2023年浙江省溫州市蒼南縣巨人中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則函數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．2．已知單位向量，，滿足.若點在內(nèi)，且，，則下列式子一定成立的是（）A． B．C． D．3．在中，角,,的對邊分別為,,，若，，則（）A． B． C． D．4．已知是第一象限角，那么是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角5．已知點A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A．（0，1） B． C． D．6．某協(xié)會有200名會員，現(xiàn)要從中抽取40名會員作樣本，采用系統(tǒng)抽樣法等間距抽取樣本，將全體會員隨機(jī)按1~200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號，…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第1組至第3組抽出的號碼依次是（）A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，127．函數(shù)（其中，）的部分圖象如圖所示、將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函數(shù)為偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象的對稱軸為直線8．在銳角中，若，則角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．函數(shù)的最小值為(

)A．6 B．7 C．8 D．910．點M(4，m）關(guān)于點N（n,－3）的對稱點為P（6，-9）則（）A．m＝－3,n＝10 B．m＝3,n＝10C．m＝－3,n＝5 D．m=3,n=5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為__________．12．已知數(shù)列滿足，，，則__________．13．已知向量，的夾角為，若，，則________.14．已知在中，角的大小依次成等差數(shù)列，最大邊和最小邊的長是方程的兩實根，則__________．15．已知中，，且，則面積的最大值為__________.16．函數(shù)的定義域為__________；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某快餐連鎖店招聘外賣騎手，該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案：方案(1)規(guī)定每日底薪50元，快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元；方案(2)規(guī)定每日底薪100元，快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成，從第45單開始，每完成一單提成5元．該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖。(1)隨機(jī)選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；(2)若騎手甲、乙選擇了日工資方案(1)，丙、丁選擇了日工資方案(2)．現(xiàn)從上述4名騎手中隨機(jī)選取2人，求至少有1名騎手選擇方案(1)的概率；18．如圖，矩形所在平面與以為直徑的圓所在平面垂直，為中點，是圓周上一點，且，，．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)點是線段上的點，且滿足，若直線平面，求實數(shù)的值．19．已知，為第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.20．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時，求的值域．21．已知菱形ABCD的邊長為2，M為BD上靠近D的三等分點，且線段.（1）求的值；（2）點P為對角線BD上的任意一點，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),即時，取等號.故選：B【點睛】本題考查利用均值不等式求函數(shù)最小值,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

設(shè)，對比得到答案.【詳解】設(shè)，則故答案為D【點睛】本題考查了向量的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.3、A【解析】

由正弦定理求得sinA，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosA，求出sinB=sin(120°+A)的值，可得

的值．【詳解】△ABC中，由正弦定理可得

，∴

，∴sinA=

，cosA=.

sinB=sin(120°+A)=

?+?=

，再由正弦定理可得

=

=

，

故答案為

A.【點睛】本題考查正弦定理，兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，求出sinB是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．4、D【解析】

根據(jù)象限角寫出的取值范圍，討論即可知在第一或第三象限角【詳解】依題意得，則，當(dāng)時，是第一象限角當(dāng)時，是第三象限角【點睛】本題主要考查象限角，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

先求得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標(biāo)，①若點M和點A重合，求得b；②若點M在點O和點A之間，求得b；③若點M在點A的左側(cè)，求得b＞1．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結(jié)果．【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（，0），由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點M在射線OA上．設(shè)直線y＝ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標(biāo)為（，）．①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故N（，），把A、N兩點的坐標(biāo)代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點M在點O和點A之間，如圖：此時b，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若點M在點A的左側(cè)，則b，由點M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．設(shè)直線y＝ax+b和AC的交點為P，則由求得點P的坐標(biāo)為（，），此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即?（1﹣b）?|xN﹣xP|，即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此時b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得b＞1，故有1b．綜上可得b的取值范圍應(yīng)是，故選B．【點睛】本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查了運算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．6、B【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理求出抽樣間距，再根據(jù)第5組抽出的號碼求出第1組抽出的號碼，即可得出第2組、第3組抽取的號碼．【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理知，抽樣間距為200÷40=5，

當(dāng)?shù)?組抽出的號碼為22時，即22=4×5+2，

所以第1組至第3組抽出的號碼依次是2，7，1．

故選：B．【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7、B【解析】

本題首先可以根據(jù)題目所給出的圖像得出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)平移的相關(guān)性質(zhì)以及函數(shù)的解析式得出函數(shù)的解析式，最后通過函數(shù)的解析式求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得出結(jié)果．【詳解】由函數(shù)的圖像可知函數(shù)的周期為、過點、最大值為3，所以,，，，，所以取時，函數(shù)的解析式為，將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得，當(dāng)時，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，故選B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)圖像的變換，函數(shù)向左平移個單位所得到的函數(shù)，考查推理論證能力，是中檔題．8、B【解析】

