下冊(cè)第九章9 4第一類(lèi)曲面積分

第四節(jié)、第一類(lèi)曲面積分（對(duì)面積的曲面積分）1、概念的引入2、對(duì)面積的曲面積分的定義3、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算4、對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用5、小結(jié)一、概念的引入若曲面

S

是光滑的,

它的面密度為連實(shí)例klfi

0續(xù)函數(shù)r(

x,

y,

z),

求它的質(zhì)量.所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面,且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí),切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).解決方法:

“分割，近似，求和，取極限”M

=

lim

r(xk

,hk

,zk

)DSk二、對(duì)面積的曲面積分的定義定義：S為空間一光滑曲面，函數(shù)f

(x,y,z)在曲面S上有界把S任意分割成n個(gè)小曲面,設(shè)第k個(gè)小曲面的面積為DSk

,記l

=max{DSk的直徑}，又Pk

(xk

,hk

,zk

)為第k個(gè)小曲面上1￡k

￡n任意取定的一點(diǎn),若對(duì)任意的分割和任意的取點(diǎn)Pk

,下列和式的極限存在nlfi

0

k

=1lim

f

(xk

,hk

,zk

)

DSk

f

(x,

y,

z)

d

S

=Sf

(x,y,z)dS

.在S上的第一類(lèi)曲面積分.稱(chēng)此極限為f

(x,y,z)在曲面S上對(duì)面積的曲面積分，記做S曲面S為積分曲面，dS為曲面面積元素.若S為閉曲面，常用

fdS 表示.dS

>

0S若曲面分片光滑,f

(x,y,z)在曲面上連續(xù)時(shí),則f

(x,y,z)dS存在.對(duì)面積的曲面積分S存在條件：M

=

S

m(

x,

y,

z)

d

S曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為定義說(shuō)明：S

S1線(xiàn)性性質(zhì).設(shè)k1,k2為常數(shù),則

k1

f

(x,

y,

z)

–

k2

g(x,

y,

z)

d

SS2S=

k1

f

(x,

y,

z)

dS

–

k2

g(x,

y,

z)

dSS

S性質(zhì)：與重積分及第一類(lèi)曲線(xiàn)積分性質(zhì)類(lèi)似

對(duì)積分域的可加性.若

S

是分片光滑的,

例如分成兩片光滑曲面

S1

,

S2

,

則有

f

(x,

y,

z)

d

S

=

f

(x,

y,

z)

d

S

+

f

(x,

y,

z)dS第一類(lèi)曲面積分有與三重積分類(lèi)似的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)oxyz

f

(x,y,z)dS

存在,且有S

f

(x,

y,

z)

dS=

Dxyf

(x,

y,z(x,

y)

)S1+

zx

2

(x,

y)

+

zy

2

(x,

y)dxd

yDxyS表示為S

:z

=z(x,y),(x,y)?

Dx

y若方程在區(qū)域Dxy

上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，f

(x,y,z)在S上連續(xù),則曲面積分三、第一類(lèi)曲面積分計(jì)算法平行于z

軸的直線(xiàn)與曲面S

只交于一點(diǎn)，曲面方程可若曲

面

S

的方程

x

=

x(

y,

z)

是單值函數(shù)，曲面

S在yoz面上的投影為

Dyz

,

則f

(x,

y,

z)

dS

=Sf

(x(

y,

z)

,

y,

z)Dyz1+

x￠2

+

x￠2

d

y

d

zy

z若曲

面

S

的方程

y

=

y(x,

z)

是單值函數(shù)，

曲面

S在xoz面上的投影為

Dxz,

則f

(x,

y,

z)

dS

=Sf

(x,

y(x,

z),

z)yzD1+

y￠2

+

y￠2

d

x

d

zx

z第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算步驟：1、確定曲面方程2、選擇坐標(biāo)平面,確定投影區(qū)域3、求曲面微分4、積分變量、被積函數(shù)代換化曲面積分為二重積分例：計(jì)算I

=S

(2x

+y

+2z)dS,S為平面x

+y

+z

=1在第一卦限部分.oz11

y1x投影區(qū)域解:

S的方程:

z

=

1

-

x

-

y,0

￡

y

￡

1Dxy：1

+

z￠2

+

z￠2

=x

y3I

=D

[2

x

+

y

+

2(1

-

x

-

y)]

3dxdyxy

0

￡

x

￡

1

-

yxyI

=

D

[2

x

+

y

+

2(1

-

x

-

y)]

