分別為AC，BP中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PCD；（2）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．20．已知，是函數(shù)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn).（1）求；（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．（1）求角A的大小；（2）若，，求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)向量的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算來(lái)表示即可得到結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的線性運(yùn)算，來(lái)利用已知向量表示所求向量；關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用向量的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算法則.2、B【解析】試題分析：由題意得，設(shè)函數(shù)，則，所以，所以方程的解所在的區(qū)間為，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).3、B【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【詳解】β為銳角，角α的終邊過(guò)點(diǎn)（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

先由數(shù)列前9項(xiàng)的乘積為1，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】由已知，又，所以，即，所以，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的基本量計(jì)算，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式即可，屬于常考題型.5、D【解析】本題主要考查不等關(guān)系．已知,所以，所以，故．故選6、C【解析】

由，則只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.【詳解】解：因?yàn)椋砸玫胶瘮?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

分別計(jì)算出、兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、方差和平均數(shù)，再進(jìn)行判斷?！驹斀狻繕颖镜臄?shù)據(jù)為：、、、、，沒(méi)有眾數(shù)，中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，樣本的數(shù)據(jù)為：、、、、，沒(méi)有眾數(shù)，中位數(shù)為，平均數(shù)為，方差為，因此，兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差沒(méi)變，故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查樣本的數(shù)據(jù)特征，考查對(duì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差概念的理解，熟練利用相關(guān)公式計(jì)算這些數(shù)據(jù)，是解本題的關(guān)鍵，屬于中等題。8、B【解析】①；②；③；④,所以正確的為①②，選B.9、C【解析】

設(shè)出基本量，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的中項(xiàng)關(guān)系，即可列出相應(yīng)方程求解【詳解】等比數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，成等差數(shù)列，，即，或答案選C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列求基本量的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】

分母與項(xiàng)數(shù)一樣，分子都是1，正負(fù)號(hào)相間出現(xiàn)，依此可得通項(xiàng)公式【詳解】正負(fù)相間用(-1)n-1表示，∴a故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是尋找規(guī)律，尋找與項(xiàng)數(shù)有關(guān)的規(guī)律．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、15【解析】

根據(jù)球的半徑，先求得球的體積；根據(jù)圓與等邊三角形關(guān)系，設(shè)出的邊長(zhǎng)為，由面積關(guān)系表示出圓錐的體積；設(shè)拿出鐵球后水面高度為，用表示出水的體積，由即可求得液面高度.【詳解】因?yàn)殍F球半徑為，所以由球的體積公式可得，設(shè)的邊長(zhǎng)為，則由面積公式與內(nèi)切圓關(guān)系可得，解得，則圓錐的高為.則圓錐的體積為，設(shè)拿出鐵球后的水面為，且到的距離為，如下圖所示：則由，可得,所以拿出鐵球后水的體積為，由，可知，解得，即將鐵球取出后容器中水的深度為15.故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐內(nèi)切球性質(zhì)的應(yīng)用，球的體積公式及圓錐體積公式的求法，屬于中檔題.12、－14【解析】

由不等式的解集求出對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，從而可得結(jié)果.【詳解】不等式的解集是，所以對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式的根之間的關(guān)系，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.13、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時(shí)也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識(shí)與計(jì)算，利用向量相等解題.15、【解析】

利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，由此求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】依題意，故函數(shù)的周期.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由已知利用三角形面積公式可求c，進(jìn)而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)正弦定理即可計(jì)算求解.【詳解】，，面積為,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；【解析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?所以；因?yàn)榈酌媸橇庑危?因?yàn)?平面,所以平面.（2）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，所以為正三角形，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫妫矫?所以；因?yàn)樗云矫妫矫?所以平面平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18、（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)向量的模和共線向量的條件，列出方程組，即可求解．（Ⅱ）由，根據(jù)向量的運(yùn)算求得，再利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（Ⅰ）設(shè)由題則有解得或，．（Ⅱ）由題即，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量的條件及向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的基本概念和運(yùn)算公式，合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、(1)見(jiàn)證明；(2)【解析】

(1)根據(jù)EF是△BDP的中位線可知EF∥DP，即可利用線線平行得出線面平行；(2)取AB中點(diǎn)O,連接PO，DO，可證明∠PDO為DP與平面ABCD所成角，在Rt△DOP中求解即可.【詳解】(1)因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，所以DB與AC交于點(diǎn)E．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，BP中點(diǎn)，所以EF是△BDP的中位線，所以EF∥DP．又DP?平面PCD，EF?平面PCD，所以EF∥平面PCD．(2)取AB中點(diǎn)O,連接PO，DO∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面PAB∴PO⊥平面ABCD,∴DP在平面ABCD內(nèi)的射影為DO，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，在Rt△DOP中，sin∠PDO=,∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的證明，線面角的求法，屬于中檔題.20、(1)；(2)；(3)【解析】

（1）先化簡(jiǎn)，再根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，從而得到的解析式；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）通過(guò)方程的解與函數(shù)圖象之間的交點(diǎn)關(guān)系，可將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即可由圖象求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）．由題意可知，的最小正周期，∴，又∵，∴，∴（2）由得，，∴，∵，∴，∴．∴，即，∴，所以（3）原方程可化為即，由，得時(shí)，，的最大值為2，∴要使方程在上有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，即，所以【點(diǎn)睛】本