直接利用正弦定理計算得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理得到：，故，是銳角三角形，故.故選：.【點睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計算能力.9、C【解析】

直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，時等號成立.故答案選C【點睛】本題考查了均值不等式，屬于簡單題.10、D【解析】因為點M，P關(guān)于點N對稱，所以由中點坐標(biāo)公式可知.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8π【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長，代入公式計算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.點睛：此題為填空題的壓軸題，實際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何知識求解相應(yīng)線段長，代入圓錐體積公式即可.12、-2【解析】

根據(jù)題干中所給的表達(dá)式得到數(shù)列的周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題干表達(dá)式得到可以得數(shù)列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【點睛】這個題目考查了求數(shù)列中的某些項，一般方法是求出數(shù)列通項，對于數(shù)列通項不容易求的題目，可以列出數(shù)列的一些項，得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律，進(jìn)而得到數(shù)列中的項.13、【解析】

由，展開后進(jìn)行計算，得到的值，從而得到答案.【詳解】因為向量，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查求向量的模長，向量的數(shù)量積運算，屬于簡單題.14、【解析】

本題首先可根據(jù)角的大小依次成等差數(shù)列計算出，然后根據(jù)最大邊和最小邊的長是方程的兩實根得到以及，最后根據(jù)余弦定理即可得出結(jié)果．【詳解】因為角成等差數(shù)列，所以，又因為，所以.設(shè)方程的兩根分別為、，則，由余弦定理可知：，所以.【點睛】本題考查根據(jù)余弦定理求三角形邊長，考查等差中項以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，余弦定理公式為，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題．15、【解析】

先利用正弦定理求出c=2,分析得到當(dāng)點在的垂直平分線上時，邊上的高最大，的面積最大，利用余弦定理求出，最后求面積的最大值.【詳解】由可得，由正弦定理，得，故，當(dāng)點在的垂直平分線上時，邊上的高最大，的面積最大，此時.由余弦定理知，，即，故面積的最大值為.故答案為【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)偶次被開方數(shù)大于等于零，分母不為零，列出不等式組，解出即可．【詳解】依題意可得，，解得即，故函數(shù)的定義域為．故答案為：．【點睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，涉及三角不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.4（2）【解析】

（1）從頻率分布直方圖中計算出前四組矩形面積之和，即為所求概率；（2）列舉出全部的基本事件，并確定出基本事件的總數(shù)，然后從中找出事件“至少有名騎手選擇方案（1）”所包含的基本事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式可計算出結(jié)果?！驹斀狻浚?）設(shè)事件為“隨機(jī)選取一天，這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于單”依題意，連鎖店的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于單的頻率分別為：因為所以估計為；（2）設(shè)事件為“從四名騎手中隨機(jī)選取2人，至少有1名騎手選擇方案（1）”從四名新聘騎手中隨機(jī)選取2名騎手，有6種情況，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}其中至少有1名騎手選擇方案（）的情況為{甲，乙}，{甲，丙},，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，所以。【點睛】本題考查頻率分布直方圖以及古典概型概率的計算，在頻率分布直方圖的問題中要注意：（1）每組矩形的面積等于該組數(shù)據(jù)的頻率；（2）所有矩形的面積之和為。18、（1）；（2）1【解析】

（1）取中點，連接，即為所求角。在中，易得MC，NC的長，MN可在直角三角形中求得。再用余弦定理易求得夾角。（2）連接，連接和交于點，連接，易得，所以為的中位線，所以為中點，所以的值為1?！驹斀狻浚?）取中點，連接因為為矩形，分別為中點，所以所以異面直線與所成角就是與所成的銳角或直角因為平面平面，平面平面矩形中，，平面所以平面又平面，所以中，，所以又是圓周上點，且，所以中，，由余弦定理可求得所以異面直線與所成角的余弦值為（2）連接，連接和交于點，連接因為直線平面，直線平面，平面平面所以矩形的對角線交點為中點所以為的中位線，所以為中點又，所以的值為1【點睛】（1）異面直線所成夾角一般是要平移到一個平面。（2）通過幾何關(guān)系確定未知點的位置，再求解線段長即可。19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可求得結(jié)果；（2）利用同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可求得，代入兩角和差正切公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）為第二象限角（2）由（1）知：【點睛】本題考查同角三角函數(shù)值的求解、兩角和差正切公式的應(yīng)用；易錯點是忽略角所處的范圍，造成三角函數(shù)值符號求解錯誤.20、（1）；（2）【解析】

（1）展開兩角差的正弦，再由輔助角公式化簡，利用周期公式求周期；（2）由x的范圍求出相位的范圍，再由正弦函數(shù)的有界性求f（x）的值域．【詳解】(1)，；(2)，∴，∴，的值域為.【點