3dxdy=

3

D

(2

-

y)dxdyxy0dy1

1-

y0(2

-

y)dx3=

3=

56例：計(jì)算I

=

(x

+y

+z)dS，2S其中S為上半球面z

=

R2

-

x2

-

y解：由積分的線(xiàn)性性質(zhì)知，I

=

xdS

+

ydS

+

zdSS

S

S同理,有

ydS

=

0S由于S關(guān)于yoz平面對(duì)稱(chēng),f

(x,y,z)=x關(guān)于x

是奇函數(shù),則

xdS

=

0SzyxI

=

zdSS所以曲面S：投影區(qū)域xz

￠=

-

x

,R2

-

x2

-

y2yz

￠=

-

y

dS

=

1

+

z￠2

+

z￠2

dxdy

=x

yz

=

R2

-

x2

-

y2，D

:

x2

+

y2

￡

R2xyR2

-

x2

-

y2R2

-

x2

-

y2RdxdySI

=

zdS=

R

dxdy

=

p

R3DxyxyD=

思考：若S是整個(gè)球面x2

+

y2

+

z2

=

R2?問(wèn)：

(x

+y

+z)dS

=S0R2

-

x2

-

y2

R

dxdyR2

-

x2

-

y2例：計(jì)算I

=

S

(

x

+

y

+

z

)dS,其中S球面x

+

y

+

z

=

a2

2

2

2

2

2

2(x

?0,y

?0)和坐標(biāo)面yoz及xoz圍成的閉曲面.yz解：

如圖S1S2:x2

+

z2

￡

a2

(

x

?

0)xS3S41記S

：y

=0,xz(

x,

z)

?

D記S2：x

=0,(

y,

z)

?

Dyz

:

y2

+

z2

￡

a2

(

y

?

0)3S：

z

=a2

-(

x2

+

y2

)a2

-(

x2

+

y2

)4S

：

z

=

-S

(S

)的投影區(qū)域xy3

4D

:

x2

+

y2

￡

a2

(

x

?

0,

y

?

0)2

2

21

2

3

4I

=

(S

+S

+S

+S

)(

x

+

y

+

z

)dS=

(S

+S

+2S

)(

x

+

y

+

z

)dS2

2

21

2

3xzS2(

x2

+

y2

+

z2

)dS=(

y2

+

z2

)yzdydz

=4pa

41(

x2

+

y2

+

z2

)dS

S

:

y

=

0SdS

=

1

+

y￠2

+

y￠2

dxdzx

z=

dxdzS2

:

x

=

0pa441區(qū)域Dxzyz區(qū)域DdS

=

dydz2r rdr

=00adqp=2

2(

x

+

z

)dxdzDxz=D3(

x2

+

y2

+

z2

)dS2S3S

：z

=

a2

-

x2

-

y2，2

2

2投影Dxy

:

x

+

y

￡

aa2

-

x2

-

y2-

yz￠=

-

x

,x2a2

-

x2

-

yz￠y

=dS

=

1

+

z￠2

+

z￠2

dxdyx

ya2

-

x2

-

y2adxdy=Dxy=

22a

a

a2

-

x2

-

y2dxdy3p20=

2adqa2

-

r201ardrd

(a2

-

r2

)a2

-

r2012=

p

a3(-

1a=

pa4\

I

=3pa42曲面形構(gòu)件的質(zhì)量M

=

S

m(

x,

y,

z)dS曲面形構(gòu)件的質(zhì)心(重心)(均勻時(shí)形心)x

=

S

xm(

x,

y,

z)dS

,

y

=

S

ym(

x,

y,

z)dS

,

z

=

S

zm(

x,

y,

z)dSS

m(

x,

y,

z)dS

S

m(

x,

y,

z)dS

S

m(

x,

y,

z)dS曲面形構(gòu)件對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix

=

S

(

y

+

z

)m(

x,

y,

z)dS,

I

y

=

S

(

x

+

z

)m(

x,

y,

z)dS

,2

2

2

2Iz

=

S

(

x

+

y

)m(

x,

y,

z)dS,

IO

=

S

(

x

+

y

+

z

)m(

x,

y,

z)dS,2

2

2

2

2三、第一類(lèi)曲面積分的應(yīng)用曲面形構(gòu)件對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)點(diǎn)的引力3(

x2

+

y2

+

z2

)23(

x2

+

y2

+

z2

)23(

x2

+

y2

+

z2

)2

xm(

x,

y,

z)

dS,

ym(

x,

y,

z)

dS

zm(

x,

y,

z)

dSFx

=

GSyzF

=

GSF

=

GS4例：設(shè)質(zhì)量均勻分布的物質(zhì)曲面S為z

=x2

+y2

,z

￡

1

,xyz求S的質(zhì)心.解：如圖，由對(duì)稱(chēng)性，x

=y

=0z

==SS

zdS

dS曲面S的方程：z

=x2

+y2

,投影區(qū)域zx￠=

2

x,4z

=

14xyD

:

x2

+

y2

￡

1zy￠=

2

y,1

+

z￠2

+

z￠2

=

1

+

4

x2

+

4

y2x

y120=

2pS

dS

=D

1

+

4

x

+

4

y

dxdy02p=

dqr

1

+

4r2

dr2

2xy1123(1

+

4r2

)2r

=06p=1

+

4r2

d

(1

+

4r2

)18206=

p

(2 2

-1)SzdS

=Dxy221

+

4

x2

+

4

y2

dxdy02p(

x

+

y

)1203r

1

+

4r2

dr(u2

-1)u2du1162令1

+4r

=u4u2

-

1r2

=112rdr

=

2

ududr

=

4r

uduu

:1

fi2=

dq20=

2p

1( 2

+

1)p60= 1

+

2

10(2 2

-

1)\

z

=質(zhì)心為(0,

0,

1

+

2

)10(2 2

-

1)練習(xí)計(jì)算

(

x

+

y

+

z)ds

,

其中S為平面Sy

+

z

=

5被柱面x

2

+

y

2

=

25所截得的部分.例1計(jì)算

(

x

+

y

+

z)ds

,

其中S為平面Sy

+

z

=

5被柱面x

2

+

y

2

=

25所截得的部分.解積分曲面S：z

=

5

-

y

,投影域：D

=

{(

x,

y)

|

x2

+

y2

￡

25}xy例1故

(x

+y

+z)dsS=2

(

x

+

y

+

5

-

y)dxdy

=Dxy(5

+

r

cos

q)rdrdq02p

50=

22

(5

+

x)dxdyDxy=

125

2p.dS

=

1

+

z￠x

2

+

z￠y

2dxdy=

1

+

0

+

(-1)2dxdy

=2dxdy,四、小結(jié)2．對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算.（按照曲面的不同情況投影到三坐標(biāo)面上）1．對(duì)面積的曲面積分的概念;n

f

(

x,

y,

z)dS

=

lim

f

(xi

,hi

,zi

)DSiSlfi

0

i

=1作業(yè)作業(yè)：P276：2，5，7，9測(cè)驗(yàn)yyx2ds和曲線(xiàn)積分

I

2

=

L

dx

+

dyx

x

y計(jì)算曲線(xiàn)積分I1

=L1、設(shè)L是從點(diǎn)A( 2

,1)沿曲線(xiàn)y

=

2

x2到點(diǎn)B(2 2

,4)的弧段，2、驗(yàn)證(2xy3

-y2

cos

x)dx

+(1-2

y

sin

x

+3x2

y2

)dy是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，并求該函數(shù)。例

2

計(jì)算|

xyz

|

dS

,S其中S

為拋物面z

=x2

+y

2

（0

￡

z

￡

1）.解

依對(duì)稱(chēng)性知：拋物面z

=x2

+y2有=4

成立，S

S1(S1為第一卦限部分曲面)zyx關(guān)于坐標(biāo)面xoz

yoz對(duì)稱(chēng)、SS1dS

=

1

+

z￠x

2

+

z￠y

2dxdy=

1

+

(2

x)2

+

(2

y)2dxdy原式=

|

xyz

|

dS

=

4

xyz

dS=

4

xy(

x2

+

y2

) 1

+

(2

x)2

+

(2

y)2

dxdyD￠xy其中D￠xy

=

{(

x,

y)

|

x

2

+

y

2

￡

1,

x

?

0,

y

?

0}利用極坐標(biāo)x

=

r

cos

t

,y

=

r

sin

t

,1

+

4r

2

rdr

10220dt

r

cos

t

sin

t

r=

4p2sin

2tdt105r

1

+

4r

2

dr0=

2p2令u

=1

+4r

251414=4205

-

1.u(u

-

1)2

du

=

125計(jì)算

xdS

,

其中S是圓柱面

x

2

+

y

2

=

1,S平面z

=x

+2及z

=0所圍成的空間立體的表面.例3解+

+

S

2

S

3

=

S S

1其中S1：z

=0,S3：

x

2

+

y

2

=

1.S2：

z

=

x

+

2,投影域D1：

x

2

+

y

2

￡

1顯然

xdS

=

xdxdy

=0,S1

D11

+

1dxdy

=

0,

xdS

=

xS2

D1討論S3時(shí),

將投影域選在xoz

上.（注意：y

=–1

-x

2

分為左、右兩片）

xdS

=

xdS

+

xdSS3S31

S32（左右兩片投影相同）Dxzx

1

+

y￠2

+

y￠2

dxdzx

z=

2xozDxzx

2=

2

x

1

+

2

dxdz1

-

xx

+21

-

x21-1=

20dzdxx=

p,\

xdS

=

0

+

0

+

p

=

p.SSx

2

+y2

+z

2

=a

2的八面體|

x

|

+|

y

|

+|

z

|=a表面.例4

計(jì)算

(

x

2

+

y2

+

z

2

)dS

,

其中S為內(nèi)接于球面被積函數(shù)f

(x,y,z)=x

2

+y2

+z

2

,關(guān)于坐標(biāo)面、原點(diǎn)均對(duì)稱(chēng),積分曲面S也具有對(duì)稱(chēng)性,解故原積分

=

8S

S1,(其中S1表示第一卦限部分曲面)S1：x

+y

+z

=a,

即z

=a

-x

-ydS

=

1

+

z

2

+

z

2

dxdy

=x

y3dxdyS

(

x

2

+

y2

+

z

2

)dS

=

8

(

x2

+

y2

+

z2

)dSS1=

8[

x2

+

y2

+

(a

-

x

-

y)2

]

3dxdyDxy=

2 3a4

.思考題在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的公式中,試說(shuō)明這個(gè)因子的幾何意義.x

y有因子1

+z2

+z2

,思考題解答dS

是曲面元的面積,

cos(n,

z)

=1

+

z2

+

z2x

y1x

y的倒數(shù).故

1

+

z2

+

z2

是曲面法線(xiàn)與

z軸夾角的余弦一